В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для этого выражение для Г(а+1) проинтегрируем по частям: Г(а+1)=] х е "т(х= — х е-*[о" +а] х те-лт(х. о о Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров 274 Следовательно Г(а+1) =аГ(а). Это соотношение и называется формулой приведении для Г-функции. Если а>1, то, применив формулу приведения. к Г(а), получим Г(а+1) =аГ(а) =а(а — 1)Г(а — 1). Если и — 1<а<и, то в результате последовательного применении формулы приведения получим Г(а+1) =-а(а — !)...
(а — и+ 1) Г(а — и+1). Это равенство показывает, что достаточно знать Г(а) на (О, 1], чтобы вычислить ее значение при любом а>0. Например, при а=-и получаем Г(и — 1) =и(и — 1) ... 2 1 ° Г(1). Поскольку Г(1) = 1 е г/х 1, то е Г(и+1) =и1 Из этой формулы, например, получаем Г(1) =1=0!, что соответствует соглашению О! =1. Изучим теперь поведение Г-функции и построим эскиз ее графика. Из выражения для второй производной Г-функции видно, что Г" (а)>0 для всех а>0.
Следовательно, Г'(а) возрастает. Поскольку Г(2) =1 Г(1) =Г(1), то по теореме Ролля на сегменте (1, 2) производная Г'(а) имеет единственный нуль в некоторой точке а'. Следовательно, Г'(а) <О при а<а' и Г'(а) >О при а>а', т. е, Г(а) монотонно убывает на (О, а') и монотонно возрастает на (а', оо), Далее, поскольку Г(а) =Г(а+1)/а, то Г(а)-ы ~+со прн а-еО+О. При а>2 из формулы Г(а)=(а — 1)Г(а — 1)> >(а — 1)Г(1) =а — 1 следует, что Г(а)- +со при ае-+оо. Равенство Г(а) =Г(а+1)/а, справедливое при а>0, можно использовать при распространении Г-функции на отрицательные значения а, Положим для — 1<а<0, что Г(а) =Г(а+1)/а. Правая часть этого равенства определена для а из ( — 1, 0). Получаем, что так продолженная функция Г(а) принимает на ( — 1, 0) отрицательные значения и прн а- — 1+О, а также при а — ~-0 — 0 функция Г(а)- — оо, Определив таким образом Г(а) на ( — 1, 0), мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал ( — 2, — 1).
На этом 275 Ь 5. Интегралы Эйлера интервале продолжением Г(а) окажется функция, принимающая положительные значения н такая, что Г(а)-»+он прн а-» — 1 — О и а-» — 2+О. Продолжая этот процесс, определим функцию Г(а)„ имеющую разрывы второго рода в целочисленных точках а= — /г, /2=0, 1, 2, ... (см. рис. 7.1).
Отметим еще раз, что интеграл Г (а) = ~ х' 1е-л//х о определяет Г-функцию т о л ько при положительных значениях а, продолжение на отрицательные значения а осуществлено нами формально с помощью формулы приведения Г(а+1) =аГ(а). 2. В-функция. Рассмотрим интеграл, определяющий В-функцию: Рнс. 7.1 В(а, р)=) х" — '(1 — х)а — '/тх.
о 1/2 Интеграл ) х '(1 — х)Р-1/(х сходится при а>0 и любом о так как прн 0(х<1/2 справедливо неравенство 0(х" — 1(1-х)о-1~ 1/2 (сх" ' при некотором с>0 и интеграл ~х" 'с(х при а>0 схо- Ь днтся. Этот интеграл сходится равномерно относительно а и р в области а)ао>0, ~~)0, поскольку О ~х' '(1 — х)в-1< схе — ' при всех а> ао и р> 0 и для всех хя (О, 1/2). Аналогично проверяется сходимость интеграла 1 ) х" — ' (1 — х)р-1/(х 1/2 при любых а)0 и р>0, а также его равномерная сходимость в области а)0, р Ро>0, где Ро>0 — произвольное число. 27б Гл. 7. Интегралы, завнснптне от параметров Таким образом, интеграл ! В (а, р) = ~ х ' (1 — х)Р-' т(х .о сходится при всех а>0 и р>0 и сходится равномерно по а и р иа множестве а>ао>0, (1>ро>0, где ао и бо — произвольные поло- жительные числа. Точно так же, как и для Г-функции, можно показать, что З-функция является бесконечно дифференцируемой при 0<а<от, 0<р<по.
Однако это мы установим ниже, используя выражение З-функции через Г-функцию. Поэтому показывать непосредственно дифференцируемость В-функции мы не будем. Установим некоторые свойства В-функции. 1'. Симметричность В-функции: ари всех а>0, р>0 .имеет место равенство В(а, и) =В(р, а), т. е.
В-функция симметрична относительно своих аргументов. В интеграле, определяющем В-функцию, сделаем замену пе- уемеиной, положив 1=1 — х. Получим ! о В(а, (1)=~х '(1 — х)Р— гс(х= — ~(1 — 1)' г(е го(1= о ! ! =~1Р-г(1 — !)' гг(т=В((1, а). о 2'. Формула приведения для В-функции: для лю- бых а>0 и р>0 имеет место следующая формула приведения: В(а+ 1, р)= — "В(а, (1). а+р Действительно, ! В(а+1, й)=! (1 )! д,= ' „(1 х)Р),+ р + —" х" — '(1 — х)рдх= —" ( ха — г(1 — х)(1 — х)Р-гаях ! ! = — [~ х ! (1 — х)р гг(х — ~ х" (1 — х)р-!дх~ о о — В(а, (3) — а В(а-(-1, и). $5, Интегралы Эйлера Таким образом, В(а+1, р) = — В(а, р) — — В(а+1;13), откуда В(а+1, ())= — В(а, р).
а+ () Из свойства симметрии для любых а>0 и р>0 получается также формула В (а, р + 1) = — В (а, р). а+р Последовательное применение этих формул дает возможность выразить любые значения В(а, р) через значения этой функции в прямоугольнике П=(0<а~1, 0<~(Ц. 3. Связь между эйлеровыми интегралами. В интеграле, определяющем Г(а), сделаем замену, полагая х=и1, где и>0, а в интеграле, определяющем В(а, р), сделаем замену х=— 1+! и а Г(а) иа ~ (а — се — иссИ В(а, р)= ( й, = ' (1+с)--Р о о Заменив в первом интеграле и через 1+и, а а через а+р, получим а Г(а+()) ~ (а+р 1 и+ос! ~1 (1+„) +Р = о Умножим обе части последнего равенства на и -'. а — 1 1" (а ! ()) — ~ (а+р — !о-и+о!соси — !сИ (! +и)а+а о Предположим, что а>1, р>1, и рассмотрим в области 1'= О, и)0 функцию С(1 и) (а+З вЂ” 1эа — 1 Π— 11+и!1 Очевидно, что в этой области 1(1, и))0. Далее, интеграл а !(о) = ~~(1, и)сИ=Г(а+р) + о является непрерывной функцией от и на полупрямой и~~О.
Интег- 278 Гл. 7. Интегралы, ааеясящяе от параметров рал по другому аргументу от этой функции также непрерывен по 1 на полуирямой 1)О, поскольку Ю К (1) ~ 7 (1 о) с(о (а+ — 1а-1 ~' е — а оа — 1с(о Г (а) (В-1е — г о о Наконец, существует повторный интеграл ~ К (1) г(1 = ~ е(1 ~ 7" (1, о) с(о = ~ Г (а) Ф вЂ” 'е — ' е(1 = Г (а) Г (р). о о о о Следовательно, в силу теоремы 7.13 5 3 имеет место равенство ) Цо)т(о=) К(1)с(1, о о или оа — 1 е ва-1 г1.1а-) г1,ее1 -~-а=г1 то11 " а(,+„)а в 3 (1+,)а+В о о о =~К(1)1(1 =Г(а) Г(()). о Таким образом, С Г(а+р)~ о + 11о=Г(а+р)В(а, ())=Г(а)Г(р), о где мы воспользовались установленным выше равенством: а еа + 1(о=В(а, р). (1-1 е)а+В о В результате получим, что для всех а) 1, р) 1 В(а р 1'(сг) 1" (()) Г (а+ Р) Распространим эту формулу на значения а >О, р)О. По доказанному справедлива формула В( +1 ()+1) Г( +1) Г(в+1) Г (а + () + 2) 279 $5.
Интегралы Эйлера Воспользовавшись формулами приведения, получим В(а+1, р+1)= В(а, р+1)= — В(а, р); а+р+1 а+р+1а+р Г(а+1) =а1'(а); Г(р+1) =рГ((3); Г (а+ й+ 2) = (а+ р+ 1) (а+ (3) Г (а+ р) . Подставляя эти выражения в формулу для В(а+1, 1)+1), получим формулу г(а) г(;'Ч Г (а+ (т) для всей области а)0, р.=»0. 4. Примеры. Приведем примеры вычисления некоторых интегралов путем сведения их к эйлеровым интегралам.
1'. Вычислим интеграл т'=) хп'(1+х) йх. о Очевидно, что (=в(' ') ' ' ' г(')г~ †') 2'. Найдем значение интеграла !'= ) з!па — '(сова — 'Г!((. о Полагая х=з1по 1, получим У г з (1 ) (х В( . ') 1 3'. Вычислим интеграл нм ! = ) з(па-! г т(г. о Используя пример 2' (при р=1), получим г~ — ) )., = — 'Г~( —,' ) 2 Г (а+1) Гл. 7.
Интегралы, ааанснпгне от параметров Далее, Г ( — ) =~е /==2 ~е ' с! ['!//т). о о Г . Ул Заменяя )// на х и вспоминая, что интеграл ! е-а*/(х= — (см. 2 о пример 3' $4), получим Г ! — ! = 1/'тт. Поэтому (2/ $6. ФОРМУЛА СТНРЛННГА Мы уже знаем„что а! =Г(и+1)=~х"е — /(х. Найдем представление величины и! при больших значениях /а (так называемое асимптотическое представление). Мы докажем формулу п!= ( — ") У'2н/т (1 + =), где величина от заключена между — 1 и +1. Это и есть форму» ла Стирлннга.
Перейдем к ее доказательству. Заметим, что функция х"е-* / л возрастает на [О, п1 от О до ( — ) и убывает на [а, +по) от до О. Заметим, что ( — ")" е / х"е — * = ( — ) ( — ) е"-', а поэтому "'=( — ') 1( — ')' -'" о / х 1а Функция ( — ) е" '. на [О, /т) возрастает от О до 1, а на [и, +по) убывает от 1 до О.
Поэтому можно сделать замену переменной 2В) й В. Формула Стирлиига ) Еа-к При этом сегменту 10, а1 изменения х будет отвечать полуось ( — си, О) изменения ), а полуоси (л, ии) изменения х — полуось 10, ио) изменения й Для проведения замены переменной (л) необходимо найти лх производную —. Для любого х~-.л, дифференцируя левую и и'г' правую части (*) по ), получим равенство г)к 2ак аГ х — л С другой стороны, логарифмируя равенство (л), получим !а=х — и — и!и (1+ " ). л Записывая для функции у(у) =!п(1+у) формулу Маклорена и остаточным членом в форме Лагранжа, мы получим, что найдется число 6 из интервала 0(0~! такое, что 1п(1+у) =д— уа х — л так что при д = 2 ($ + Оу)а и 1 (х — и)' ( х — л ) х — и 2 !и+ 0 (х — л)!и' и потому л (х — и)' 2 [л+ 0 (х — л))' Отсюда л к — п 1таа л ! 2 и+0(к — л) ау 2 0+ к — и л ! а/л Поэтому — = — р — — 0, а, следовательно, к — л а у 2 + — ~ =2)~ — у — + 1 — 0 — У вЂ” + 2! (1 — О).
2 — =2! — =2! [! аг х — л Ю Теперь в интеграле о меиной (л): $0 зак. 2$ () -' х ти — е"-*Их произведем замену перел ~ 282 Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров =( — ") рг2л ~ ~ е — ис//+= ~ и — г*/(! — 8)с/11. — и Оценим интеграл ) и '1(1 — 8)й. Заметим, что Р + Ъ а е-г2(1 — 8)с(/ (2 ~ /е — гзс11= — е — "1о'=-1. ь +и Учитывая, что 1 е "Ж=)г'зт и )/и > 2, окончательно получим п1= ( — ) 1/2ли (1 + =), где ~ог~ (1. Формула Стирлинга обоснована. Заметим, что более детальный анализ показывает, что справедливо, например, следующее разложение 41: 1=Г( +1)=~ 2 1' — "1" 11+ — '+ — '. '~ +Р(' — '1~, е / 1 12и 288из 61840из г, из / в котором остаток не превосходит последнего удерживаемого сла- гаемого, й 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
