В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Таким образом, наше со. глашение о знаках приводит к обычному обходу границы против часовой стрелки. 2'. Рассмотрим сингулярный куб С=ф; 1в-ь)1е, где ф имеет вид ф'= (а+К11) соз 2пР. фа= (а+И') эгп 2п(т Легко видеть, что ф(1х) — кольцо, граница которого образована окружностями радиусов а н а+)с. Выясним, что является границей сингулярного куба С. Очевидно, ф (1вх(1) ) окружность ф,=а соз 2п(х; ф'=а з1п 2лР Далее, ф(1Р(1) ) — окружность радиуса а+)с. Наконец, ф(1о'(2)) и ф(1,т(2)) — это отрезок хе=О, а<х'н.-а+Я.
На рис. 6.6 стрелками указано направление обхода границы дС, если обход границы д)в совершается против часовой стрелки. Поскольку ф(1еа(2)) — ф(11в(2))=0, то можно считать, что дС=ф(11в(1) ) — ф(1ев(1) ), а это совпадает с обычным пониманием границы кольца. Выясним, каким образом связаны интегралы от формы с» по границе куба С и формы Ф*(ы) по границе 1». Утверждение. Пусть С=Ф: 1»-~Ее — произвольный сингулярный куб, содержащийся в 6, и пусть вяй, 1(П). Справсдливо равенство ~ ы= ~ Ф (ы).
гс ыа Доказательство. Очевидно, в силу определения интеграла по цепи достаточно доказать равенство с»= ~ Ф'(с»). еп'< ы гнщ Рассмотрим каноническое отображение Ф=Ф;"': 1» '- 1еи(1) По определению ~ Ф'(ы) = ~ Ф 1Ф'(ы)] тли~ В силу свойства 3' дифференцируемых отображений (см. п. 2 5 3) имеем Ф еФ*=(ФоФ) . Таким образом, ~ Ф*(с»)= ~ (Ф.Ф) (ы)= глю гл 1 е'~~и 1 сиани поскольку (Ф Ф)(1» ')=Ф(1 (1)). 3. Формула Стокса. Основная теорема.
Пусть С=Ф: 1».еЕн — произвольный сингулярный куб, содержащийся в П, и пусть ее=в) ~(6) Справедлива формула Стокса ) дсо =~ с». Докажем эту формулу сначала в следующем частном случае: Пусть со — дифференциальная форма степени р-1, определенная в 1». Тогда справедливо равенство '~ й» = ~ с». гл ыи (6.1,19) 248 Дополнение к гл.
б. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве 249 $4. Интегрирование дифференциальных форм Доказательство. пусть Ог=) (1) н1о Л... Лы(Р. по опреде. лению Р 1"=Е -"11 "— 1") щР 1=1 !О!О Вычислим следующий интеграл: ) Ог, где 1=1,2, ...,р, го=0,1. го <о Рассмотрим каноническое отображение гр: Р 1-Р.7~~(!).
В силу результатов п. 1 имеем ы= ~ Лф(з)) " ' " ' ' бз Л..,,Л ~~. 0(М, ..., ва"1) гого 1Р 1 а По определению канонического отображения 1р~ 'Р якобиан имеет вид — О, если 1~1 0(аг, Ов, ..., "") 0(У, оо, ..., РР 1) =1, если 1=1. 0(от, ат, ..., Ф !) Таким образом, отличными от нуля могут быть только ин. тегралы по 1 Р(1), и мы получаем ~ о!=( — 1) ( ~ о! — ~ го) = ~ ~(1,зт, зх, ..., ОР !)ЫЛ ° ° огР РП! 1Р<,1 1Р-1 а 1 ...Л (зР-1 — (' ПО,О, ...,з-!) ( Л...Л ("-1.
По определению интеграла по кубу 1Р ' 1 1 аа — 1) Р (О зт оо — !)1 г)з!1(зо 1(за — !в д!Р О О 11 1 ' ! 1(зо,(з1 г(зР— 1 ~ "1 г(ноЛ Лг(ОР— 1. оо о 1Р" 2% Дополнение к гл. 6, Дифференциальные формы в евклидовом пространстве С другой стороны, Йо = — гм' Лг(1в/~ ... Д г((в. дг, Следовательно, с(и1 = ~ — 1 с(Р А... Л сЫл. д1 г ди ,Р гР Равенство (6.1.19) доказано. Доказательство теоремы Стокса.
По определи. нню интеграла по сингулярному кубу ~г(го = ) р'(й ). с гл В силу свойства 2' дифференцнруемых отображений (см. п, 2 5 3) ) ф Иы)=) М*(ы) гв гл Далее воспользуемся уже доказанной формулой Стокса длн куба 1л: ~( с(~р'(го) ) ф' (гв). гв вгл Остается заметить, что по свойству интегралов по границе сингулярного куба (см. утверждение и. 2) ) гр'(ге) = ( дгв 3с Теорема полностью доказана.
4. Примеры. 1'. Рассмотрим случай р=1. Одномерный сингулярный куб С в Е" — это некоторая кривая, концы которой обозначим через а и Ь. Формула Стокса приобретает вид ) ф = ) 1 =,г (Ь) — 1 (а). С дс В частности, когда п=!, получаем формулу Ньютона Лейбница ) 1' (х) г(х = 1 (Ь) — 1 (а) . л 251 $4, Интегрирование дифференциальнык форм 2'. Пусть теперь Р=2, Двумерный сингулярный куб С вЂ” зто двумерная поверхность, форма е!еньа! имеет вид в о!=~' е! !4ха, и и-! Используя пример 2 п. 2 5 2, получим в ~ ~ ( —" — — ) Ыха Л Нх! = ~ ~~~ гоа~1хе. с *<! все 1 Если л=2, то, обозначая ги=Рйх!+Ябх', получим формулу Грина ~ — — — ) !тхтЛНха =~ Рбхт+Яаха.
й / д!г дР ~ дк' дх' ~ с дс Если п=З, то получим обычную ф о р м у л у С т о к с а. 3'. Пусть р=п. Тогда от~2„! имеет вид -~а,б Л...Лбх'-'ЛбхеыЛ...Л Ь". Далее, в л о!о = т ~~~~ — хох! Лг4х! Л...Л Нх" = дх! и 1! ! =«Ч~~,к— Г!и — ' д гкх! Л бха Л... Л гкх".
дхь В частности, при п=З от = Рйха Л !4ха — Ябх! Л бха + й!бх! Л азха; г дР дя дР т йо = ~ — + — 4- — ~ !тхт Л Йха Л азха, ~! дх' дха дха ~ и мы получаем формулу О ст р о г р ад с кого. Глава 7 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Эта глава посвящена изучению специального класса функций, представимых в виде собственного или несобственного интеграла по одной переменной х от функции, которая кроме указанной переменной х зависит еще от одной переменной д, называемой параметром.
Функции, представимые такими интегралами, принято называть интегралами, зависящими от параметра. Естественно возникают вопросы о непрерывности, интегрируемости, дифференцнруемости таких функций по параметру. $1. РАВНОМЕРНОЕ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СТРЕМЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ К ПРЕДЕЛУ ПО ДРУГОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.
Связь равномерного по одной переменной стремления функции двух переменных к пределу по другой временной с равномерной сходимостью функциональной последовательности. Пусть на множестве Х, принадлежащем пространству Е' и состоящем из пар (х, у), где х принадлежит некоторому множеству числовой оси (х)=Х, а у принадлежит некоторому множеству числовой оси (у)=у, задана функция двух переменных 1(х, у). В простейшем случае под Х можно подразумевать прямоугольник П= =(а(х(Ь, с(у<4, где (х)=Х= [а, Ь), (у)= У= [с, 4, а 1(х, у)— функция, заданвая на прямоугольнике П. Пусть далее уа — предельная точка множества (у). Если при каждом х, принадлежащем множеству (х), существует конечный предел 1ппГ(х, у) =п(х), У Р» то будем говорить, что функция [(х, у) пот очеч но стрем ит- сЯ к фУнкции д(х) на множестве (х) пРи У, стРемЯщемсЯ к Ум и будем писать: 1(х, у) — «д(х) при у — ~.у,.
Понятие поточечного стремления 1(х, у) к д(х) обобщает понятие сходимости в точке функциональной последовательности (см. $1 гл. 2). й 1. Равномерное стремление функции к пределу Действительно, в частном случае, когда множество (у)= У является последовательностью (у ) и у„— у„функцию ((х, у) можно рассматривать как функциональную последовательность )„(х) =)(х, у„), определенную на множестве (х)=Х. Определим теперь понятие равномерного по переменной х стремления функции ((х, у) двух переменных к предельной функции д(х) при у-~-уо. Определение. Функция ((х, у) с т р е м и т с я р а в и о м е рно от носитель но х на (х) к функции д(х) при у, стремящемся к уо, если для любого е>0 существует 6=6(е)>0 такое, что для всех у~уо из множества (у), для которых ~у — уо~<6, и сразу для всех х из множества (х) выполняется неравенство У(х, у) — а(х) 1< Докажем утверждение, устанавливающее связь между равномерным на множестве (х) стремлением функции )(х, у) к д(х) при у — уо и равномерной на множестве (х) сходимостью функциональной последовательности (»(х) =)(х, у,) прн у»-еуо, где у»=,г=уь для всех и, у, — предельная точка множества (у).
Утверждение 1. Функция ((х, у) стремится к функции у(х) равномерно относительно х на множестве (х) при у — у, тогда и только тогда, когда функциональная последовательность (»(х) = =((х, у„) сходится равномерно на множестве (х) к предельной функции д(х) для каждой последовательности (у„), у„— ~-уо, где у„ принадлежат (у), у„~уо. Доказательство. Необходимость. Пусть ((х, у) стремится, к у(х) равномерно на множестве (х) при у -уо. Возьмем произвольную последовательность (у,), где у„принадлежат (у), у»чьуо и у -~ус.
Покажем, что последовательность ()»(х)), где )„(х) = =) (х, у,) равномерно на множестве (х) сходится к у(х). Фиксируем произвольное число е>0 и по нему число 6=6(г) ) >О такое, что для любых у из множества (у) таких, что О< < ~у — уо~ <6, и для всех х из (х) выполняется неравенство )(х, у) — д(х) ~<е. Поскольку у -э.уо, то найдется такой номер =Н(6), что прн любых п>Ж выполняется неравенство ~у» уо) <6, из которого следует, что ~((х, у„) — у(х) ~ <е при всех х, принадлежащих (х), и при любом п>)У. Это означает, что (»(х) стремится равномерао на множестве (х) к у(х).
Достаточность. Пусть для любой сходящейся к уо последовательности (у»), где у принадлежат (у), у,Фуо, соответствующая последовательность (»(х) =((х, у„) равномерно на множестве (х) сходится к функции д(х). Докажем, что функция ((х, у) равно- Гл. т Интегралы, аааисящае от параыетров мерно на множестве (х) стремится к у(х) при у-нуо. Допустим противное, т.
е. допустим, что существует такое число ео>О. что для любого 6>0 найдутся у»Фуо, ]уь — уо)<6, и точка х, из (х) такие, что ]1(хь, Уь) — Ы(хь) ] ~>ео. Пусть (6») — последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Тогда для соответствующих последовательностей (у,), (х»), где у,=уью х =х,», будем иметь и; уо, ]у — уо]<6, тогда как ]1(х», у ) — у(х») !>ео. Следовательно, последовательность функций )(х, у») =)„(х) не сходится к д(х) равномерно на множестве (х).
Таким образом, мы пришли к противоречию. Утверждение 1 полностью доказано. 2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной. Теорема 7.1. Для того чтобы функция 1(х, у) стремилась равномерно на множестве (х) к некоторой функции у(х) при у — «-уо, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е>0 существовало бы число 6=6(е)>0 такое, что для любых у', у" из множества (у), для которых 0<~у' — Уо]<6, 0<~У» — Уо]<6 для всех х из множества (х) выполнялось бы неравенство ]1(х, у') — 1(х, у") ! <е. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Согласно утверждению 1 достаточно рассмотреть последовательность (1(х, у„)), соответствующую последовательности (у»), где у уо, у» нз (у), у ~уо, и воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости функциональной последовательности (см. $1 гл. 2). 3. Применения понятия равномерного стремления к предельной функции. Пусть множество (х)» Х совпадает с сегментом (а, о], уо — предельная точка множества (у)=У. Рассмотрим функцию 1(х, у), где х нз ]а, Ь), а у из множества У. Сформулируем ряд утверждений, вытекающих из соответствующих утверждений для равномерно сходящихся функциональных последовательностей (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
