В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 27
Текст из файла (страница 27)
1 или сноску на с. 138 втой книги), получим 1=2" — А(п), в+1 Гл. 3. двойные и л-кратные интегралы !за л-1 л — 1 2 г го ', если п нечетное; (л — 2))! где А(л) = л — 2 л 2 ив, если и четное. (а — 2)! ! 4'. Вычислить интеграл Пуассона Ю ) и — «'ах. Рассмотрим на плоскости две области Сл — — ((х, у) ен Е': хе + уа < Ев, х т О, у ) 0), Кл=((х, у) е= Е': 0 <х< Я, 0<у < Е) н неотрицательную функцию двух переменных е-!"*л и!. На рис. 3.7 изображены области Сл, Сел — четверти кругов радиусов И и 2Е в первом квадранте, и область Ке — заштрихованный квадрат. Поскольку СлсКлсСое„то ц,-"+м,(„(„~ ц;"'+'!,(х,(у< ц -'"* *' Ыу. (3.55) сл кл соя Для среднего интеграла (3.55) получим Це !и+о!дхо(у=~ и ' о(х~е " йу= Де "Их) кн о о о Чтобы подсчитать оставшиеся два интеграла, сделаем замену переменных, переходя к полярным координатам.
Область, которая при этом преобразовании переходит в Сл, имеет вид Сл = ~(г, ф) ~ Е'! г я (О, И1, ф ен ~ О, —" 1 ~, 2 ) Применяя формулу замены переменных, получим л!2 и ~ е ни+ив Их!(у = Д е-'* гоЫф = ~ Йр~ е — '" гт(г = — (1 — е — и); сл оя о о ~ е — ее+У'! 4(хо(у = — (1 — е — 4л*) 4 сан $7. Теорема о ночаенном интегрировании функциональных Б7 Подставим полученные выражения в (3.55): — »'т — ~<1 "Й < — »' 1 — ' (».ББ» 2 г 2 о Перейдем к пределу в (3.56) при )с-»-оо. е — л* йх 2 о Этот элегантный прием вычисления принадлежит Пуассону. й 7.
ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕИ И РЯДОВ В 2 4 гл. 2 была доказана теорема 2.8 о почленном интегрировании функциональной последовательности ()л(х)) на сегменте (а, (») числовой прямой. Аналогичная теорема имеет место и для случая, когда функциональная последовательность определена и ннтегрируема в некоторой области пространства Ем (т)2). Теорема 3.9. Пусть Р— некоторая ограниченная замкнутая кубируемая область в Ем.
Если функциональная последовательность Д„(х)) сходится к предельной функции 7(х) равномерно в Р и если каждая функция 1„(х) интегрируема в области Р, то и предельная функция интегрируема в этой области, причем указанную последовательность можно интегрировать в области Р почленно„ т. е. ) Г(х)йх=!пи ~Г„(х)йх.
о л->ы Доказательство. Фиксируем произвольное а>0. Как и при доказательстве теоремы 2.8, для доказательства интегрируемости 7' в области Р достаточно доказать, что найдется номер и такой, что для любого разбиения области Р верхняя сумма Е и нижняя сумма э предельной функции )(х) и верхняя сумма 5, и нижняя сумма зл интегрируемой в Р функции 7'„(х) связаны неравенством Š— з~ ((Ел — ел) + е~2. (3.57) Рассмотрим произвольное разбиение области Р при помощи конечного числа произвольных многообразий т-мерного объема нуль на конечное число частичных областей Р, (1=1, 2, ..., г) произвольной формы, не имеющих общих внутренних точек. Обозначим символом ь»((1,) колебание функции 1„(х) в области Гл.
3. двойные н н-кратные интегралы .0с(мс(1„)=зпрГ„(х) — !п17„(х)), а символом сос(~) колебание в Рс ос ос предельной функции ) (х). Докажем, что для любого достаточно большого номера и справедливы неравенства сос([)~сос([,)+е7(2АР), с=1, 2, ..., т, (3.58) где АР— и-мерный объем области Р. Умножая затем (3.58) на объем ЬРс частичной области Рс и суммируя получающиеся при этом неравенства по всем с, получим неравенство (3.57). Для любого номера и и любых двух точек х' и х" области Р; справедливо тождество 1 (х') — 1 (х") = [[(х') — [„(х') )+[[„(х') — [„(хл) [+[[„(х") — 1(хн) ).
(3.59) В силу равномерной на Р сходимости последовательности (с,(х)) к функции 1(х), для фиксированного нами произвольного е>0 найдется номер и такой, что для всех точек х области Р [1,(х)-1(х) [(е/(4ЛР). (3.60) Применяя к правой части (3.59) неравенство (3.60), взятое для точек х=х' и х=х", получим [1(х') — 1(х") [ ~ Ц„(х') — ~„(х") [ + е1(2ЬР). (3.61) Из неравенства (3.61) получаем [7(~') — 1(х") [ < ~~(~„)+ ~/(2ЛР), откуда, как и в случае теоремы 2.8, следует доказываемое неравенство (3.58). Таким образом, доказательство интегрируемости предельной функции 1(х) в области Р завершено. Утверждение о возможности почленного интегрирования последовательности (1„(х)) следует из оценки (3.60), справедливой для всех точек хенР, и из отмеченного в $ 4 факта: значение интеграла ) 1йх равно и-мерному объему ЛР области Р. Теорема 3.9 о доказана.
Приведем формулировку теоремы 3.9 в терминах функциональных рядов: Теор ем а 3.9*. Если функциональный ряд ')" ил(х) (х =(х„х„..., х„) ен Е'") ь-1 сходится к своей сумме 5(х) равномерно на некоторой ограниченной замкнутой кубируемой области Рс:.Еес и если кождьсй член |89 $8.
Кратные несобственные интегралы этого ряда иа(х) представляет собой функцию, интегрируемую в области .Р, то и сумма 5(х) интегрируема в области Р, причем указанный ряд можно интегрировать на множестве Р почленно, т. е. С ) Я(х) йх=~' ) и„(х)йх. о 1=| 0 (3.62) $8. КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЪ| а„= ) Г(х) йх (3.63) и этот предел не зависит от выбора последовательности (Р ), то этот предел называется несобственным интегралом от функции )(х) по множеству Р и обозначается одним из следующих символов: ~ ~ (х) йх нли ~ ... ~ 7 (хы х„..., х„,) дхтйх ... дх . (3.
64) о о При этом несобственный интеграл (3.64) называется сходящим- с я. Этот параграф посвящен обобщению понятия кратного интеграла на случаи неограниченной области интегрирования и неограниченной подынтегральной функции. Мы сформулируем понятие несобственного кратного интеграла так, что будут охвачены оба указанных случая, 1. Понятие кратных несобственных интегралов. Пусть Р открытое связное множество пространства Е .
Символом Р обозначим замыкание Р, которое получается путем присоединения к Р его границы. Определение 1. Будем говорить. что последовательность (Р,) открытгях связных множеств монотонно исчерпывает множество Р, если: 1) для любого номера и Р с:.Р,+,, 2) объединение всех множеств Р„совпадает с Р. Пусть на множестве Р задана функция 1(х), х=(хь х,, ..., х ), интегрируемая по Риману на любом замкнутом кубируемом подмножестве Р. Будем рассматривать всевозможные последовательности (Р„) открытых множеств, монотонно исчерпывающие Р н такие, что замыкание Р, каждого множества Р, кубируемо (отсюда, в частности, вытекает, что каждое множество Р, ограничено). Определение 2.
Если для любой такой последовательности (Рл) существует предел числовой последовательности Гл. 3. Двойные в п-крвтные интегралы Отметим, что символ (3.64) используется и в случае, когда предела укаэанных выше последовательностей не существует. В этом случае интеграл (3.64) называется расходящимся. 2. Два признака сходимости несобственных интегралов от не»зтрицательиых функций.
Т е о р е м а 3.10. Для сходимости несобственного интеграла (3,64) от неотрицательной в области Р функции !(х) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности кубируемых областей (0„), монотонно исчерпьлваюьцей Р, бьсла ограниченной числовая последовательность (3.63) . Доказательство. Необходимость. Сходимость несобственного интеграла (3.64) по определению 2 означает, что последовательность (а»), определяемая равенством (3,63), сходится для всех последовательностей областей (О»), монотонно исчерпывающих О, а, следовательно, последовательность (а„) ограничена для каждой такой последовательности (О,). Достаточность.
Последовательность (3.63) ограничена н не убывает, так как О.с 0 +, и ((х)>0, следовательно, она сходится к некоторому числу 1. Остается доказать, что если мы выберем любую другую последовательность кубируемых областей (О' ), монотонно исчерпывающую область О, то последовательность а„= ) !(х) дх сходится к тому же числу 1.
Фиксируем любой номер по и рассмотрим область Р„,, Найдется номер п, такой, что О~с-Р . Действительно, допустим, что это ие так. Тогда для любого номера й можно указать такую точку М»ев Р,„, которая не принадлежит области О». Из последовательности (М») можно (в силу замкнутости и ограниченности О,,) выделить сходящуюся к некоторой точке Мни О, последовательности. Точка М вместе с некоторой окрестностью принадлежит одному из множеств О»,. Но тогда этому же множеству О», (н всем множествам О» с большими номерами) принадлежат точки М» с как угодно большими номерами. А это противоречит выбору точек М». Итак, существует номер п1 такой, что О„,с: 0»с Поэтому »е ~ а"1 ~' 'Отсюда следует, что последовательность (а»') сходится к некоторому числу 1' -1. Меняя местами в наших рассуждениях последовательности (а„') и (а„), придем к неравенству 1(1'.
Следовательно, 1'=1. Теорема доказана. В 5 6 можно найти пример вычисления несобственного интег- рала 1б! $8. Кратные несобственные интегралы 1 = Ц е *' и дхду = Нш ( 1 е — а и Йхг(у = —, в-~ Ф л 4 Р где Р=((х, у)еи Еа, х) О, у>0), С„=((х, у)еп Еа, хе+ус<ив, х) О, у) 0); н=1, 2..., (см.
пример 4' 56, в котором следует заменить 1т на а). Теорема 3.11 (общий признак сравнения). Пусть функции )(х) и у(х) всюду на открытом множестве Р удовлетворяют условию О <1'(х) «у(х) . Тогда из сходимости несобственного интеграла ) д(х) дх вытекает сходимость несобственного интеграла о ) 1(х) дх, а из расходимости ) 1(х) дх вытекает расходимость о о ) д(х)дх. о Доказательство. Пусть (Р,) — последовательность кубируемых областей, монотонно исчерпывающих область Р. Из очевидных неравенств а„= ~ 1'(х)т(х < ~ д(х) дх =Ь„ ов ов следует, что ограниченность (Ь ) влечет ограниченность (а„) и неограниченность (а„) влечет неограниченность (Ь„) (для любой последовательности областей (Р„)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
