В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Поэтому на интегралы (7.8) могут быть распространены основные теоремы о предельном переходе под знаком несобсгвенного интеграла, об условиях его непрерывности по параметру, об интегрировании и дифференцировании по параметру под знаком интеграла.
В заключение параграфа заметим, что интеграл вида ) 1(х, у) с(х = ~1(х, у) дх+ ~1(х, у) дх, а а ь где первое слагаемое — интеграл от неограниченной функции, а второе — интеграл по неограниченному промежутку, называется равномерно сходящимся, если равномерно сходятся оба интеграла, стоящие в правой части. $4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Развитые в предыдущих параграфах методы позволяют вычислять различные несобственные интегралы.
1'. Вычислим интеграл !г= ~ — Йх. е мпх о Сходимость этого интеграла была установлена ранее (см. дополнение 1 к гл. 9 ч. 1). Рассмотрим вспомогательную функцию е — У* при хФО; 1" (х, у)= х 1 при х=О. Гл. 7 Интегралы, заансящне от параметров Функция 1 (х, у) и ее производная 1е'(х, у) = — е-е яп х непрерывны в области х>0, у>0 и 1(х, 0)= —, Пусть х Ю 1(у)=1 -* — """ ( =11(х, у)(. о а Установим равномерную сходимость этого интеграла прн у>О Для этого, очевидно, достаточно установить равномерную сходи- 1 мость интеграла 3! (е-ехз!пх) — г(х.
К этому интегралу применим х ! приведенный в $3 признак Дирихле — Абеля. Действительно, интеграл е — е'яп хс(х =— е "«(ув)пх+ совх) У +у* 1 является ограниченным, так как 1~ -""' '~ Г „.. ! ~ е "г(уз!о!+сов!) ! ~ е-е(уяп!-1-сов1) !+ув 1+ уз 1 2(1+ у) 1+ ув Функция — при х-~+ оо монотонно стремится к нулю. 1 Из равномерной сходимости интеграла н непрерывности подынтегральной функции согласно теореме 7.9 $3 вытекает непрерывность функции 1(у) на [О, оо), т, е.
справедливость равенства 1 ° п 1(у) =1(0) = 1. е о+о Найдем значение 1(у). Рассмотрим вспомогательный интеграл е — е" яп Ых. Согласно признаку Дирихле — Абеля, который, очевидно, применим к этому интегралу, заключаем, что этот интеграл равномерно сходится в области у>уа, где уо>0. 'Отсюда согласно теореме 7.14 $ 3 следует вазможность дифференцирования интеграла 1(у) по параметру у в любой точке у>0. Таким образом, для любого у>0 1'(у)= — ~ е я" з!пхг(х= е ""(ув!па+ совх) !" 1 1+ у' ~о 1+ у' о $4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра 269 Интегрируя это соотношение по [у, + со), получим 1(пп) — 1 (у) = — агс(а Е ~„" = — "+ агс(й у.
2 а1п и Поскольку ~ — ~ < 1, то для у>уе имеем при уе-~со х )1(у)1~ ~ е — з *дх= — — е "'*(а = — -з О. ре Уе о Отсюда получаем, что 1(со) =0 и, следовательно, для любого у>О 1(у) .= —" — агс(а у. 2 Переходя в этом равенстве к пределу при у — «О+О, получим Ю 1(0)=1= ~ — "" дх= и, х 2 а 2'. рассмотрим интеграл 1(у)= ~ ""Р" (х. а Найдем его значения при у>0, у<0 н у=О. При у>0 в интеграле 1(у) произведем замену переменной, полагая ух=О Тогда Ю ОР 1(у)= ~ — Рйх= ~ з г(г=— е о При у<0 произведем замену переменной, полагая ух= — 1 (1>0) Тогда 1(у) = — ~ — ж= — —.
П з!пг и 2 а При у=0 интеграл 1(у), очевидно, равен нулю. Следовательно„ и — при у>0, ~и 2 1(у)= ~ — с(х= 0 при у=О, а и ~ — при у< О. 2 л70 Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров Этот интеграл иногда называют р а з р ы в н ы м м н о ж и т е.лем Дирихле.
В частности, с помощью разрывного множителя Дирихле получаем представление для функции (приу)О, знпу= 0 при у=О, — 1 при у(О в виде зяп у = — 1 — Нх. 2 г Мпух я х о 3'.. Вычислим интеграл Пуассона«1 ) е — "с(х. РассмотФ зим интеграл 1= ~ е-'*дх= — ~ е-*'с(х. 1 о Ф Положим х=у1, где у)0; тогда Ш 1(у)=~ о «г ус(1 Умножим обе части этого соотношения на е-«* и проинтегрируем по [О, ео): 1 '[ е — «'йу =1а = )' е — «'у ( ~ е — «п*й[ с(у. Рассмотрим функцию 1(у, 1) = уе — и+'в «'.
В области у)0, М)0 эта функция ограничена, непрерывна и неотрицательна. Йнгегралы О й ~ Г(у, 1)с((=уз У'~е — «ч*с((=е «'1; о о Ф О ° 1 ° з[ 1(у, 1) с(у= ~ уе — 1'+н>«*г(у= — е — и+~в«'[ 2 (1+ Гз) (о 2 (1+ М) о о являются непрерывными функциями в областях изменения пара- ы См, также З 6 гл. 3, 271 $5, Интегралы Эйлера метра, т. е, соответственно в области у)0 и в области 1=иО. Кроме того, О О ~ а~1(у, 1)с(у= — '~ — "= —" о о о Таким образом, выполнены все условия теоремы 7.13 из 5 3.
По. этому 1з= ~ е — «'у ~ ~ е — в*ой~ ду= ~ с(1 ~ 1(у, 1)йу= ", о а о о т. е. 1= ~ е — '" бх = — и ~ е — **с(х = у' я. 2 $5. ИНТЕГРАЛЫ ВИЛЕРА В этом параграфе мы изучим некоторые свойства важных неэлементарных функций, называемых интегралами Эйлер а з> Эйлеровым интегралом первого рода или «бета-функциейе й» (В-функцией) называют интеграл В(а, ())= ~х*-1(1 — х)~ 'с(х. о В этом интеграле а и р являются параметрами.
Если эти параметры удовлетворяют условиям а<1, 0<1, то интеграл В(о, р) будет несобственным, зависящим от этих параметров, причем особенности у подынтегральной функции будут в точках х=О и х== 1. Эйлеровым интегралом второго рода или «гамма-функц и е й» (Г-функцией) называют интеграл О Г (а) = ~ хи — 'е — "с(х.
о Заметим, что в интеграле Г(а) интегрирование происходит по полупрямой 0(х<оо и при а<1 точка х=О является особой точкой подынтегральной функции. и Более подробна с интегралами Эйлера можно познакомиться в книге Э. Г. Уиттекера н Дж. Н. Ватсона «Курс современного анализа. Т. 2» (Мл Физматгиз, 1963).
272 Гл. 7, Интегралы, зависящие от параметров 1. Г-функция. Интеграл х" 'е хт(х о сходится при каждом а>0, поскольку 0<х"-!е-х<х -', и интеграл ! х — Чх при а)0 сходится. В области а» ао, где ао — произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как 0<х'-зе-"<х ° -! и можно применить признак Вейерштрасса (теорема 7.8 $ 3).
Сходящимся при всех значениях а>0 является и весь интеграл я ! Г(а)= ) хе-! е — т(к= ~х -! е-'г(х+ ) х" — ! е-хт1х, так как второе о о ! слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом а>0. Легко видеть, что этот интеграл сходится равномерно по а в области 0<ао<а<Ао<оо, где число Ао произвольно. Действительно, для всех указанных значений а и для всех Ю х>0 х" — 'е — <е — "(х'* — '+х"-!1, и так как ) е — '(х",-!+х" — !)бх о сходится, то выполнены условия применимости признака Вейерштрасса.
Таким образом, в области 0<ао<а<Ао<оз интеграл т Г (а) = ~ хе-!е-хс(х сходится равномерно. о Отсюда вытекает непрерывность функции Г(а) в области а)0. Докажем теперь дифференцируемость этой функции при а>0 Заметим, что функция Г (х, а)=1пх х'-'е ' непрерывна при а)0 и х>0, и покажем, что интеграл ~ 7„(х, а) г)х = ~ 1и х. х — ' е — ' с(х о о сходится равномерно по а на каждом сегменте (ао, Ао1, 0<по< <Аз<ее. Выберем число ео так, чтобы 0<е,<ао, тогда х'т 1пх- 0 при х- О.
Поэтому существует число 6 такое, что 0<б<1 и (к" !пх!еь 1 на (О, 6). Но тогда на (О, б) справедливо неравенство 11пх х" — 'е — 1< х' о ех и так как интеграл 1 ... сходится, то интеграл О х! ! — (Ет — ет! 273 5 5. Интегралы Эйлера о 1пх х -'е — лт)х сходится равномерно относительно а на [ао, оп). Аналогично для а<Ао существует такое число 6,)1, что для всех 1пх ко'+ 2 х)б, выполняется неравенство ~ — ~(1. При таких х е" и всех а(Ао получим [1пх х'-'е — "[(1/хо, откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл ] 1пхх" — 'е — г(х сходится равноов мерно относительно а на [ао, Ао]. Наконец, интеграл о, 1пх х" — 'е — ло(х, о е котором подынтегральная функция непрерывна в области б» (х(6', ао(а Ао, очевидно, сходится равномерно относительно а на [ао Ао].
Таким образом, на [ао, Ао] интеграл 1пх.х 'е лт(х о сходится равномерно (по а), а следовательно, функция Г(а) диф- ореренцируема при любом а>0 и справедливо равенство Г' (а) = ] 1пх.х"-'е — лбх. о Относительно интеграла Г'(а) можно повторить те же рассуждения и заключить, что Г" (а) = ~ 1п' х х -'е — лт(х. По индукции показывается, что Г-функция бесконечно днфференцнруема при а)0 и для ее л-й производной справедливо равенство Р Гро(а)=~!п" х х -'е-*т(х. о Установим теперь некоторое соотношение для Г-функции, называемое форм улой п р и в еде ни я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
