В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Диаметром р а з б и е н и я области Р назовем число Л = щах й!. !<!~т Оп р еде лен не 2. Число 1 называется пределом ин т егр ал ь н ых сумм (3.3) при Л-!-О, если для любого положительного числа н можно указать такое положительное число б, что при Л(б независимо от выбора точек Р! в частичных областях Р, выполняется неравенство ~1о — 11 е. О п р е д е л е н и е 3 (общее определение интегрируемости).
Функция !(х, у) называется интегрируемой (по Риману) в области Р, если существует конечный предел 1 интегральных сумм о этой функции при А-!-О. Этот предел 1 называется двойн ы м и н т е г р а л о м от функции 1(х, у) по области Р. Докажем следующую фундаментальную теорему. Теорема 3.5. Общее определение интегрируемости эквивалентно определению, данному в п. 3. Доказательство. 1) Пусть функция !(х, у) интегрируема в области 0 согласно общему определению интегрируемости и ее двойной интеграл согласно этому определению равен 1. Заключим 0 в прямоугольник 1т, разобьем его на частичные прямоугольники и введем на )т! функцию Р(х, у) по правилу (3.2).
Рассмотрим интегральную сумму (3.3) о функции !(х, у) и интегральную сумму (3.1) о функции Р(х, у). Эти суммы могут отличаться друг от друга лишь слагаемым~и, соответствующими частичным прямоугольникам разбиения, имеющим общие точки с границей Г области Р. Поскольку Г имеет площадь нуль, а функция !(х, у) ограничена, то эта функция интегрируема и согласно определению п. 3.
По этому же определению она имеет тот же самый двойной интеграл 1. 2) Пусть функция !(х, у) интегрнруема в области 0 согласно определению п. 3 и 1 — двойной интеграл от !(х„у) но области Р согласно этому определению. Докажем, что для функции 1(х, у) существует равный 1 предел интегральных сумм о при Ь О. 6 !. Определение и условия существования двойного интеграла 126 Составим для данного разбиения области Р верхнюю и нижнюю суммы (здесь Мт=зцр/(х, у), гл; !п1/(х, у)).
Так как для любого разо, о, биения (при любом выборе промежуточных точек в интегральной сумме о) же<Я, то достаточно доказать, что обе суммы Я и й стремятся к 1 при Л-~0: для любого з)0 найдется б)0 такое, что каждая из сумм Я и й отклоняется от 1 меньше чем иа з при Л<б. Фиксируем произвольное е»0. В силу теоремы 3.1 и утверждения 1 для этого н найдется разбиение Т прямоугольника К(Рс:.Гс)' на частичные прямоугольники /т'а такое, что для него З вЂ” < — и е ъч а 2 6Ме напгча (3.4) (3.5» 8<5+а/2, з — е/2<2. Докажем первое неравенство (3.5) (второе неравенство доказывается аналогично). Удалим нз суммы Я все слагаемые М;ЛРь соответствующие областям Рь каждая из которых не лежит целиком в одном частичном прямоугольнике разбиения Т. Все такие области Р;~1~ (так как А =Л<б), а поэтому общая сумма плошадей таких областей меньше числа е/6Ма.
где М, апр!/(х, у)!. о Заключим все отрезки прямых, производящих разбиение Т, и границу Г области Р строго внутрь элементарной фигуры Я, плое щадь которой меньше числа —, Тогда заведомо существует 6Мо положительная точная нижняя грань б расстояния между двумя точка~ми, одна из которых принадлежит границе фигуры Я, а другая — отрезкам прямых, производящим разбиение Т, или границе Г области Р. Построение фигуры Я может быть проведено по схеме, предложенной при обосновании утверждения 1 в п.
3. Докажем, что для сумм К и й любого разбиения области Р, удттзлетворяющего условйю Л б, справедливы неравенства Гл. 3. Двойные н н-кратные интегралы Следовательно, сумма всех удаленных слагаемых ЯгЛРг меньтпе числа е/б, и справедлива оценка 3< ~~~ ИгЛР,+ — ', 6 (3.6) где штрих обозначает, что сумма распространена лишь на области Рь каждая из которых целиком содержится в одном нз прямоугольников разбиения Т. Заменим теперь в правой части (3.6) точные грани Яг в областях Рь содержащихся в частичном прямоугольнике )»», точной верхней гранью М» в прямоугольнике тс».
Введем обозначение »т»- () Р, н через Л)т» обозначим площадь области Я». Тогда гс л» получим о < ~ М»о)т»+ —. 6 (3.7) для прямоугольников тг», пересекающихся с Г, Е Х 6М и, следовательно, 1 ~ 1~~ е а а 5 — У М»а»(=ХМ»(М вЂ” Г»М ~ < — +— б 6 3 т. е. 'М»ЛЯ,< 5+ — '.
3 Из последнего неравенства и из неравенства (3.7) получаем, что о<о+ — + — =о+— 3 6 2 и первое неравенство (3.6) доказано. Второе неравенство (З.б) доказывается аналогично. Из (3.5) получим в в з — < з<о<Я+ —. 2 2 (3,8) Для прямоугольников )с*с:Р области тт»"Я»с:Я, поэтому для них ЛЖ '~,Р») = ~~) (М вЂ” М») < ~4 <— 6%» 127 5 2. Освоввые свойства двойного интеграла Так как в онлу (3.4) каждая из сумм з и В отклоняется от Т меньше чем на е/2, то каждая из сумм У и о в силу (3.8) отклоняется от 1 меньше чем на в. Теорема доказана. $2.
ОСНОВНЪ|Е СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА Свойства двойного (интеграла вполне аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла. 1'. Аддити в ность. Если функция 1(х, у) интегрируема в области Р и если область Р при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области Р, и Рь то функция )(х, у) интегрируема в каждой из областей Р1 и Рь причем Д)(х, у)йхйу ~~~(х, у)йхйу+Ц~(х, у)йхйу. (39) о о, о» Для доказательства этого свойства разобьем области Р~ и Ра на конечное число квадрируемых областей, тем самым получим разбиение области Р. Пусть 3 и з, Я| и Уь Ят и Уа — верхние и нижние суммы функции 1(х, у) соответственно в областях Р, Рь Р,. Так как Р,сР и РтсР, то 3| — У,(Я вЂ” У и Яа — за СЯ вЂ” У, откуда н вытекает интегрируемость функции 1(х, у) в каждой из областей Р|иРь Справедливость соотношения(3.9) следует из того, что (3.10) у!+32, з з1+з2.
Замечание. Справедливо и обратное утверждение: из интегрируемости функции 1(х, у) в каждой из областей Р» и Ра следует интегрируемость функций в области Р и справедливость формулы (3.9). Лействительно, разбивая область Р на конечное число квадрируемых частей,0 ~и вводя верхние и нижние суммы функции 1(х, у) в областях Р, .Рь Рт, мы получим равенства (3.!О), верные с точностью до слагаемых, отвечающих тем областям Рь которые имеют общие внутренние точки с кривой Г. Кривая Г имеет площадь нуль, функция ) (х, у) ограничена, поэтому общая сумма этих слагаемых будет стремиться к нулю при стремлении к нулю диаметра разбиения А.
Вывод последующих свойств (так же, как и вывод свойства 1) вполне аналогичен выводу соответствующих свойств однократного определенного интеграла. Ограничимся формулировкой этих свойств. 2'. Линейное свой ство. Пусть функции 1(х, у) и Ы(х у). интегрируемы в области Р, а и 9 — произвольные вещественные Гл. 3. Двойные и н-кратные интегралы числа. Тогда функция а((х, у)+()д(х, у) также интегрируема в области Р, причем Ц(а~(х, у)+~у(х, у))йхс(у аЦг(х, у)с(хйу+ о о +() Ц д(х, у)ахау. о 3'. Если функции )(х, у) и д(х, у) интегрируемы в области Р, то и произведение этих функций интегрируемо в Р.
4'. Если функции Дх, у) и д(х, у) интегрируемы в области Р и всюду в этой области ) (х, у) ~д(х, у), то Ц Т(х, у) йхс(у < Ц д(х, у) Ихс(у. о о 5'. Если функция ((х, у) интегрируема в области .Р, то и функция ~Г" (х, у) ( интегрируема в области Р, причем ~ Ц~(х, у)йхйу~ ~( Ц ~~(х, у)~йхйу. (Обратное утверждение неверно: из .интегрируемости ~у(х, у) ) в Р, вообще говоря, не вытекает интегрируемость г(х, у) в Р.) 6', Если функция ((х, у) интегрируема в области Р, а у(х, у) ограничена и совпадает с ~(х, у) всюду в Р, за исключением множества точек площади нуль, то и у(х, у) интегрируема в области Р.
7'. Теорема о среднем з на ч е ни и. Если функции Г(х,у) и у(х, у) интегрируемы в области Р, функция д(х, у) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, М =знрг(х, у), о пг=!н$~(х, у), то найдется число рен[гп, М) такое, что спрао ведлива формула Ц 1(х, у)у(х, у) йхйу= и Ц д(х, у)йхйу. о о Если при этом функция Г(х, у) непрерывна в Р, а область Р связно, то в этой области найдется такая точка Ц, ц), что р= =г(в, ч). 8'.
Геометрическое свойство. Ц1ахйу равен плов и4ади области Р (см. утверждение 2 из и. 3). й 3, Сведение двойного интеграла к повторному однократному 129 й 3. СВЕДЕНИЕ ДВОИНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ ОДНОКРАТНОМУ Эффективным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к однократным интегралам. 1. Случай прямоугольника. Начнем с простого случая, когда область интегрирования представляет собой прямоугольник =[а<х<Ь)Х [с<у<д1.
Теорема 3.6. Пусть функция [(х, у) интегрируема в прямоугольнике )г, и пусть для каждого хан[а, Ц существует однократный интеграл Т(х)= ~Т(х, у)ау. г (3.11) Тогда существует повторный интеграл ь ь л ) Т(х) йх = ~ дх ) / (х, у) ау и справедливо равенство ь л Ц Т (х, у) ь(х ду = ~ г(х ~ Т (х, у) ду. и а р (3.12) Доказательство. Разобьем прямоугольник 1г с помощью точек (хь), (УД на пр частичных прямоугольников Пы= [хь 1<х<хь1 Х [Уь 1(У<Уг) (Й=1, 2,...,п; 1=1, 2,...,р) так, что ха=а, х =о, уо=с, ур — — д н Ьхь=хь — хь,)0, Ау~=у~-у~-~)0.
(3.13) пан<1(х, у) <Мьь ФиксиРУем пРоизвольное число $ьеи[хь ь ха1 и пРоинтегРиРУем неравенство (3.13) по у в пределах от у~, до уь положив в нем х=йь Получим иь Птатйуа 'Ч ~ 1(авЬ у) "уа'Мыдуь а~ а (3.14) 5 заа. 2в Пусть, как и в 5 1, число А обозначает диаметр разбиения прямоугольника 1г, Мьг =зпр1(х, у), тм = 1п11(х, у), а 5 ~и з— яы нм верхняя и нижняя суммы функции 1(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
