В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Заметим теперь, что функцию 1(х), удовлетворяющую условиям доказываемой теоремы, можно периодически с периодом 2п продолжить на всю бесконечную прямую — оо(х(+оо, так что 11* Гл. 8 Ряды Фурье продолженная функция будет непрерывна в каждой точке х бесконечной прямой. Кроме того, если функция /(х) продолжена таким образом, то (поскольку Р(созх) также является периодической функцией периода 2п) для четной функции /(х) неравенство (8.28) справедливо всюду на прямой — оо х(+ос.
2) Пусть теперь /(х) — произвольная функция, удовлетворяющая условиям доказываемой теоремы. Эту функцию мы периодически с периодом 2п продолжим на всю прямую и составим с помощью этой функции следующие четные функции: /(х)+ /( — х) ,/,(х) = (8.29) /я(х)= /( / з!пх. 2 (8. 30) По доказанному в 1) для любого в 0 найдутся тригонометрические многочлены Т,(х) и Т,(х) такие, что всюду на числовой прямой (/1 (х) — Т1(х) ! (в/4; (/а(х) — Тя(х) ! (е/4, и поэтому )/1(х)айнах — Т1(х)з!па(х) ! -.е/4; (/а(х) з!и х Тя(х) ашх) (и/4.
Складывая эти неравенства и учитывая, что модуль суммы двух величин не превосходит'сумму их модулей, а также принимая во внимание равенства (8.29) и (8.30), получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство (/(х) з!и'х — Та(х) ! (в/2, (8.31) в котором через Та(х) обозначен тригонометрический многочлен, равный Та(х) =Т|(х)зш'х+Тя(х)з!пх. В проведенных нами рассуждениях вместо функции /(х) можно взять функцию /(х+н/2)'>. В полной аналогии с (8.31) получим, что для функции /(х+н/2) найдется тригонометрический многочлен Т,(х) такой, что всюду на числовой прямой (/(х+я/2) з!пах — Т,(х) ! (е/2.
(8.32) м Так как вта функция удовлетворяет тем же условвям, что н полученная после продолжения функция у(х). Заменяя в (8.32) х на х — и/2 и обозначая через Та(х) тригонометрический м~ногочлен вида Та(х) =Т,(х — и/2), получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство (/(х) соз'х — Та(х) ! (в/2. (8.33) Наконец, складывая неравенства (8.31) ~и (8.33) и обозначая через Т(х) тригонометрический многочлен вида Т(х) =Т,(х)+Т,(х), 5 3. Замкнутость тригонометрической свстеми и следствия иа нее 301 получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство (8.27).
Теорема доказана. 3 а и е ч а н н е. Каждое из условий 1) непрерывности /(х) на сегменте [ — п, и] и 2) равенства значений /( — я) и /(и) является необходимым условием для равномерного на сегменте [ — и, и] приближения функции /(х) тригонометрическими многочленами. Иными словами, теорему Вейерштрасса можно переформулировать следующим образом: Теорема 8.7*. Для того чтобы функцию /(х) можно было равномерно на сегменте [ — и, я] приблизить тригонометрическими многочленами, необходимо и достаточно, чтобы функция /(х) была непрерывной на сегменте [ — и, и] и удовлетворяла условию /( — я) =/(ет). Достаточность составляет содержание теоремы 8.7.
Оотаиовимся иа доказательстве необходимости. Пусть существует последовательность тригонометрических многочленов (Т„(х)), равномерно на сегменте ] — и, и] сходящаяся к функции /(х). Так как каждая функция Т„(х) непрерывна на сегменте [ — и, и], то по следствию 2 из теоремы 2.7 и функция /(х) непрерывна на сегменте [ — и, и]. Для любого в>0 найдется многочлен Т„(х) такой, что ]/(х) — Т„(х) ]<в/2 для всех х из сегмента [ — и, я]. Следовательно, ]/( — и) — Т„( — и) ] <в/2, ]/(и) — Т„(п) ] <в/2.
Из последних двух неравенств и из вытекающего из условия периодичности (с периодом 2п) равенства Т„( — и) =Т„(п) заключаем, что ]/( — /к) — /(и),'<а, откуда /( — я)=/(и) (в силу произвольности в>0). 2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы. Опираясь на теорему Веиерштрасса, докажем следующую основную теорему.
Т е о р е м а 8.8. Тригонометрическая система (8.10) является замкнутой е), т. е. для любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, я] функции /(х) и любого положительного числа в найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что Доказательство. Прежде всего заметим, что длн любой кусочно непрерывной на сегменте [ — п, я] функции /(х) и для любого в>0 найдется непрерывная на этом сегменте функция ') А следовательно (в силу теореми 3.5), и полной. Гл.
8 Ряды Фурье г'(х), удовлетворяющая условию г" ( — и) =)с(п) и такая, что — (8. 35) 2 Ц7(х) — г (х) Ц = В самом деле, достаточно взять функцию )с(х) совпадающей с Г(х) всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции [(х) и точки х=п, а в указанных окрестностях взять г (х) линейной функцией так, чтобы г (х) являлась непрерывной на всем сегменте [ — и, и] и удовлетворяла условию г" ( — и) = =с (и). Так как кусочно непрерывная функция и срезающая ее линейная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные окрестности точек разрыва Г(х) и точки х=п достаточно малыми, мы обеспечим выполнение неравенства (8.35). По теореме Вейерштрасса 8.7 для функции г (х) найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что для всех х из сегмента [ — и, и] справедливо неравенство ] г" (х) — Т(х) ] < Из (8.36) заключаем, что Цг (х) — Т(х)Ц = 1/ ] [с'(х) — Т(х)]ьйх < —.
2 (8.36) (8.37) Из (8.35) и (8,37) н из неравенства треугольника для норм вытекает неравенство (8. 34). Теорема доказана, 3 а м е ч а н и е 1. Из теорем 8.8 и 8.5 сразу же вытекает, что тригонометрическая система (8.10) является полной. Отсюда в / 2 свою очередь вытекает, что система у — з!ппх (п=1, 2...,) нвляется полной на множестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте [О, и] (или соответственно на сегменте [ — и, О] ).
В самом деле, всякая кусочно непрерывная на сегменте [О, и] функция Г(х), ортогональная на этом сегменте всем элементам / 2 системы ~ — аппп, после нечетного продолжения на сегмент ] — и, О] оказывается ортогональной на сегменте [ — и, п] всем элементам тригонометрической системы (8.10). В силу полноты системы (8.10) эта функция равна нулю на [ — и, и], а следовательно, и на [О, и]. Совершенно аналогично доказывается, что ! 2 — — совах (п=1, 2,...) является полной на мнотгл т' я жестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте [О, и] (илн соответственно на сегменте [ — и, О]).
4 3. Замкнутость тригонометрической системы и следстния из нее 303 3 а м еч а н и е 2. Можно показать, что среди ортонормнрованных систем, указанных в 3 1, системы, образованные с помощью полиномов Лежандра, полиномов Чебышева и функций Хаара, являются замкнутыми, а система Радемахера замкнутой не является. 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы. Следствие 1. Для любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, +и] функции 1(х) справедливо равенство Парсе- валя аз и — + ~ (а'+Ь') = — ) 7'(х)йх (8:38) /ь $]д(х) — 5„(х)$$ = ~гг [ [д(х) — 8„(х)]зйх ( — '. (8,39) е С другой стороны, в силу следствия 2 последовательность 5„(х) сходится к 7(х) в среднем на всем сегменте [ — и, и], а следова- (вытекает из теоремы 8.3).
Следствие 2. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и] функции [(х) сходится к этой функции на указанном сегменте в с р е д н е м (вытекает из теоремы 8А н замечания 2 к ней). Следствие 3. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и] функции [(х) можно почленно интегрировать на этом сегменте (вытекает из предыдущего следствия и из теоремы 2.11). Следствие 4. Если две кусо«но непрерывные на сегменте [ — и, и] функции 7(х) и д(х) имеют одинаковые тригонометрические ряды Фурье, то эти функции совпадают всюду на этом сегменте (вытекает из теоремы 8.6).
С л е д с т в и е 5. Если тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и] функции г(х) сходится равномерно на некотором содержащемся в [ — и, и] сегменте [а, Ь], то он сходится на сегменте [а, Ь] именно к функции ](х) . Доказательство. Пусть д(х) — та функция, к которой сходится равномерно на [а, Ь] тригонометрический ряд Фурье функции 7(х). Докажем, что д(х) =](х) всюду на сегменте [а, Ь]. Так как нз равномерной сходимости на сегменте [а, Ь] вытекает сходимость в среднем иа этом сегменте (см, п. 3 3 4 гл.
2), то тригонометрический ряд Фурье функции 1'(х) сходится к функции у(х) на сегменте [а, Ь] в среднем. Это означает, что для произвольного н)0 найдется номер пь начиная с которого п-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье Я (х) удовлетворяет неравенству Гл. 8 Ряды Фурье тельно, и на сегменте [а, Ь], т. е. для фиксированного нами про- извольного е)0 найдется номер пм начиная с которого /ь Ц5„(х) — ~(х)Ц = $/ ~ [5„(х) — ~(х)]з дх< —, (8,40) Из (8.89) и (8.40) и из неравенства треугольника Ця(х) — Г(х) Ц<Цд(х) — 5„(х) Ц+ Ц5„(х) — 1(х) Ц вытекает, что ЦАт(х) — [(х) Ц<е.
Из этого неравенства и из произвольности е>0 следует, что Цд(х) — 7(х) Ц=О, а отсюда на основании первого свойства нормы заключаем, что к(х) — 1(х)— нулевой элемент пространства кусочно непрерывных на [а, Ь] функций, т. е. функция, тождественно равная нулю на сегменте ]а, Ь]. Следствие б доказано. 3 а меча н не 1. Конечно, в следствии б сегмент [а, Ь] может совпадать со всем сегментом [ — и, и], т. е. из равномерной сходимости ряда Фурье функции [(х) на всем сегменте [ — и, и] следует, что этот ряд сходится на указанном сегменте именно к функции 7(х).
3 а меч ание 2. Совершенно аналогичные следствия будут справедливы и для ряда Фурье по любой другой замкнутой ортонормированной системе в пространстве кусочно непрерывных на произвольном сегменте [а, Ь] функций со скалярным произведением (8.1) и нормой (8.6). Примерами таких систем могут служить указанные в $1 ортонормированные системы, связанные с полиномами Лежандра и Чебышева, а также система Хаара. й 4. ПРОСТЕЙШИЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И ПОЧЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
