В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. е (х) =,"(х). Тогда э 3. ДнФФереннируеные отображения 239 Так как в виде я л с( щ = д Ъ 1 — ~ саха = ~~ ~.~ дх !=1 й=! с(хйЛдх'= — дх'Лдхй, это л Е ~, с(хйЛдхт, да дхй дх' равенство можно переписать т((д~) ~~ ~ ) с(хтЛс(хй !<й откуда и следует, что с((дг) =О, Пусть теперь Тогда ьт = ~, вн л дх! Л ...
Лс(л'н, ч«" .' дсн=~~!" ~~!," Йои л Лдх Л...Лдх'н. й-! т,«...! Заметим, что каждый член суммы представляет собой внешнее произведение дифференциалов форм степени О, а именно форм сои.л (х), е! (с(х), ..., ен(т1х). Остается применить свой- 1 ' ' р ство 3) и воспользоваться тем, что для формы степени О основное свойство доказано.
й 3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ьт = )~~ сот,.л ах!'Л... Лдх и, !' 'р т,«...!р 1. Определение дифференцируемых отображений. Рассмотрим произвольную и-мерную область 0 евклидова пространства Еж и п-мерную область 6с:Е". Точки области .0 будем обозначать символами 1=(1!, Та, ..., 1'"), а точки области 6 символами х=(х', ха.., ..
х"). Будем говорить, что тр отображает 0 в 6, если ! !Р— (!Р ! 1 2 сРн) где фй(1) определены в области О, а векторы х с координатами х*=тр" (1) лежат в области 6. Определим отображение ср*, которое переводит Ян(6) в 11,(0) для любого р, О<р<п. При этом мы будем считать, что каждая компонента срй(1) отображения !р является бесконечно дифференцируемой. Определение. Пусть !р — отображение 0с:Еж в 6сЕн.
Обозначим через ср" отображение, которое для всех О<р<а действует из 11,(6) в йн(0) по следующему правилу: если тпо ф'(со) =,~ ыго л (ф(!)) ф* (дх")Л ..Лф'(дх1р), 1,(...(1» где р (дх ) = у . — д!а. ,"-, д,р1 2~ дт ы. 1'. Пусть от — форма степени О, т. е. го=)(х). Пример Тогда ф*(!) =!(ф(1)). 2'.
Пусть ф отображает и-мерную область Вс:.Е» в и-мерную область 6~Е», и пусть от — следующая п-форма1 =дх Лдх'Л...Лдх-. Тогда » » ф (ы) (~ л д! )Л...Л(~' а д! ) а,=1 а» » » а,=1 л„-1 дфт =д!'Л...Лд!" ~(ж ) — „.'„, о Лба»вЂ” дф» дто1»1 ) дф11 =с(!1Л...ЛЙ" Йе1! 1 дд Таким образом, ф'(с!х'Лдх'Л...Л (х)= (ф ф " * ф»1 в(тт, та, ..., т) Й1Лг(!вЛ... Лс4!» Замечание. Форму ф»(от) называют дифференциальной формой, получающейся из формы от при помощи замены пере. МЕННЫХ 1Р. 2.
Свойства отображения 1р*. Справедливы следующие свойства отображения ф». 1'. Если о11еиьвр(6), отвеиьле(6), то ф (го!Ло>2) =ф (о11) Лф (сов) ° Доказательство. Пусть сот= ~ ас, х (х)Ых"Л ..Лс(х'р, ь< а 240 Дополнение к гл. О. Дифференциальные формы в евклиловом пространстве 2241 4 3. Дифференцируемые отображения в,= ), Ьа, е (х)е)х" Л...ЛНха.
А1«...» Тогда в Лв = ~~ ~, ан, л (х)Ье,„,е (х)м ! «...! а <...<е„ х Йх! /~... Л е!х!рЛ !!ха*Л... Л !(х и и, следовательно, ф' (в Лв ) = ~' ~~ а! (ф (!)) Ь» (тр (!)) ер" (е(х") Л... Л ф' (е(х е) = ! и а; (ф) ф* (е(х! )',Л .. Л !р' (с(х и) Л ~') Ье (!р) !р" (с(ха ) Л ,А Л... Л !р" (е)х а) ~ = ер* (в ) Л !р (в,) .
2'. Если в~йря), то фе(е(в)=бр"'(в), До к аз а тельство. Докажем это равенство сначала для р=О, т. е, для в=/(х). Получим Х дт! ! ! 4вю д!е а'ы 4ед дх" д!» а=! а=! е=! =~ —,ф'Их!) =ф*(~ ). д/ °- ! Для произвольного р проведем доказательство по индукции. Пусть в=/е,„! (х)дх! Л...Л йхр.
Тогда т(в=с(/е, ! Мфх! Л...Лир.. Поэтому по свойству 1' ф'(т(в) = ф*(е(/) Л ф*(!ах! ) Л Л ф'(е(хеи). С другой стороны, ф" ( ) = (ф ((/(хн Л...Л ( ~ -) Л (х') = =е((ф'(/с(х! Л...Л с(х'~ ') Л ф* (е(хен)). 242 Дополнение к гл. 6. Дифференпиалы«ые формы и евилнловом пространстве Далее, в силу свойства 3) внешнего дифференциала дф"( )=-дф'Ях: Л...Лдх"-')Л Ч*(д.")+ +( — 1)' ' ф'(/ах' Л...Л дх'»- ) Л дф*(дх'в).
Заметим, что ф'(дх р) =. аф*(х и) в силу только что доказан. ного, а тогда по основному свойству внешнего дифференциала д р" (дх«в) = О. По предположени«о индукции, справедливому для р — 1, дф' Фх' Л... Л дх«р-') = «р*(сЧ Л дх! Л ... Л дх«л-'). В результате получим дф* («о) = «р* (Ф Л дх" Л . Л дхгр- ) Л ф" (дх«р), и по свойству 1' дф* (ог) = ф* Щ Л дх' Л... Л дх'в). 3'. Тра н вити в ность.
Рассмотрим открытые области (/~ с:.Е«, $'~Е'", %с Е", точки которь«х соответственно и= = (и! и2 и!) Π— (О! и2 Огв) Г — («В! и«2 гсв) Пусть «р отображает У-~-'и', а «р отображает У-мй'. Через фчр обозначим отображение, называемое к о м п о з и ц и е й, которое действует по правилу (фвф)(и) =«фр(и)]. Аналогично введем композицию фае«Р*, которая для любого р переводит 21„,( В') в 1)в((/), т. е. («рао«ра) («о) =ф'"(«ра (ог)] Справедливо следующее равенство; («роф) *=«рваф* Доказательство.
Обозначим р=феф. Это означает, что р=(р! рв ]1"), где рв=«ра(«р', «р', ..., «р"). Проведем доказательство сначала для линейной формы дшас:Я! (РР'). Получим ! ! в« й.(д е) дй.(,/,) дй,(„) 1;"2 ~~~ „„, ~;~~~ ~~~' вф ди! «=! ! г=! Далее (ф' ф)(дв')=ф'И'(д ')]=ф'(дф'(и«")]= (авм' до! ) ~ ~1 до! / ! $4. Интегрирование дифференниальнмн форм Но ф'(йот) = йф (о1) = йф!' = Ъ' лн ди! поэтому ( р' н ф") (Йо') = ~~1~~ ~1~ ~—, ф йи'. 1=! г=! Равенство доказано. Отсюда следует справедливость свойства 3' для любой линейной формы. Далее доказательство проведем по индукции. Пусть в = ~ (ю) йон,т!...
Л сЬ3л ее Ол (Ф'). Тогда (3'(гв) = ~*(1йго! Рт...,лт гйв!л-!) Л 13'(г(гвгл) = =(<р" нтр*) (1атв' Д... гь, агв л-!) гт, (ф*г !)!*) (йшл) = =(ф оф )(1аюа /~...ть! аго Р) = (ф*оф*) (го), $4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 1. Определения. Обозначим через 1" единичный куб в евклидовом пространстве Е: 1"'=(геиЕ", 0<1'<1, г=1, 2, ..., тп). Под отображением ф куба 1 в и-мерную область О~Е" будем понимать отображение в 6 некоторой области 0~Е'", содержащей внутри себя 1 . Аналогично дифференциальной р-формой ьт, определенной в 1, будем назь:вать р-форму, определенную в некоторой области 1)с:Е'", содержащей 1~. Определение 1.Интегралом от р-!рорл!ы определенной в кубе 1л, по кубу 1л будем называть величину ! ! ~ от=) ~1(1)г(И(а г)1л тл а о 1~ Нашей ближайшей целью является определение интеграла ) от дифференциальной формы по любой поверхности.
Естественно, что при этом степень формы будет совпадать с размерностью поверхности. Под поверхностью мы будем при этом поиимать отображение единичного куба той же размерности (напомним, что понятие отображения включает в себя как область 244 Доиолнение к гл. Е. Дифференциальные формы в евклиловом пространстве значений, так и закон соответствия). Впрочем, иногда мы будем называть поверхностью только лишь образ куба. Определение 2. Назовем т-мерным сингулярн ы м к у б о м в пространстве Е" (гп (и) дифференцируемое отображение куба 1 в Е".
Таким образом, обозначая сингулярный куб через С, можно записать: 11и «Еи Будем говорить, что сингулярный куб С содержится в Бс:Еи, если ф(1'") с:6. Теперь можно определить интеграл от любой р-формы втеи Ыр(б) по любому р-мерному сингулярному кубу Ссб. Определение 3. Интегралом от формы от~йи(0) по сингулярному кубу С=гр: 1и- Е, содержащемуся в П, назовем величину ) «т = ) ф'(от). с га Убедимся в том, что интеграл от р-формы ге по р-мерному сингулярному кубу С зависит лишь от образа ф(1л), а не от закона соответствия тр.
Прежде всего рассмотрим подробнее определение интеграла от ьт по сингулярному кубу С. Пусть от~вал(0) имеет внд го =!(х) йх'Л.../Их~и, тогда ~р'х х(м)=1(ф(1)) ~'(Их' Л ...Лйх' ). В силу примера 2' п. 1 $3 получаем ~ ( )=1[ ()) ( ' ' "' ' ) атиА~Р1~...ЛЖ'.
О(гт, са, ..., В) Следовательно, ы-~1(ф(1)) (ф " " й1 Т~...ий( . щгт, ..., м) с ги Определение 4. Пусть С,= р,.!и-.«Еи и Се=гр;.1и- Е"— два сингулярньех куба. Будем говорить, что С~=Се, если существует взаимно однозначное отображение т куба 1и на себя такое, что: 1) р (1)=рот(1))' ) 0(т',ие, ...,т ) О в(гт,са, ...,в) Ясно, что если С,=Св, то и Са Сь так как обратное отображение и — ' будет удовлетворять необходимым требованиям. $4. Интегрирование дифференциальных форм Будем говорить, что С«= — Сх, если в условии 2) функциональный определитель всюду меньше нуля (очевидно, при этом Сх= — С«).
Иногда в этом случае говорят, что С«и Са отлича. ются ориентацией. Справедливо следующее У т в е р ж д е н и е. Если С« =Се, то ~в=) в. с. с. Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда =)(х)йх Лй Л...Лй ~. По определению с, По условию существует отображение т куба 1и на себя, удовлетворяющее условиям 1) и 2). Сделаем в интеграле замену переменной 1=т(з), еен!а. Получим «рх(1)=«рх(т(з))=ф«(з) и ()) ~(фх 'ра " ° Ча) Р(т',т'...т ) 1« с.
гл Лд" 1~...Лй =~~[ф,(з)] '' '' д" Л...ЛЪ'=~ . Р(тх', ..., фх) Р(х«, ... ь") «л с, Аналогично можно показать, что если С« -Са, то ~в= — ~в. с, с, 2. Дифференцируемые цепи. Нам понадобятся поверхности, которые распадаются на несколько кусков, каждый из которых является образом некоторого и-мерного куба. Примером такой поверхности может служить состоящая из двух окружностей граница кольца, лежащего на двумерной плоскости. При этом мы будем различать ориентации этих окружностей. В связи с этим весьма полезным оказывается введение линейных комбинаций сингулярных кубов с вещественными коэффициентами.
Определение 1. Будем называть р-мерной целью С нроизеольный набор (Л«, Лх, ..., Ль, С«, Сх, ..., Сь), 246 Дополнение к гл. б. Двфференннальные формы в евклндовом пространстве где Х> — вещественные числа, а С; — р-мерные сингулярнь>е кубы. При этом будем использовать обозначение С=) С>+...+), С . Будем говорить, что С принадлежит 6, если все С> принадлежат 6. Множество р-мерных цепей образует линейное пространство, если ввести естественным образом операции сложения и умножения на вещественные числа.
Определение 2. И и те грал ом формы >о по р-мерноо й ц е и и С, содержащейся в О, назовем величину ') ы =;Х, 1 о>;+ Х ( о>+... +)~ ) о>. с с, с, с„ Теперь можно определить границу произвольного сингулярного куба. Для этого определим сначала границу единичного куба. Определение 3. Границей куба Р назовем (р-1) -мерную цепь « д1 = У ( — 1) (1«(1) — 1;(1)1, где 1 «(>) — пересечение куба 1«с гиперплоскостью к'=а '(а =О, 1). Для того чтобы это определение было корректным, необходимо разъяснить, какой смысл вкладывается в утверждение о том, что 1 «(1) является (р — 1)-мерным сингулярным кубом.
Построим каноническое отображение >р=>р>ач«куба 1«> на куб 1'(>'). Пусть з=(з', з', ...,,э«->)еиР '. Положим з", если 1 . Й к. 1; >Р (з)= а, если Й=-1; эа — ' если 1 к. я ~( р. Очевидно, >р=(>р', >р', ..., >р«) отображает Р-' на 1.«(>) взаимно однозначно. В частности„при а=О и >'=р отображение ф является сужением на 1,"(р — 1) тождественного отображения пространства Е« на себя, Определение 4. Границей рл>ерного сингулярного куба С=>р: 1« — Е" назовем (р-1)-мерку>о цепь ! « дС ='у' ( — 1)> [>р (1р(>)) — >р(1> (1))1.
1 »- ! Таким образом, граница образа куба 1«является образом границ>я Р с естественной ориентацией. 247 $4. Интегрирование дифференциальных форы Примеры. 1'. Рассмотрим на плоскости квадрат 1в. Оче. видно, этот квадрат можно рассматривать как сингулярный куб, взяв в качестве ф тождественное отображение. На рис. 6.6 указана граница этого квадрата, причем если сторона квадрата входит в цепь д1х со знаком +, то направление стрелок совпадает с направлением возрастания параметра (е, по которому производится интегрирование; если же сторона берется со знаком —, то направление стрелок является противоположным на. Рис, 65 Рис, 6.6 правлению возрастания параметра 1е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
