В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В дальнейшем мы будем рассматривать поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.!) и удовлетворяющую пяти требованиям: она должна быть 1) гладкой, 2) без особых точек, 3) двусторонней, 4) полной и 5) ограниченной. 2. Вспомогательные леммы. Лемма 1. Если Ф вЂ” гладкая поверхность и Мо — не особая ее точка, го достаточно малая окрестность точки Ме однозначно. проектируется на касательную плоскость, проходящую через любую точку этой окрестности. До к аз а тельство.
Пусть окрестность Ф точки Мо такова„ что; 1) нормаль в пределах этой окрестности составляет с нормалью в точке М, угол, меньший и/4, 2) окрестность Ф однозначно проектируется на некоторый круг в одной из координатных плоскостей (например, Оху). Возможность выбора такой окрестности Ф вытекает из того, что в предыдущем пункте было установлено существование окрестности рассматриваемой точки Мщ обладающей двумя свойствами; 1) в этой окрестности существует.
Гл. 5. Поверхностные интегралы непрерывное векторное поле нормалей; 2) эта окрестность однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей (очевидно, в этой окрестности есть часть, проектирующаяся на некоторый круг в координатной плоскости). Отметим, что любые две нормали к точкам Ф составляют угол, меньший и/2. Предположим, что рассматриваемая окрестность Ф не проек-тируется однозначно на касательную плоскость, проходящую через некоторую точку М еиФ. Тогда в этой окрестности найдутся две точки Р и О такие, что хорда РЯ параллельна нормали к Ф в точке М.
Рассмотрим линию пересечения Ф с плоскостью, параллельной оси Ог и проходящей через хорду РЯ (предполагаем, что Ф однозначно проектируется на плоскость Оху). На этой линии в силу теоремы Лагранжа найдется точка У, касатель,ная к которой параллельна хорде РО, а поэтому параллельна нормали в точке М.
Это означает, что нормали в точках М и бг составляют угол и/2, что противоречит выбору Ф. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы. Лемма дока.зана. Будем говорить, что участок поверхности имеет размеры м е н ь ш е б (6>0), если он лежит внутри некоторого шара радиуса 6~2. Л е м м а 2. Для гладкой ограниченной полной поверхности Ф без особых точек найдется число 6>0 такое, что любой участок Ф, размеры которого меньше б, однозначно проектируется а) на одну из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость, проходяи1ую через любую точку этого участка.
Доказательство. Выше, в замечании 2 и в лемме 1, мы доказали, что для каждой точки поверхности Ф найдется достаточно малая окрестность Ф, которая однозначно проектируется .а) на одну из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость, проходящую через любую точку СР. Предположим, что утверждение леммы неверно, т. е.
не найдется числа 6>0, указанного в формулировке леммы. Тогда для любого 6„=1)п (и=1, 2,,) найдется участок Ф„, имеющий размеры меньше 6 и ие проектирующийся однозначно либо на одну из координатных плоскостей, либо на касательную плоскость, проходящую через некоторую точку М„~ Ф„. Выберем в каждой части Ф„точку М„и выделим из последовательности (М„) точек ограниченной полной поверхности Ф подпоследовательность хМа ), сходящуюся к некоторой точке Мо~Ф.
В силу замечания 2 и леммы 1 найдется достаточно малан окрестность Ф точки Ме, которая однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей и на касательную плоскость, 181 ф 1, Понятия поверхности и ео площади проходящую через любую точку Ф.
Все Фк„, начиная с неко. торого номера я„, попадут внутрь Ф, а это противоречит выбору частей Ф„. Лемма доказана. Л е м м а 3, Пусть Ф вЂ” гладкая без особых точек двусторонняя полная ограниченная поверхность, определяемая уравнениями (5.1). Тогда для любого и>0 найдется 6>0 такое, что для каждого участка поверхности Ф, имеющего размеры меньше 6, угол у между двумя любыми нормалями к точкам этого участка удовлетворяет условию сазу=! — а, (5.7) где 0<а<и. Д о к а з а тел ь с т во. Поверхность Ф двусторонняя, поэтому поле нормалей непрерывно, а следовательно, и равномерно непрерывно на всей поверхности Ф.
Это означает, что для любого а>0 найдется 6>0 такое, что для любых двух точек М~ и Мь для которых р(Мь Ма) <6, справедливо неравенство 1п(Ми) — п(М,) ~ < У2и (5.8) (п — вектор единичной нормали). Так как соз у= (п(М1) „п (Ми) ), а величина а= — (п(М,) — п(М,))' = = 1' ~п(Ми)~и+ — !п(М,)~а — (п(М,), п(М,)) =1 — сову, 2 2 го соз у=1 — а и для а в силу (5.8) справедливы неравенства 0 <а < — (У2и )'=и. 2 Лемма доказана. 3. Площадь поверхности. Пусть Ф вЂ” поверхность, определяемая уравнениями (5.1) и удовлетворяющая указанным выше пяти требованиям (гладкая без особых точек ограниченная пол'ная двусторонняя).
С помощью гладких кривых разобьем Ф на конечное число гладких участков Фь имеющих размер меньше 6, где 6 достаточно мало (и определяется условиями леммы 2). Обозначим через Л максимальный из размеров частей Ф; (диаметр разбиения). На каждом участке Ф; выберем произвольную точку М; и спроектируем Ф; на касательную плоскость, проходящую через точку Мн Пусть о; — площадь проекции Ф; на указанную ка- 182 Гл. б. Поверхностные интегралы сательную плоскость. Составим сумму площадей проекций всех участков ~$ г'г. г (5.9) Определение 1. Число о называется пределом сумм (5.9) при Л- О, если для любого г>0 найдется 6>0 такое, что для всех разбиений Ф гладкими кривыми на конечное число частей Фь для которых Л(6, независимо от выбора точек М; на частях.
Фь выполняется неравенство ~~о; — а~«, и. Определение 2. Если для поверхности Ф существует предел о сумм (5.9) при Ь-»0, то поверхность Ф называется к в а дрируем о й, а число о называется ее и л о щ а д ь ю. 3 а м е ч а н н е, Нельзя получить площадь поверхности, аппрокснмируя поверхность вписанными многогранниками при измельчении размеров граней и беря в качестве площади точную верхнюю грань площадей вписанных многогранников (как мы это делали црн нахождении длины кривой). Существует классический пример Шварца з1 (так называемый «сапог Шварца»), показывающий, что у площадей вписанных в цилиндрическую поверхность многогранников не существует конечной точной верхней грани.
Т е о р е м а 5.1. Гладкая ограниченная полная двусторонняя поверхность Ф без особых точек, определяемая уравнениями (5.1), квадрируема, и для ее площади а справедливо равенство о=О~ ~ —, — ~ ~йийо. (5.10) з> Г. А. Шварц — немецкий математик (1843 — 1921). Более подробно о примере Шварца см. конец и.
1 $2 гл. б книги Б. А. Ильина и Э. Г. Познана «Основы математического анализа. Ч. 2» (Мл Наука. Гл, рец. физ.-мат. лиг.ры„ 1982). Д о к а з а т е л ь с т в о. При условиях теоремы подынтегральная функция в (5.10) непрерывна в ьт и интеграл (5.10) существует. Фиксируем любое г>0 и по нему 6>0 такое, что выполнены два условия: 1) любая часть Ф, поверхности Ф, размеры которой меньше 6, однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через любую точку Фн 2) косинус угла у между двумя нормалями каждого участка Ф; размера меньше 6, представим в виде сазу=1 — аь где а,<г/а и он<1 (о — величина интеграла (5.10)).
Такой выбор числа 6>0 возможен в силу лемм 2 и 3. $1, Понятия поверхности и ее площади 183 ду дг дг дх дх ду ди ди ди ди ду дг до до ди ди дг дх до до дх ду до до Отметим, что косинус угла ум между нормалью в точке М участ- ка Ф; и осью Ох равен Для точек участка Фь в силу выбора б и ориентации оси Ох, С>0. Ясно, что угол ун является углом между нормалями в точ.
ках М и М; участка Фь и поэтому для него справедливо пред. ставление (5.7). Если части Ф; отвечает часть 6; простой плоской области 6, то, используя формулу для площади плоской области при перехо. де от координат (х, у) к координатам (и, и) с помощью соотно. шений х=х(и, о), у=у(и, о), получим о,=Д ( * у) г(исЬ. а; (Мы учли, что величина С = ' У ~ О. ) Р(х, у) гт(и, о) Приняв во внимание выражение (5.11) для созум, перепишем (5.12) в виде (5.12) и;=Дсозум~ ~ — ", — "|~п1игь. о; (5.13) Разобьем с помощью гладких кривых поверхность Ф на частичные участки Ф; размера меньше 6 и, выбрав на каждом участке Ф; произвольную точку Мь спроектируем Ф; на касательную плоскость в точке Мо Обозначим через о; площадь проекции и составим сумму (5.9). Для вычисления площади о; плоской области воспользуемся формулой замены переменных в двойном интеграле.
Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало совпало с М» ось Ох была направлена по вектору нормали к поверхности в М;, а оси Ох н Оу были бы расположены в касательной плоскости в точке Мо В этой системе координат поверхность Ф определяется параметрическими уравнениями (5.1), а вектор нормали дг дг ) — — имеет координаты (А, В, С), где ди до ~ Гл. о. Поверхностные интегралы Составим четыре суммы: ;т, =,'~ Г(М!)ог; ! (5.18') Р (М;) а, соз Хб (5.18') ~Г, = ) Я (М!) а! соз Уб ! (5 18а) ,), = ) Д (М!) о; соз Л!. ! (5.18') Определение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
