В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть М' †.любая точка из П, отличная от М и такая, что вектор ММ' коллннеарен вектору е. Обозначим расстояние между М и М' через р. Определение 3. Производной векторного поля а(М) в точке М по направлению е называется предел отношения Ьа (М) да (М) да р о р де де (в случае, если этот предел существует).
Здесь Ла(М) =а(М') — а(М). У т в е р ж д е н и е. Пусть векторное поле а (М) дифференциругмо, А — линейный оператор, определяемый из соотношения дифференцируемости (т. и. из соотношения Ла(М)=Ай+о(~(Ь!~)). Тогда да производная — поля в этой точке М по любому направлению де е существует и определяется равенством = Ае. (6.20) де Интересно сравнить эту формулу с формулой (6.18). В формуле (6.18) справа также стоит результат действия оператора А= = (Аь А,, Аз) на вектор е.
Результат этого действия и есть скалярное произведение градиента поля н вектора е. Доказательство. Пусть е — фиксированный вектор. Выберем точку М' так, чтобы (т=ре. Тогда согласно (6.19) получим Ла(М) =РАе+о(б(з!~). Поскольку ~1(т|!=р, то Ьн (М) 'о (р) = Ае+ —. Р Р Переходя в этом соотношении к пределу при р-ь0, получаем формулу (6.20), т.
е. то, что и требовалось доказать. Вернемся снова к рассмотрению формулы (6.19): Ла(М) =А(у+о(йЬ(Ц. Здесь А — линейный оператор, действующий на вектор Ь из Е'. Как мы знаем, в фиксированном базисе всякий линейный опера- $2. Скалярные к векторные поля. Лкффереяцяалькыв операторы 203 тор определяется своей матрицей. Найдем матрицу линейного оператора А в ортонормированном базисе 1, 1, Ь, с которым связана декартова прямоугольная система координат Охуг. Пусть в этом базисе вектор а(М) имеет координаты Р, О, Я. Согласно формулам (6.20) да да да дв . да да — = — =А1, — = — =А1, — = — =А1с. (6.21) д! дх д) ду дк дх о По формулам (6.13) вычисляем элементы матрицы А оператора А: т 1 1 а1 аз а аз аз аз 1 аз 3 аз з аз о А= (6.22) дх ду дг дтт д1т дй дх дд дх 2.
Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля. Пусть а(М) — дифференцнруемое в области Р векторное поле. Тогда согласно (6.19) Ла(М) =АЬ+оЦЬ!1), где А — линейный оператор, зависящий от точки М, вектор Ь вЂ” приращение аргумента а(М), о(1Н) — вектор, стремящийся к нулю при 1(Ь !1-э0. Определение 1.
Дивергенцией векторного поля а(М) в точке М называется дивергенция линейного оператора А из условия дифференцируемости (6.19): йч а(М) = йч А. Определение 2, Ротором векторного поля а(М) в точке М называется ротор линейного оператора А из условия дифференцируемости (6.19): го1 а(М) =го(А. Заметим, что поскольку векторное поле дифференцируемо во всей области Р, то йт а(М) н го1 а(М) определены в каждой точке М области Р Эти величины по своему определению инвариантны, т. е. не зависят от выбора базиса. Поэтому йча(М) представляет собой скалярное поле, а го1а(М) — векторное поле. Выберем ортонормированный базис 1, ), Ь и свяжем с ним декартову прямоугольную систему координат Охуг.
Пусть координаты поля а(М) в базисе 1, ), Ь есть Р, Я, Я. Матрица оператора А в этом базисе нами уже найдена (см. формулу (6.22)). Поскольку йч а(М) =йчА, по формуле (6.14) сразу получаем йч а(М) = (1, А1) + (1, А1)+ (Ь, А(с) = =аз+аз+аз= — + — + — =(р, а(М)), (6.23) з з дР дй дй4 дх ду дх 204 Гл. б. Теория ноля, Основные интегральные формулы аналнаа где )у=( — +) — +й —, а(М)= =Р1+а+йК. д д д дх ду дг Далее, так как го(а(М) =го1А, то по формулам (6.16) и (6.221 получим го(а(М)= ( — — — ) 1+ (( — — — ) )+ гдл д()~ гд.
дЯ~ (, ду дг ) ( дг дх ) (6.24) 1 д д д + ~ — — — ) )г=Чха= / дч дрт ~ дк ду ) дх ду дг () г Написанный определитель — символическая запись ротора, удобная для запоминания. Вычислим производную векторного поля а(М) по направлению е, воспользовавшись формулой (6.20). Поскольку единичный вектор е имеет координаты (сов а„сов)1, сову), то да (М) де = Ае = А (1 сов а+ ) сов р+ 1с сов у) = сов а(А1) + сов р (А)) + сов у (Ак). Далее, по формулам (621) А1= — а, А) = — а, А1с= —. дх ду дг Поэтому да (М) да да да =сов а — + сов 6 — + сову —.
де дх ду дг Учитывая, что а=Р(+Щ+Ис, запишем еще одно выражение для производной по направлению: да(М) ( дР дР дР = ( — сова+ — совб+ — сов у) 1+ де (, дк ду дг + ( — сова+ — сов()+ — сову ) 1+ / до д(1 до (, дк ду дг Г дм д)с дй + ( — сова+ — сов ))+ — сову ) )с. (, д.т ду дг 3.
Некоторые другие формулы векторного анализа, Допустим, что в области гя заданы скалярное поле и(М) и векторное поле а(М), причем все частные производные второго порядка функций й 2. Скалярные н векторные поля. Лнфференпнальные операторы 20$ и(М) и а(М) непрерывны в области сг. Тогда йча(М) — дифференцируемое скалярное поле, пгаби и го1 а(М) — дифференцируемые векторные поля. Следовательно, можно повторно применять дифференциальные операторы йтаб, йч, го1, н имеют смысл еледуюгцие операции: го1 йтат)и, Йч пгаби, пгабйча, Йчго1 а, го(го1а. Пусть 1, 1, й — фиксированный ортонормированный базис, с которым связана декартова прямоугольная система координат Охра.
Утверждение. Имеют место следующие пять соотношений: го1дгаби=тг Х тги=О; д'и даи дги Йчнгаби=(р, Уи) =туи= — + — + —; дха дуг дгг I дгР дгЩ дгй т йгабйча=~(д, а) = ~ — + — + — ) 1+ ~ дха дхду дадг) Йчго1а=(о,тг Х а)=0; го1 го1 а = 1у х (тт х а) = кгаб б 1ч а — Л а, еде д д д 1г=1 +) +" дх ду дг Доказательство.
Все эти формулы доказываются по одной схеме: последовательно применяются дифференциальные операторы к скалярному или векторному полю. Докажем, например, l ди первое равенство. Вектор йтаг(и="7и имеет координаты дх ди ди 1 — — поэтому для го1 игаб и=ту Х йтаб и по формулам ду' дг) (6.24) получаем выражение Г дги дги гофгаби=тг х ягаби= ~ — — — ) 1+ ~ дуда даду) Докажем второе равенство (см, формулу (6.23)): йчдгаби=(р, туи) = (1 — +1 — +а —, д д д дх ду дг 208 Гл.
б. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа ди . ди, ди т дзи дзи дзи — !+ — 1+ — й) = — + — + — =Ли. дх ду дг дх' ду' дг' Символ Л («дельта») имеет специальное название — оператор Л а и л а с а т>. Символически можно записать: гь=т7Я. Докажем еще третье соотношение, предоставив доказательство двух остальных равенств читателю. Запишем соотношение игаб йч а = тг (тт, а) = У ~ — + — + — ) = т7 д, 7 дР д() д1т т ~ дх ду дг ) где дР дЯ д1с — — + — +— дх ду дг Далее, дЬ .
дЬ . дЬ УЬ = — + — )+ — й. дх ду дг Подставляя вместо Ь его выражение, получим правую часть третьего соотношения. Утверждение доказано. 3 а меч ание. Как уже неоднократно подчеркивалось, величины пгаби, йчи, го(а инвариантны. Поэтому инвариантны и величины го(дгас(и, йч дгаби, пгас(йча, йчго(а, го(го(а. Следовательно, в любой системе координат имеем, например, что го( пгаб и = О, йч афтаб и = Л и = д'и дзи дзи = — + — + —, йчго(а=0. дх' ду' дгз ' 4. Заключительные замечания. Обсудим физический смысл рассмотренных понятий дивергенции и ротора.
Дивергенцию век- дР д0 д1т тор«ой функции йч а = (у, а) = — + — + — еще называют дх ду дг р а сход им ость1о. Она определяет скорость изменения каждой компоненты вектора в своем «собственном» направлении. Если векторное поле описывает поток жидкости, то положительность дивергенции (йч а)0) в данной точке означает, что из этой точки вытекает больше жидкости, чем в нее притекает. Говорят, что такая точка служит источником. Если же б!ч а<0, то наблюдается обратный баланс и точка служит стоком, т. е, в нее притекает больше, чем вытекает.
Если йч а=0, то сушествует баланс — жидкости притекает столько же, сколько и вытекает, Величина ротор векторного поля т д(1 д171. I дЯ дРт. го(а=т7 х а= ( — — — ) 1+ ~ — — — ~ )+ (, дг ду ) ~ дх дг ) т) Пьер Симон Лаплас — выдающийся французский астроном, математик н физик (1749 — 1827). 207 9 3. Основные интегральные формулы анализа ! ) 14 д д д дх ду дг Р (;) еще называется в их р е м. Это название связано с тем, что он как бы «смешивает» производные и компоненты. Он как бы «следит», нак меняются компоненты векторного поля а (М) в «чужих» направлениях. Таким образом, ротор — это мера «вращения» векторного поля. Кстати, если У вЂ” линейная скорость, то вектор аз угловой скорости вращения есть аз=(1(2)го1У.
Этот вектор направлен по оси вращения. Отсюда и возникло название ротора. В заключение приведем систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме: 1) г)(уЕ = Р; 2) г((у В = О; 4) го1В= — + —. —. 1 дЕ е,с' е' д( 3) го1Е= — —; дВ д( Здесь р(М, 1) — плотность электрического заряда (количество заряда, отнесенное к единице объема), 1(М, г) — вектор плотности электрического тока (скорость протекания заряда через единичную площадку), Е(М, 1) и В(М, 1) — векторы напряженности .электрического и магнитного полей соответственно, ео и е — размерные постоянные, с — скорость света в вакууме. $3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
