В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Легко убедиться в том, что 1<Х. Утверждение 6. Пусть Т' — измвльчение разбиения Т прямоугольника Р, полученное из Т добавлением р новых прямых, и пусть 5', з' и 5, э — верхние и нижние интегральные суммы разбиений Т' и Т соответственно. Тогда имеют место оценки 15 — 5'<(Мя — птя) рбй; з' — ге (Мя — птя) рбй, гдв Мя=эпрХ(х, у), птя=1п11(х, у), Ь вЂ” диаметр разбиения Т„ я ' я й — диаметр прямоугольника )т.
В полной аналогии с понятием предела интегральных сумм (определение 2 п. 1) вводится понятие предела верхних и нижних сумм. Так, число Х называется пределом верхних сумм 5 при а — ~0, если для любого а)0 можно указать 6)0 такое, что ~15 — 1 ((е при Л(б. Утверждение 7. Верхний и нижний интегралы Дарбу Х иХ от функции Х(х, у) по прямоугольнику )г являются пределами соответственно верхних и нижних сумм при Ь- О. Из приведенных утверждений 1 — 7 вытекает следующая Теорем а 3.1.
Для того чтобы ограниченная на прямоугольнике )т функция ((х, у) была интегрируема на этом прямоугольнике, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашлось таков разбиение Т прямоугольника Я, для которого 5 — з(е. Как и в гл. 9 ч. 1, теорема 3.1 в соединении с теоремой о равномерной непрерывности позволяет выделить важнейшие классы интегрируемых функций. Т е о р е м а 3,2. Любая непрерывная в прямоугольнике )т функция 1(х, у) интегрируема на этом прямоугольнике. Определение !. Назовем элементарной фигурой множество точек, представляюи1их собой объединение конечного числа прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ох и Оу). Заметим, что в определении 1 можно брать прямоугольники, как имеющие общие внутренние точки, так и не имеющие их.
О п р е д е л е н ~н е 2. Будем говорить, что функция Х (х, у) обладает в прямоугольнике )г (в произвольной замкнутой области О) Х-свойством, если: 1) Х(х, у) ограничена в )т (в .О); 2) для лю- $1, Определение и условия существования двойного интеграла 121 бого в 0 найдется элементарная фигура площади, меньшей е, содержащая все точки и линии разрьгва функг(ии 1(х, у). Теорем а З.З. Если функг1ия 1(х, у) обладает в прямоугольнике 1-свойством, то она интегрируема на этом прямоугольнике.
Доказательство теорем 3.2 и 3.3 полностью аналогично доказательству теорем 9.1 и 9.2 ч. 1. 3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области. В п. 2 $2 гл. 10 ч. 1 были введены понятия квадрируемостн и площади плоской фигуры. Напомним, что плоской фигурой мы назвали часть плоскости, ограниченную простой замкнутой кривой. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя и нижняя площади этой фигуры" равны между собой.
Это число называется площадью фигуры. Эти понятия без каких-либо изменений переносятся на случай произвольного ограниченного множества Я точек плоскости. Во всех определениях и утверждениях указанного пункта вместо плоской фигуры можно брать произвольное ограниченное множество Я на плоскости. В том же пункте было дано определение кривой (или границы фигуры) площади нуль: Г называется кривой площади нуль, если для любого е)0 найдется многоугольник, содержащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую г. В этом определении терм~ив «многоугольник» можно заменить термином «элементарная фигура». Это следует из того, что любая элементарная фигура является многоугольником, а любой многоугольник с площадью, меньшей числа е, содержится в элементарной фигуре, имеющей площадь, меньшую числа 32г (см.
теорему 10.2" ч. 1). Утверждение 1. Пусть кривая Г имеет площадь нуль и плоскость покрьгта квадратной сеткой с шагом й. Тогда для любого е)0 найдется число й)0 такое, что сумма площадей всех квадратов, имеющих общие точки с Г, меньше е. Действительно, для каждого е)0 можно фиксировать некоторую элементарную фигуру гг, содержащую внутри себя Г и имеющую площадь, меньшую е/4. При достаточно малом гг все квадраты, имеющие общие с Г точки, содержатся в элементарной фигуре, получающейся заменой каждого прямоугольника прямоугольником со вдвое большими сторонами и с тем же центром.
Отметим, что класс кривых площади нуль весьма широк. Этому классу принадлежит, например, любая спрямляемая кривая (см. ф 1 гл. 1О ч. 1). Введем понятие двойного интеграла для произвольной двумерной области П. Пусть П вЂ” замкнутая ограниченная область, граница Г которой имеет площадь нуль, а 1(х, у) — произвольная о Верхняя площадь определяется как точная нижняя грань площадей всех многоугольников, содержащих фигуру, а нижняя площадь — как точная верхняя грань площадей всех многоугольников, содержащихся в фигуре. 122 Гл.
3. Двойные и л.кратные интегралы ограниченная функция, определенная в области Р. Обозначим через Я любой прямоугольник (со сторонами, параллельными координатным осям), содержащий область Р (рнс. 3.2). Определим в прямоугольнике Р, следующую функцию: Т(х, у), (х, у) ен Р; (3.2) О, (х, у) е= Я'~,Р. О п р ед ел ен не. Функцию 1(х, у) назовем интегрируем о й в области Р, если функция г (х, у) интегрируел(а в прямоугольнике 1(. Число Д с (х, у)((хйу назовем двойныл! интегралом от функции )(х,у) по области Р и обозначим символом Рнс. 3.2 Т=) ~ 1(х, у)((хйу=)) 1(М)йв.
Из этого определения вытекает следующее Утверждение 2. Интеграл )) 1((хс(у равен площади в области Р. Действительно, подвергая соответствующий прямоугольник )с все более мелким разбиениям, получим, что верхние интегральные суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содержащих Р, а нижние суммы — площадям элементарных фигур, содержащихся в Р.
Интегрируемость функции Г(х, у) =1 в области Р следует из теоремы З.З. У т в е р ж д е ни е 3. Пусть функция Г (х, у) интегрируема в ограниченной квадрируемой области Р, плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом й, С(, Сы..., Сл(л! — квадраты указанной сетки, целиком содержащиеся в области Р, ($л, т)л) — произвольная точка квадрата Сл, те=(п11(х„у), й=1, 2,..., п(г!). Тогда каждая из сумм Л л(Л! л(Л) п(лйа Л-! имеет предел при й-еО, равный Ц Г (х, у) дх йу.
"о Для доказательства достаточно заметить, что указанные суммы отличаются от обычной интегральной суммы (соответственно от нижней суммы) функции 1(х, у) в области Р только отсутствием 4 1. Определение н условия еуществовання двойного интеграла 123 слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границей Г области Р, причем сумма всех отсутствующих слагаемых по модулю меньшей произведения числа М=зцр(1(х, у) ( на площадью о элементарной фигуры, состоящей из квадратов, имеющмх общие точки с Г.
Поскольку граница Г имеет площадь нуль, то согласно утверждению 1 5-~0 при и — ь-О. Из теоремы З.З и приведенного выше определения двойного интеграла вытекает следующая основная теорема. Теорема 3.4. Если функция 1(х, у) обладает в области 0 1-свойством, то она интегрируема в этой области. Доказательство. Функц~ия Е(х, у), определенная формулой (3.2), в данном случае обладает 1-свойством в прямоугольнике 1?. В самом деле, функция Е(х, у) ограничена в 1? и все ее точки н линии разрыва либо совпадают с соответствующими разрывами 1(х, у), либо лежат на границе Г области Р.
Но гранеща Г имеет площадь нуль. Таким образом, утверждение теоремы следует нз теоремы 3.3. Теорема доказана. Следствие 1 из те о р е м ы 3.4. Если функция 1(х, у) ограничена в области Р и имеет в этой области разрывы лишь на конечном числе спрямляемых линий, то 1(х, у) интггриругма в области О. След ст в не 2 н з те о р е м ы 3.4. Если функция 1(х, у) обладает в области Р 1-свойством, а у(х, у) ограничена и совпадает с 1(х, у) всюду в Р, за исключением множества точек площади нуль, то функция д(х, у) интегрируема в области Р, причем Ц у (х, у) дх Йу ) ~ 1 (х, у) дх с1у. В отношении данного нами определения двойного интеграла возникает вопрос о его корректности. Зависит ли факт существования двойного интеграла и его величина 1) от выбора на плоскости координатных осей Ох и Оу, 2) от выбора прямоугольника 1?, на котором определяется функция Е(х, у)? В следующем пункте будет дано другое определение ннтегрируемости функции 1(х, у) и двойного интеграла, не зависящее ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольника 1?, и доказана эквивалентность этого определения приведенному выше.
4. Общее определение двойного интеграла. Пусть Р— замкнунутая ограниченная область с границей Г площади нуль. Разобьем область Р при помощи конечного числа произвольных кривых площад~и нуль на конечное число г (не обязательно связных) замкнутых частичных областей Оь Р,,...,О,. Каждая область О; имеет границу площади нуль и потому квадрируема. Обозначим площадь области Р; символом ЛРь В каждой области 0; выберем произвольную точку Р;(4ь ки). 124 Гн. 3. Двойные н и-кратные интегралы Определение 1. Число l о= ч~' )(Р!) Л0; ! ! (З.З) называется и н т е г р а л ь н о й с у м м о й функции ((х, у), соответствующей данному разбиению области Р на частичные области 0; и данному выбору промежуточных точек Р; в частичных областяхях. Назовем диаметром области Р; число й!= зпр р(М„Мт) м,м,ео; (р(М!, Мт) — расстояние между точками М,, М,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
