В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 26
Текст из файла (страница 26)
«ас В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого множества 6 и для линейного преобразования Т справедливо равенство (3.36). Положим 6=Т гф(С), тогда Т6=Т(Т-гф(С) ) =ф(6) и У(»р(С)) = ! пе1 Т( У(Т 'ф(С)). (3.43) Оценив правую часть (3.43) с помощью неравенства (3.38), в котором вместо преобразования ф возьмем суперпозицию преобразований Т '»р, получим У(ф(С)) < (де(Т~ [|пах ЦУт-гя(х)П1" У(С). (3.44) «ес По лемме 1 У вЂ” =У, Уч — — Т 'Ун, ибо матрица Якоби линейного преобразования совпадает с матрицей этого преобразования. Но это и означает, что неравенство (3.44) может быть переписано в виде (3.42).
Неравенство (3.42) доказано. 2) Докажем теперь непосредственно неравенство (3,41). Покроем пространство Е«сеткой и-мерных кубов с ребром й. Пусть Сь Сь ..., С ~»,— те кубы, которые целиком содержатся в 6, и пусть 6„= () С» г«»««нм В каждом кубе С, фиксируем произвольную точку х» и запишем для этого куба С» неравенство (3.42), полагая при этом Т=У (х»). Получим У(ф(С»)) < ~де( Уч(х»)! (шах Щ(х»)] ' Ут(х)й)" У(С»).
(3 45) «вс» Поскольку элементы матрицы Якоби У„(х) являются непрерывными функциями переменной х во всей области Р', а следовательно, и равномерно непрерывными в Р', то ~!Ут(хЦ вЂ” равномерно непрерывная функция в 6с:Р', Отсюда заключаем, 4 о. Замена переменных в л-кратном интеграле !49 что функция ]](У„(ха)]-)Ха(х)]]а также равномерно непрерывна в 6. Учитывая, что ]](7т(ха)]-)74(ха)]]=1, получаем, что для любого е>0 найдется 6>0 такое, что для всех х, хаенб, для которых р(х, ха)(6, выполняется неравенство ]~(74(ха)] — 'Х Хуа(х)]]а<1+а.
Таким образом, если выбрать й>6, то шах х леса х П]зе(ха)] 'А~(х)Ц" ( 1+а(для всех й) и оценку (3.45) можно записать в виде У()р(С„)) < (1+ е) ]бе! 74(х„)! У(Са). Суммируя последнее неравенство по всем й=1, 2, ..., пт(й), получим ана) 1г()])(ба)) <(1+ в) "~ ]бе!79(ха)] *к(Са). (3 46) Ъ'(С„) < ~ ]сне(уе(х)] с!х. (3.47) Умножим обе части (3.47) на та, где )па = !и! 7 (у) = ) п! 7 ])]) (х)], са ва и просуммируем полученные неравенства по всем й от 1 до т(й): т)И) м)Ы ~ тар(Са) <')" та ] ]бе! Уе(х)! дх. (3. 48) л=) в„ Из утверждения, сформулированного в конце $4 этой главы, следует, что предел пря й — э-0 всей правой части (3.46) сушествует и равен (1+е)] ]бе1уч(х)]дх (е>0 — произвольное число).
Кроме того, 1ппб„=-б, так что в пределе при й- 0 из в о неравенства (3.46) получается неравенство (3,41). Лемма 6 доказана. Лемма 7. Если выполнены все условия теоремы 3.8 и дополнительно предполагается, что фунщия !(у) неотрицательна в В, то справедлива формула замены переменных (3.23). Доказательство леммы 7. Покроем пространство Е" сеткой и-мерных кубов с ребром й и обозначим через С), Са, ... , С <и) те из этих кубов, которые целиком содержатся в В. Пусть ба=)р-)(Са). Для каждой области ба запишем неравенство (3.41): Гл.
3, даойные н н.кратные ннтегралы По теореме о среднем значении ~~[ф(х)[ [де1уе(х)[ ((х=р» ~[1((е1/, (х)~ ~Ь, а» где р»и [л(„М»1, М»=зпр7[ф(х)). Поэтому а л!» 1 [де1 уе (х) ~ ((х < р» [ ~ де1 Хе (х) ~ ((х = ~[7 [(р (х)) ~ бе1 у (х)1 е(х й» е н неравенство (3.48) можно усилить: в(»! т(»! ~~ т»т'(С») <'[" ) (*[(р(х)1(де1не(х)1(1х. (3.49г »-! »-! 6» В силу утверждения, сформулированного в конце $4, левая часть (3.49) при Ь-+О имеет предел, равный ) 1(у)((у, н по- п т(»] скольку 11п! э О» = 6, где (т'=(р-((Р), то в пределе при но »=! й-!-0 получается ) 7 (у) ((у < ) 7 [(р (х)] 1бе1 уе (х) ~ ((х. (3.50) о о Меняя в этих рассуждениях ролями Р н Р', рассматривая.
в Р' функцию Л(х) =[[(р(х)) ~де1Хе(х) ~ и используя лемму 1 и теорему об определителе произведения двух матриц, получи»а противоположное неравенство ~ ~ [(р (хи [бе(,7 ( К ((х < )е 7 (И ((р. (3. 51 р Из (3.50) и (3.51) вытекает доказываемая формула замены. переменных. Лемма 7 доказана. Доказательство теоремы 38. Пусть 1(у) — произвольная интегрируемая по области Р функция и выполнены все условия теоремы 3.8. Из интегрируемостн функции ((у) в области Р получаем, что суп»ествует постоянная М)0 такая, что 11(у) ~(М в Р.
Для каждой нз неотрицательных функций 1! (у) = — М и 1»(у) =М вЂ” 1(у) теорема 3.8 справедлива (в силу леммы 7). На тогда из линейного свойства интеграла вытекает справедливость формулы (3.23) и для разности [((у) — [е(у) =/(у). Теорема 3.8 доказана. $ З. Замена переменных в а-кратном интеграле 3 ам еч а ни е 1. В условиях теоремы 3.8 можно допустить обращение в нуль якобиана (3.22) на некотором принадлежащем Р' множестве точек 5, имеющем и-мерный объем нуль.
В самом деле, множество 5 лежит внутри элементарной фигуры С как угодно малого объема, причем согласно доказанному выше справедлива формула 1(У) с)У = ~ Г)гР(х)] ] бе1 гь(х) ] дх. (3.32) о<О, С1 олкс Осуществляя в формуле (3.82) предельный переход по последовательности элементарных фигур (Са), 5~Се, и-мерный объем У(Са) которых стремится к нулю, убедимся в справедливости формулы (3.23) и для рассматриваемого случая.
Замечание 2. Имеет место следующее утверждение, являю. щееся частным случаем так называемой теоремы Сарда г1. У т в е р ж д е н и е. Пусть 6 — замкнутая ограниченная кубируемая область и Е", а функции (3.21) имеют в П непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным. Пусть А=(херб: бе1Та(х) =О), Тогда и-мерньгй объем множества А равен нулю. Это утверждение и замечание 1 позволяют освободиться в теореме 3.8 от требования необращения якобиаиа (3.22) в нуль в области Р'.
3 а м еч ание 3. Как показывает рассматриваемый ниже пример, требование взаимной однозначности преобразования тр существенно даже в случае связной области и условия бе!Та(х)ФО для всех хенЕ". П Р им е Р. Пусть Р'=((хь хг) ~Е~: х~ен]О, 1]; хге=] — 2я,2п]), з у=ту(х) определено равенствами у,=е" созх„у,=е' з)пхе. Тогда Р ф(Р') =((у! уг) е:-Ег 1< (у,г-)угг) иг<е), Легко подечитать, что якобиан преобразования бе11ь(х)=ег' не равен нулю для всех х~Ег. Сравним между собой интегралы в формуле (3.23') для 1(у) — 1: Дс(угс(у =п(е' — 1); Ц ]бе!(ь(х„х,)] бхгахг= о о с(х ] егг> с(х 2гт (ег 1) Таким образом, формула замены переменных не имеет места.
м Артур Сард — американский математик (рок. в !909 г.) $6. Вычисление объемов л-мерных тел 153 2'. Для цилиндрических координат в пространстве Е' х=гсоз!р, у — г з!и 4р (!' > О, 4Р е= [О, 22!), г ен ( — оо, + оо)) г =г якобиан имеет вид соз !р — г з! п <р 0 з!п<р гсоз<р 0 0 0 1 Р(2, У, 2) Р(г, !р, 2) Следовательно, элемент объема равен гдг414рс(г. В частности, для полярных координат на плоскости элемент площади равен гс(гс(4р.
3'. В пространстве Е" сферические координаты определяются равенствами х,=гз!пб,з!п0,... з!п0„,; а — ! х =гсоз0 ! П з!пйа, т=2, З,,п — 1; х = г соз 0„!, (! ~~ О, О, ~ [О, 2п), 0 е= [О, л:], и = 2, 3, ..., и — 1), якобнан имеет вид Р(хт,х»»ха) „а !Г» . а — !О ! [ з!ив Р (г, 0, ..., В„) У = 4 и 4(хс(У4(г, о Р = ((х, у, г) ен Е': х !ж [О, )т[, у ен [О, )г Ях — х'1, '! Эта фигура называется «телом Вивиани» ио имени итальянского математика ХН11 в.
Таким образом, элемент объема в и-мерных сферических коорл — 1 динатах равен ! — !4(г П з!па — ! Оа!(02. а=! Примеры. 1'. Вычислить объем У тела, вырезанного цилиндром ха+уз=!тх из сферы ха+уз+гз=»!тз (рис. 3.6) 4!. Тело симметрично относительно координатных плоскостей Оху н Охг и расположено направо от плоскости Оуг, Поэтому достаточно вычислить объем четверти тела, лежащей в первом октанте, т. е. 154 Гл. 3. Двойные и и-кратные интегралы г ен(0, )/ Ро — (х'+ ув)]). Перейдем к цилиндрическим координатам.
Область (г' определяется так: 1/<= ((~р, г, г) я Е': ~реп ~0,— ~, гя 10< Рсоз<р)< ген (О )<гР— гЧ~- Рис. 3.7 Рнс. 3.6 Формула замены переменных дает и/и Лсоее т л' — ы У= 4ЩгоИ<рс(г=4 ~ (/йр ~ гй ~ 1Нг= о о о о и/и и со< е и/2 4 <' = 4 ~/(<р ~ г~гРа — га/(и= — ' Р'(1 — з(по~р)йр= 33 о о о 4 Рв(и 2) Таким образом, Ра('т 3 ) Записав результат в виде У=(2/3)ив — (8/9)Рв, отметим, что вычисляемый объем на (8/9)Ра меньше объема полушара радиуса Р, из которого оно вырезано. 2'. Вычислить интеграл у= Щ,""", х (дж, о 5 6. Вычнсленне объемов в-мерных тел где Р— тело, ограниченное сверху поверхностью (х'+ у'+ г') ' = а'ху, а снизу плоскостью г=О.
В сферических координатах уравнение поверхности (3.54) примет внд г'=а' з(п' 0 ейп <р сов /р. Так как г)0 для точек поверхности Р, то, учитывая симметрию тела относительно оси Ог, после замены переменных получим в/о е/о Оыее о$3пфеооф 2=2 ~ йр ~ /10 ~ гоз(пфсоз<рз1пйсоз О/(г= о о о и/о в/о г, г о' = — 1 з1п' р созе ~р/(ф 1 з(по 0 соз 0/10 = —. 2 ,1 144 о о 3'. Вычислить интеграл где Р— и-мерный шар радиуса )т с центром в начале координат; л Р=~(хы хо,..., х„)ЯИ Е":~)' хо< )~о~, л ) 2.
о-! Перейдем к сферическим координатам в Е'. Р' = ((г, 0„..., О, ~) ен Е": г ен (О, Ц, 0,~ "10, 2п1, Олен(0, п|, 4=2, 3,..., и — 1), т. е. область Р' — параллелепипед. Формулы замены переменных (3,23) н повторного интегрирования (3.18) приводят к интегралу ~=~.Ч ~ Дй,~з(пй,Л0,... ~з(п- 0„,ай„ь о о о Воспользовавшись формулой, выражающей интегралы от степеней синуса (см. и. 4 $ 5 гл. 9 ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
