В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 18
Текст из файла (страница 18)
п. 2 $1 гл. 1), т. е. ряд (2.61) расходится при хФО. П. Пусть последовательность (2.62) ограничена и ее верхний предел Ь>0. Докажем, что ряд (2.61) абсолютно сходится при )х~ <1/Ь н расходится при 1х~ >1/Ь. а) Фиксируем сначала любое х, удовлетворяющее неравенству )х! <1/Ь. Тогда найдется е>0, такое, что )х! <1/(Ь+е). В силу п свойств верхнего предела все элементы )/~а ~, начиная с некоторо. го номера и, удовлетворяют неравенству 2 Гл.
2. Функциональные последовательности и ряды 104 )г!а,((— 2!х~ * Стало быть, начиная с указанного номера, у'Тапка( = ! х1 )' !а„~ ( — ( 1, т. е. ряд (2.61) абсолютно сходится к признаку Коши '(см. п. 3 $2 гл. 1). Теорема полностью доказана. Доказанная теорема непосредственно приводит к следующему фундаментальному утверждению. Теор ем а 2.14. Для каждого степенного ряда (2.61), если он не является рядом, сходящимся лишь в точке х=О, существует положительное число )с (воэможно, равное бесконечности) такое, что этот ряд абсолютно сходится при ~х(</ч' и расходится при (х(~Я. Это число /с называется радиусом сходи мости рассмат.
риваемого степенного ряда, а интервал ( — )т, )с) называется п р ам е ж у т к о м с х о д и м о с т и этого ряда. Для вычисления радну са сходимости справедлива формула 1 Нш у )ап! (2.63) (в случае, когда 1пп ~Г (ап( = О, )ч' = ою). и-ч в Замечание 1. На концах промежутка сходимости, т. е. в точках х= — )с н х=)т, степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся з>. Ю Отметим следующую тес р е м у Абел я: если степенной ряд (2.61) сходится при х=й, то сумма его 5(х) является непрерывной в точке й слева. Без ограничения общности можно считать, что й=1, ио в таком виде теорема Абеля (фактически утверждающаи регулярность метода суммирования Пуассона — Абеля) доказана в и. 2 и 7 гл.
1. 1П. Пусть последовательность (2.62) ограничена и ее верхний предел /.=О. Докажем, что ряд (2.61) абсолютно сходится при любом х. Фиксируем произвольное х~О (при х=О ряд (2.61) заведомо абсолютно сходится). Поскольку верхний предел А=О и последа. вательность (2.62) не может иметь отрицательных предельных точек, число /.=О является единственной предельной точкой, а следовательно, является пределом этой последовательности, т. е. последовательность (2.62) является бесконечно малой. Но тогда для положительного числа 1/(2(х() найдется номер, начиная с которого 105 й а.
Степенные ряды Так, для ряда 1+ ) х" радиус сходимости й равен единице, «=1 промежуток сходимости имеет вид ( — 1, +1), и этот ряд расходится на концах этого промежутка. Для ряда ~„— промежуток сходимостн тот же ( — 1, +1), %! хе пе л=! но он сходится на обоих концах этого промежутка. Замечание 2, Все результаты настоящего пункта справед. ливы для ряда (2.61), в котором вещественная переменная х заменена комплексной переменной г. Для такого ряда устанавливается существование положительного числа В такого, что ряд абсолютно сходится при 1г(<)г и расходится при [г) >Я. Для вычисления )с справедлива формула (2.63).
Число )с называется радиусом сходнмости, а область [а~<Я вЂ” кругом сходимости степенного ряда. 2. Непрерывность суммы степенного ряда. Пусть степенной ряд (2.61) имеет радиус сходимости Я>0. Л е м м а. Каково бы ни было положительное число г, удовлетворяюи(ее условию г<Р, ряд (2.61) равномерно сходится на сегменте [ — г, +г), т. е, при 1х~ <г. Доказательство. В силу теоремы 2.14 ряд (2.61) абсолютно сходится при х=г, т. е. сходится ряд Но этот числовой ряд служит мажорантным для ряда (2.61) прн всех х нз сегмента [ — г, +г).
На основании признака Вейерштрасса ряд (2.61) сходится равномерно на сегменте [ — г, +г[. Лемма доказана, Следствие из леммы, В условиях леммы сумма ряда (2.6!) является функцией, непрерывной на сегменте [ — г, +г[ (в силу теоремы 2.7). Теорема 2,16. Сумма степенного ряда внутри его промежутка сходимости является непрерывной функцией. Доказательство. Пусть 5(х) — сумма степенного ряда ,(2.61), а Я вЂ” его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри промежутка сходимости, т. е.
такое, что 1х~ <И. Всегда найдется число г такое, что 1х[<г<Я. В силу следствия из леммы функция 5(х) непрерывна на сегменте [ — г, +г]. Следовательно, 5(х) непрерывна и в точке х. Теорема доказана. 3. Ночленное интегрирование н почленное дифференцирование степенного ряда. Теорема 2.16. Если )г>0 — радиус сходимости степенного ряда (2.61), а х удовлетворяет условию ~х~ <1г, то ряд (2.61) Гл. 2.
Функциональные последовательности и ряды 10б можно почленно интегрировать на сегменте [О, х]. Полученный в результате почленного интегрирования ряд имеет тот же радиус сходимости 1т, что и исходный ряд, Доказательство. Для любого х, удовлетворяющего условию )х) <)т, найдется г такое, что [х[<г<)т. Согласно лемме ряд (2.61) сходится равномерно на сегменте [ — г, +г[, а следовательно, и на сегменте [О, х1 Но тогда в силу теоремы 2.8 этот ряд можно почленно интегрировать на сегменте [О, х).
В результате почленного интегрирования получится степенной ряд а х+ — 'х'+... + ='хл+ 2 л радиус сходимости которого (согласно теореме 2.14) является ве- личиной, обратной верхнему пределу последовательности М- ~ 1У1 (2.64) а,+2аях+...+па„х"-'+ (и+1) а„„,х" +..., радиус сходимости )г которого (согласно теореме 2.14) обратен верхнему пределу последовательности ) 1/(и+ 1) [ а„.ь! [ ) . (2.65) Так как последовательность (2.65) имеет тот же верхний предел, что и (2.62) ">, то теорема доказана. л Так как !пп улл = 1, 1пп т'1 и и иФ ",Г[о,!, ае) = 1!и! л-~ Так как 1яп тли+1=1, !!пт~/!и„+!1= !!и! т'1аи1=1цп (у 1пи1) и и 'им "' ил е "тТ !. п) - !пп л Так как верхний предел последовательности (2.64) тот же, что и у (2.62) 'е1, то теорема доказана.
Теорема 2.17 Степенной ряд (2.61) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно. Ряд, полученный почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Доказательство. Достаточно (в силу теоремы 2.9 и леммы) доказать лишь второе утверждение теоремы. В результате почленного дифференцирования (2.61) получим ряд й 7.
Разложение функций в степенные ряды (от С л е д с т в и е и з т е о р е м ы 2.17. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно сколько угодно раз. Ряд, полученный п-кратныл( почлгнным дифференцированием исходного степенного ряда, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. й 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. Разложение функции в степенной ряд. Определение 1. Будем говорить, что функция 1(х) на интервале ( — )7, +г() (на множестве (х)) может быть разлож и н а в с т и и е и н о й р я д, если существует степенной ряд, сходящийся к 1(х) на указанном интервале (указанном множестве). Приведем необходимые и достаточные условия того, чтобы функция ((х) могла быть разложена в степенной ряд.
Утверждение 1, Для того чтобы функция 1(х) могла быть разложена в степенной ряд на интервале ( — )7, +)с), необходимо, чтобы эта функция имела на указанном интервале непрерывные производные любого порядка (з(. Действительно, степенной ряд внутри его промежутка сходи. мости, который во всяком случае содержит интервал ( — Й, +)т), можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные при этом ряды сходятся внутри того же промежутка сходимости (теорема 2.17).
Но тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным диф. ференцированием (в силу теоремы 2.15), представляют собой функции, непрерывные внутри указанного промежутка сходимости, а следовательно, непрерывные на интервале ( — 17, +1(). Утверждение 2, Если функция 1(х) может быть на интервале ( — 1(, +)т) разложена в степенной ряд, то лишь единственным образом. В самоы деле, пусть функция 1(х) может быть разложена на интервале ( — )т, +)т) в степенной ряд (2.61). Дифференцируя этот ряд почленно п раз (что заведомо можно делать внутри интервала ( — )т', +Й)), получим 1(ч> (х) =а„п1+ачч.( (и+1)!х+...
Отсюда при х=О найдем 1(я)(()) =а п!, или /(ю(0) (2.66) и! 'з( Отметим, что существуют функции, имеющие нз интервале непрерывные производные любого порядка, но не рззложимые нз этом интервале в степенной рял. Примером такай функции может служить — ! ('х' е при хтьо, 0 при х=О. Гл. 2. Фуннннональные последовательности н ряды Таким образом, коэффициенты степенного ряда (2.61), в который может быть разложена функция 1(х), однозначно определяются формулой (2.66). Предположим теперь, что функция 1(х) имеет на интервале ( — )г, +)с) непрерывные производные любого порядка. Определение 2. Степенной ряд (2.61), коэффициенты которого определяются формулой (2.66), называется рядом Тейл о р а функции 1(х).
Утверждение 2 приводит нас к следующему утверждению. Утверждение 3. Если функция )(х) может быть разложена на интервале ( — )т, +)с) в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора функции ) (х). Из результатов $8 гл. 6 ч. 1 непосредственно вытекает следующее Утверждение 4. Для того чтобы функция )(х) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале ( — )с, +)с) (на множестве (х)), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена для этой функции стремился к нулю на указанном интервале (указанном множестве).
2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. В ч. 1 (см. п. 2 $9 гл. 6) доказано, что остаточные члены в формуле Маклорена для функций е", созх и з!пх стремятся к нулю на всей числовой прямой, а остаточный член в формуле Маклорена для функции 1п(1+х) стремится к нулю на полусегменте — 1<к~1. В силу утверждения 4 из предыдущего пункта это приводит нас к следующим разложениям: ге=!+ ~„— ° К! лл л! л ! и «ля!и созхии 1+~~ '— (2л)! л 1 ! )лаяли! з)п х Е (2и+ «! и е ( «ии!Ли 1п(1+ х) — ~ п л 1 Первые три из этих разложений сходятся для всех значений х, а последнее — для значений х из полусегмента — 1<х~!. Остановимся теперь на разложении в степенной ряд функции '(1+х), или на так называемом бином иальном ряде. Если 1(х)=(1+х)и, то $7. Разложение функций и степенные ряды 1!"!(х)=а(а-!) (а — 2)... (а — п+1) (1+х)" ".
Поэтому формула Маклорена с остаточным членом в форме Ко. тпи имеет вид (см, $8 гл. 6 ч. 1) л (1+х)"=1+ ~~)~~ ( )( )"'( + ) хе+Я„ьз(х), (2.67) И Ф-! где )7 ~,(х) (1 з)" х +!т! +п(Ох) л) х"+'а(а — 1) (а — 2)... (а — и) (1+ Ох) (1 — з)п н1 (1+ О )"-'х"+' (2.68) -(=) 1+ Ея) и1 (,+,).,+~а(а — 1ц<* 2)...(а «+1) хе (269) И «! Докажем теперь, что при а>0 ряд, стоящий в правой чисти (2.69), равномерно сходится к функции (1+х) на замкнутом сегменте — 1 < х < 1. Всюду на указанном сегменте этот ряд мажорируется чис« левым рядом О Е (а) 11 — а( ° ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
