В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 6.2 (формула Остроградского — Гаусса). Пусть а — векторное поле, дифференцируемое в области Р, удовлетворяюсцей условиям 1), 2), и такое, что производная по любому направлению непрерывна в Р()5=0. Тогда справедлива формула йы Гл 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа рактер, т. е. их значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Для этого достаточно провести рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 6 после доказательства теоремы 6.1.
3. Формула Стокса. Пусть 5 — односвязная 'з> поверхность в Ез, удовлетворяющая двум условиям: 1) 5 — кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек; ее границей является замкнутый кусочно гладкий контур С; 2) декартову систему координат можно выбрать так, чтобы 5 однозначно проектировалась на любую из трех координатных плоскостей. Пусть и†единичный вектор нормали к 5, 1 †единичн вектор касательной к С, согласованный с и (см. и.
1). Прн этих условиях имеет место следующая теорема. Теорем а 6.3 (формула Стокса). Пусть а — векторное поле, непрерывно дифференцируемое в некоторой окрестности поверхности 5 (т. е. на некотором открытом множестве в Е', содержа- и(ем 5). Тогда справедлива формула 1(п, го1а) йз =~(а, 1)й(. з с (6.271 Эта теорема допускает еще такую формулировку: Поток вектора го1 а через поверхность 5 равен циркуляции вектора а по замкнутому контуру С. Д о к а з а т е л ь с т в о.
В силу условий теоремы интегралы в формуле (6.27) существуют. Формула (6.27), очевидно, инвариантна относительно выбора базиса. Поэтому достаточно доказать эту формулу при каком-то одном выборе базиса. Выберем прямоугольную декартову систему координат Охуг так, чтобы 5 однозначно проектировалась на все три координатные плоскости.
Пусть а=Р1тЦ)+И~, п=(созХ, соз У, созЯ), 1=(сова, соз р, сову), Согласуем выбор системы координат так, чтобы вектор нормали и образовывал острые углы с координатными осями. Учитывая выражение для го(а в декартовой прямоугольной системе координат, получим оо Напомним, что поверхность о называется односвязной, если любая кусочно гладкая замкнутая кривая без точек самопересечення, расположенная ив 8, ограничивает множество, целиком состоящее из точек этой поверхности. 3 3.
Основные интегральные формулы анализа Д(п, го(а)с(з = =О ~ ~ — — — ) совХ + ( — — — ) сазу+ + ( — — — ) сов Я~ й=~(а 11) й =$(Рсоза+Осозр+Ясову)й- где дР' ( дх др ) с 1с = $ (РНх + (~с(у + В(г). с Достаточно, очевидно, доказать, что у = ~Я ( д12 сов ) — дР сов я) лв = $ Р (х. Для остальных слагаемых: У=Я ~ — сов2 — — совХ) г(з=ф Яг(у, 1З с Е =Д( — совХ вЂ” — совг') й=$ВЬ з с доказательство аналогичное.
Заметим, что поверхность 5 — кусочно гладкая и однозначно проектируется на Оху. Пусть 0 — ее проекция, à — проекция С на плоскость Оху (см. рис. 6.3). Поэтому существует днфференцнруемая функция г=г(х, д), которая задает уравнение поверхности 5. При этом сов У = 2 '2 1+ 2„+22 1+2 +2 2 2 Аналогично соз Я = 1 ~' +.'+*„' Рнс. 6.3 г!б Гл.
6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа Поэтому, учитывая этн формулы, будем иметь 1= — ~~ ( —. — + — ~ соз2 г(з= — ~~ — ~Р(х, у, г(х, у))) с(хйу, Г)дР дг дР~ ГГ д дх ду ду,) ,),) ду 3 о поскольку на поверхности 5 функция Р(х, у, г) равна дР да дР дР(х, у, г(х, у) ) дг ду ду ду и поверхностный интеграл по 5 равен двойному интегралу по /г Далее, используя формулу Грина, получим Г д — Π— (Р (х, у, г (х, у))) с(хс(у = (~ Р (х, у, г (х, у)) йх = $ Р (х, у, г) йх.
ду о г с Здесь мы воспользовались тем, что если точка (х, у) находится на кривой Г, то точка (х, у, г(х, у)), очевидно, принадлежит кривой С. Теорема доказана. Формула Стокса верна и для более общих ограниченных полных кусочно гладких двусторонних поверхностей с кусочно гладкой границей. 3 а м е ч а н и е 1. Прежде всего покажем, что формула Стокса верна для поверхностей 5, удовлетворяющих условию 1), но не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2) однозначного проектирования 5 на любую из координатных плоскостей. Оказывается, что существует такое число 6>0, что для любой части Ф поверхности 5 размера меньше 6 пи можно так выбрать декартову координатную систему, что Ф однозначно проектируется на все координатные плоскости.
Действительно, пусть Мо — фиксированная точка 5. Проведем касательную плоскость через точку М„пусть пы, — вектор единичной нормали поверхности в точке Мо. Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вектор па,, составлял острые углы с осями координат. Поскольку поле и нормалей непрерывно, то существует окрестность точки Мо такая, что все нормали в точках этой окрестности образуют острые углы с осями координат. Но тогда согласно утверждению и. 1 гл.
б и замечанию 2 к нему можно утверждать, что существует некоторая окрестность радиуса 6/2 точки Мо, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости. Отметим, что указанное число 6 зависит, вообще говоря, от точки Мо. 6=6(Мс). Покажем, что можно выбрать универсальное, не зависящее от точки число 6)0. Допустим противное, что такого числа 6 не существует. Тогда для каждого 6„=1/и, и= =1, 2,..., можно указать часть Ф„поверхности 5, размеры ко- оо Такая часть поверхности может быть расположена в сфере радиуса б/2. 217 $ 3. Основные интегральные формулы анализа торой меньше б„ и которая не проектируется однозначно на все три координатные плоскости любой декартовой системы каординат.
Выберем в каждой части Ф„точку М„, а из полученной последовательности выберем последовательность, сходящуюся к веко- торой точке М поверхности Я 'ь1. Согласно проведенным выше рассуждениям у точки М существует однозначно проектируемая на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы окрестность. Эта окрестность для некоторого номера п содержит часть Ф„, которая также будет однозначно проектироваться на все три координатные плоскости. Получилось противоречие с выбором Ф„, завершающее доказательство. Теперь уже нетрудно сделать заключение о справедливости формулы Стокса для поверхностей, удовлетворяющих условию 1) и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2).
Для этого разобьем поверхность 5 на конечное число гладких частей Ф„, размер каждой из которых меньше б, указанного выше. Поскольку часть Ф„однозначно проектируется на все координатные плоскости некоторой декартовой системы координат, то формула Стокса верна для каждой части Ф„. Просуммируем левые и правые части этих формул. Интегралы по общим участкам границы Ф„берутся в противоположных направлениях и поэтому сократятся. Таким образом, слева мы получим интеграл по поверхности от величины (и, го1 а), а справа — интеграл по границе С поверхности 5 от величины (а, 1), т. е.
формулу Стокса для общего случая. 3 а меч вин е 2. Формула Стокса верна и для поверхностей 5, допускающих разбиение с помощью кусочно гладких кривых на конечное число односвязных, обладающих свойством 1) поверхностей. Доказательство этого факта очевидно: достаточно просуммировать интегралы слева и справа в формулах Стокса для односвязных поверхностей и учесть, что интегралы по кривым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и поэтому сократятся.
3 а м е ч а ни е 3. Формула Стокса (6.27) может быть записана, как это следует нз доказательства, в виде (6.27'): Я) (~ — — ) соэХ+ ~ — — — ) сову" + + ( — — — ) созЯ) с(з=$(Рйх+Яс(у+)соя). I д11 дР1 (,дк ду) с со Это можно сделать в силу ограниченности и полноты, используя теорему Больцано — Вейерштрасса. 218 Гл, 6. Теория поля. Основные интегральные формулы вналиаа Интегралы слева и справа имеют инвариантный характер — их значение н форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно провести рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 5 п. 1.
5 4. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА НА ПЛОСКОСТИ ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Пусть а(М) — векторное поле, заданное в связной плоской области Р. О п редел ение 1. Функция (г'(М) называется потенциалом поля а(М) в области Р, если в этой области а(М) =дгай У(М). Поле а, обладающее потенциалом, называется и о т е н ц и а л ь- Ног М ПОЛЕМ.
Теорема 64. Пусть функции Р(х, у), 1Е(х, у) непрерывны в Р. Для любых двух точек АенР, Вс Р значение интеграла ') Рйх+ф~у лв не зависит от кусочно гладкой кривой АВс:.Р, соединяющей точки А и В, тогда и только тогда, когда поле а(х, у) =(Р(х, у), 1г(х, у)) потенциально. В этом случае ) Рс(х+РЫу=-У(В) — с1(А), лв где (/(х, у) — потенциал поля а(х, у). Доказательство.
Достаточность. Пусть а(х,у)=(Р(х,у), Я(х, у))=йгаб(г'(х, у) = ( —, — 1. дк ду 1 Произвольные точки А и В из области Р соединим некоторой кусочно гладкой кривой АВ, и пусть х=х(1), у=у(1), а<1(Ь— ее параметрическое представление. В силу непрерывности аи дя дог н — заключаем, что функция (у(х, у) дифференцируема в Р. ду Тогда по формуле Ньютона — Лейбница получаем 4 4. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости 219 ь ') Рг(х+Яс(у= ) (Р(х(г),у(г))х'(т)+Я(х(г),у(Е))у'(~))с(т= Хв л = ) ()'с(г=(т'(х(Ь), у(Ь)) — ()(х(а), у(а)) =Н(В) — ()(А). Необходимость.
Фиксируем в 0 некоторую точку Ме(хю, дс) и пусть М(х, у) — произвольная точка области Р. Положим 0(М) =- 1 Рдх+ Яс(д, м«м где интеграл берется по любой кусочно гладкой кривой, соединяющей точки Мо и М (см. рис. 6.4). Покажем, что так определенная функция Н(х, у) является искомым потенциалом поля а(х, д) =(Р(х, у), Я(х, у)). Докажем, до' например, существование дх и равенство — =Р(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
