В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ог. раниченной в Р функции, множество точек разрыва которой имеет и-мерный объем нуль). Вообще, изменение интегрируемой функции 1 на множестве точек п-мерного объема нуль не изменяет величину интеграла от этой функции. Для определения и-кратного интеграла можно использовать разбиение области Р ~и при помощи конечного числа произвольных многообразий объема нуль на конечное число частичных областей произвольной формы. В полной аналогии с теоремой 3.5 доказывается, что такое общее определение и-нратного интеграла эквивалентно указанному выше определению.
Для и-кратного интеграла остаются справедливыми 8 основных свойств, сформулированные в $2 для двойного ~интеграла. В полной аналогии с теоремами 3.6 и 3.7 устанавливается формула повторного интегрирования для интеграла (3.17). Пусть и-мерная область Рл обладает тем свойством, что любая прямая, параллельная оси Охь пересекает ее границу не более чем в двух точках (или ио целому отрезку, ограниченному двумя томками), проекции которых на ось Ох1 суть а(хз, хз,...,х,) и Ь(хь хз, ..., х,), где а(хв хз,, хл) (Ь(хз, хз,, хл). Пусть функция 1(х) интегрируема в области Р„и допускает существование для любых хь хз,...,хл из (и — 1)-мерной области Рл „являющейся проекцией Р„на координатную гииерилоскость Охзхз ..х„однократного интеграла Ьтлл«л...,«»1 1(хз, ..., хл)лл ) 1(хт, х, ..., х„)дхт. «1«а «а Тогда существует (п — 1) -кратный интеграл И,((х„..., хл) й,...
Ь„= Ол-т З1«л ....«л> =Ц.„~йх~дх,...дх„~ ~(хы»в ..., хл)дх, о »1»" ' " ««1 по области Рл т и справедлива формула повторного интегрирования П... ) Т (х„хз, ..., х„) с1хт дхз... дхл лл ол Зра «т " ««1 =Д...) дх йхз... дхл ) 7(х„хз, ..., хл)ахт. (3.18) о лил«л ",«„] В сформулированном утверждении в роли х~ может выступать любая из переменных хт, хз, ..., х . Гл. 3. Двойные и л-кратные интегралы (36 Договоримся называть область Р простой, если для каждой из координатных осей любая прямая, параллельная этой оси, либо пересекает границу этой области не более чем в двух точках, либо имеет на этой границе целый отрезок. Примером простой области может служить п-мерный прямоугольный параллелепипед (ребра которого не обязательно параллельны координатным осям). Для простой области формулу повторного интегрирования можно применять по любой нз переменных х), хь ...,х,.
В заключение отметим, что, как и для случая п=2, справедливо следующее утверждение: Пусть функция 1(х) интегрируема в ограниченной кубируемой области Р. Пусть пространство Е" покрыто сеткой п-мерных кубов с ребром Ь; С), С»,...,С,„(») — те кубы указанной сетки, которые целиком содержатся в Р; $ =(й), ат, ..., $„) — произволь(») (») (») (») ная точка куба С»', т»=)п1('(х), Ь=1, 2, ..., т(Ь). Тогда каждая с из сумм ы(») т(») 1)~ а(~(»))йл и )~ пт Ьл имеет предел при Ь- О, равный и-кратному интегралу (3.17) от функции Г(х) по области Р. П р и м е р ы.
1'. Вычислить объем Т,(Ь) и-мерного симплекса л ((х„х„'..., х„) я Е": х, ) О, 1=1, 2, ..., и; ~~ х( < Ь). Применяя формулу (3.18) последовательно по переменным х), хь...,х„, получим следующее выражение для объема: и-1 » — ~ а! »» — к, (-! Ти(Ь) ) ( ) (...( ~ 1йхл) .)йха)йх1. (319) Сделаем в каждом однократном интеграле в правой части (3.19) замену переменной х)=Ь|1, хн — — Ь$н,...,х =Ь|л. Получим и — 1 Ха( 1 1 — П (-1 т„(А)»" 11~ (...( ( в!)...)~к)щ,.
(320) Из (3.20) следует, что Т,(Ь)=ЬлТ (1). Для вычисления Т„(1) по- лучаем следующую рекуррентную формулу: 137 $4. Тройные и л-кратные интегралы л-! Х 1! ! ! — 1, ! 1 ! Т„(1)*-~( ) ~... ( ~ с($„)...) сЦа) Цт=)" Тл !(1 — $!)Цг= о о 5 о ! ! - (1 — 1,)"-' Т. ,(1) Ц„ = Т„ ,(1) ('(1 — й,)"-' Ц, = Т„ , (1) †' . о ,у и Следовательно, Т„(1)= —.—, .— Т (1), и так как Т (1)=1 1 1 1 и н — 1 2 ! э то Т„Я= —, л1 2'. Вычислить объем Рлф) и-мерного шара В(Я) радиуса 14: л В(Л) ((х„х„..., хл) еи Ел: ~) хо!< яа). ! ! Используя формулу (3.18) „получаем В однократном интеграле по переменной х; сделаем замену пере- менной х!=1т$! (1= 1, 2,...,п).
Получим / л †! (Я) Ял ) ( ) ( ( ) Ц ) ) Ц )Ц )'!л)7 (1) ' -~'мТ Для вычисления )гл(1), как и в предыдущем примере, получаем рекуррентную формулу ! ! л †! Р. (1) = ,) Р. — ()/'~ — ~',) а, = ) (1 — Ц) ' Р. — (1) Ц, = — 1 — ! 138 Гл. 3.
Двойные н л-кратные интегралы ! и-! Сделаем замену переменной 5!=соз6 в последнем интеграле, ввел/3 дем обозначение та ) а1пай!10 н примем во внимание тот факт, что )г!(1) =2. Тогда 1~„(Ц = 2$' ! (1) ) Мп Ос(О = 2)г„ !(1))"„ = ... = о =2 'У У„! ... У,)г (1) =2") У„! ... 1. Таким образом, объем л-мерного шара радиуса )т выражается формулой )г,!(гч) =2"гг"! 1„! ...Ез, откуда, используя нзвестные формулы для интегралов 1аз!, окон. чательно получаем и+! о — 1 й з — Я"и ', еслн л нечетно; лп а 32 — Дол', если п четно. и)! У„(Я) = $3.
ЗАМЕНА ПВРЕМЕННЬ)Х В и-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ ' ! В и. 4 $5 гл. 9 ч. 1 показано, что (й — !)!! , если й нечетной М! (й — !)и н —, если й четко. м! 2 Устанавливаемая в этом параграфе формула замены переменной является одним нз важнейших средств вычисления л-кратного интеграла.
Предположнм, что функция 1(у) =((уг,...,у,) ннтегрнруема в некоторой замкнутой, ограниченной кубнруемой области 0 в пространстве Е". Предположим, далее, что от переменных у!, уз, ...,у, мы переходим к переменным х!, хз, ...,х„, т. е, совершаем преобра- зование 140 Гл. 3. двойные и л-кратные интегралы В (г) Р (г) Р (у) Р (х) В (у) Р (х) (3.24) или в подробной записи: В(г,, ..., г„) Р(г,, ..., г„) Р(у,, ..., у„) Р(хы ..., хл) Р(ут, ..., у„) 0(х,, ..., х„) Доказательство леммы 1. Заметим, что для любых д, в 1=1, 2, ..., и и й=1, 2, ..., и элемент — '(х), стоящий на педхг ресечении 1-й строки и й-го столбца якобиана — и взятый Р (г) Р (х) в точке х= (хь ..., х„), по правилу дифференцирования сложной функции равен И дха й,г' дУт дха т=! (3.25) где у=тра(х).
Но по правилу перемножения определителей равенство (3.25) и означает, что якобиаи — , взятый в точке х, равен Р (г) В (х) произведению якобиана —, взятого в точке х, на якобиан Р (у) Р (х) — взятый в точке у. Лемма 1 доказана. В (г)' 0(у) ' Напомним, что линейным преобразованием координат называется преобразование вида Доказательству теоремы 3.8 предпотплем семь лемм. Сначала дадим обоснование формулы (3.23) для случая, когда преобразование (3.21) является линейным (леммы 1 — 4), а затем сведем к этому случаю 'общее преобразование (321) (леммы 5 — 7). Лемма 1. Если преобразование г=тр(х) является суперпозицией (или произведением) двух преобразований г=тр1(у) и У=туг(х) (т. е. г=ф,(тйг(х))), пРичем все УчаствУюи(ие в этих преобразованиях функции имеют непрерывные частные производные первого порядка, то якобиан —, взятый в точке Р (г) Р (х) х= (хь ..., х„), равен произведению' якобиана —, взятого Р (у) Р (х) в точке х, на якобиан —, взятыи в точке у=(уь ..., у„), В (г) 0(у) ' где у=тра(х), т.
е. й 5. Замена переменных в и-кратном интеграле у,=а, х,+а,х,+ ... +а „х„; у,=а„х +а„х,+ ... +а,„х„; (.3.26) у„=а„,х +а„,х, +... +а„„х„, где аы (г, 1=1, 2, ..., и) — произвольные постоянные числа. Р (у) Для линейного преобразования (3.26) якобиан " сов- Р (х) падает с определителем матрицы этого преобразования Т= =)~ап)), т. е. (3.27) — =де(Т, Р (х) Если этот определитель отличен от нуля, то линейное преобразование (3.26) называется н е в ы р о ж д е н н ы м. В этом случае существует обратное преобразование, также линейное и не- вырожденное, и уравнения (3.26) можно разрешить относительно хь хг, , х . Кратко будем обозначать линейное преобразование (3.26) символом у=Тх, а обратное ему преобразование символом х=Т-'у.
Основной целью следующих трех лемм является доказательство того факта, что для невырожденного линейного преобразования (3.26) и для каждой непрерывной функции ((у) справедлива формула замены переменных (3.23), которую с учетом соотношения (3.27) можно представить в следующем виде: ~ )(у)г(у= ) Г(Тх)(бе1Т(бх= )бе1 Т) 1 Г(Тх) дх, (3.28) Ь о о где 0'= Т-'О. Сначала рассмотрим два линейных преобразования частного вида: 1) линейное преобразование Тп, заключающееся в том, что к (-й координате добавляется 1-я координата, а все остальные координаты при этом сохраняются: ух=хе при 4=1, 2, ..., 1 — 1, 1+1, ..., и; у;=х;+хь нлн у= Тпх (краткая запись); 2) линейное преобразование Т, заключающееся в том, что 1-я координата умножается на число ХчьО, а все остальные координаты при этом не меняются: 1 Уа = ха пРи й = 1, 2,, ( — 1, (+ 1,, п) у;=-)х,, п ли у = Т,"х (кр аткая запись) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
