В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

1; . ! 1 Просум,ц:руем это равенство повеем номерам й, равным 1, 2,, ас е 2 я! п — '~ соя Ы = я!и ~ п + — ) 1 — гй и —. 2 ~ ' 2 ) 2 е-! Отсюда 2я!п — ~ — +~сояй(~ =-я!п ~п+ — ) 2 е ! и, следовательно, 1 л я|п ~п+ — ) ! — + ~~сояй1~ = А=! 2 я!и— 2 (8. 54)! 1 1 г и (и+ — )! Я„(х, ~)= — ~ !'(х+1) — с(1, 2 — и 2Мп— 2 (8.55у справедливое в любой точке х числовой прямой. Подставляя (8.54) в (8.53), окончательно получим следующее выражение для и-й частичной суммы тригонометрического ряда.

Фурье: Гл. 8 Ряды Фурье 314 3 а м е ч а н и е. Из формулы (8.55) и из того, что все частичные суммы 5„(х, !) функции )(х)=1 равны единице "1, вытекает следующее равенство: ! па!П (л+ ) 1 1= — '~- ' ' д(. — я 2пп— 2 (8.56) (Г'(и+1) — ('(1)( с(1 е г. Доказательство. Фиксируем произвольное е>0. Согласно теореме 8,8 (о замкнутости тригонометрической системы) для функции 1(х) найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что Ях) — Т(х)Ц= — 1/ ( Ц(1) — Т(1)1ас((к. 31' 2п и потому на основании неравенства Коши — Буняковскогоаа1 ~ !7(1) — Т((ид(< ~/ ~ 17(1) — Т(1)1вд( ~ д( < — ', (8.57) — à — л — к Из неравенства (8.57), из леммы и. 2 и из того, что 1(1) н Т(1) являются периодическими функциями периода 2п, заключаем, что для любого числа и 17(1+и) — Т((+ и) / д( С вЂ”.

3' Поскольку модуль суммы трех величин не превосходит сумму мо- дулей этих величин, то для любого числа и справедливо неравен- ство км Так как величина (8.83) для функции 1(х)=1 равна сумме Я„(х, 1), в которой во=2, оь=ьь=о при Й= 1, 2, ... ем См. неравенство (8.7) при и= — и, Ь=п.

3. Вспомогательные предложения. Л е м м а. Пусть 1(х) кусочно непрерывна на сегменте ( — и, и) и периодически с периодом 2п продолжена на есю бесконечную прямую. Тогда для любого е>0 найдется 5(е) >О такое, что при ееех и, удовлетворяющих условию 1и((6, справедливо неравен- ство Е З. Более точные условия схояииости ~ [~ (1+ и) — 1 (1) [ й1 и ~ [/ (1+ и) — Т (1+ и) [ йг + + ) [Т(1+и) — Т(1)[ей+ [ [Т(1) — Т(1)[ й1. (859) Теперь остается заметить, что в силу непрерывности тригонометрического многочлена и теоремы Кантора (см. теорему 4.16 ч. 1) для фиксированного нами е>0 найдется 6>0 такое, что при [и[(6 н при всех 1 из [ — л, л[ [Т(1+и) — ТЯ [~е/(6л), и потому ~ [Т((+и) — Т(1)[ й( < е/3.

(8.60) — л Сопоставляя неравенство (8.59) с неравенствами (8.57), (8.58) и (8.60), получим ) [Т(х+1+ и) — Т(х+1)[ Й л. е — л (8.62)1 при [и[(6. Доказательство. Сделаем в интеграле, стоящем в левой части (8.62), замену переменной т=х+8 л лч» ~ [Як+1+и) — Т(х+1)[ й( = ~ [Т(т+и) — 1(т)[ йт. В силу равенства (8.50) л+» л [1(т+и) — 1(т)[ йт= ~ [Г'(т+и) — )(т)[ Нт. — л+» -и Следовательно, неравенство (8.62) является следствием (8.61).

~' И((+и) — 1Я[й1 ( (8.61) для всех и, для которых [и[(6. Лемма доказана. Извлечем теперь из этой леммы ряд важных для дальнейшего следствий. Следствие 1. Если функция [Я кусочно непрерывна на сегменте [ — л, л] и периодически (с периодом 2л) продолжена но всю бесконечную прямую, а х — любая фиксированная точка сегмента [ — л, л[, то для любого е>0 найдется 6>0 такое, что 316 Гл. В Ряди Фурье Следствие 2. Если каждая из функций 1(1) и й(1) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и] и периодически (с периодом 2п) продолжена на всю прямую, то функция является непрерывной функцией х на сегменте [ — и, а].

Доказательство. Пусть х — любая точка сегмента [ — и, л]. Тогда 1(х+ и) — !(х) = ~ [7(х+1+и) — 1(х+1)]д(1) й1, и поскольку кусочно непрерывная на сегменте [ — и, и] функция й(1) удовлетворяет на этом сегменте условию ограниченности «й(1) ] -М, то [1(х+ и) — Т (х) [ < М ] [1(х+ 1+ и) — [(х+ 1) ] й1, и потому в силу (8.62) для любого е)0 [Т(х+и) — 1(х) ] <е при [и[(6(е).

Непрерывность Т(х) в точке х доказана. С л ед стане 3. Если каждая из функций 1(1) и д(1) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, а] и периодически (с периодом 2п) продолжена на всю прямую, то тригонометрические коэффициенты Фурье функции Е(х, 1) =[(х+1)й(1) при разложении ее по переменной 1 л а„(х) = — ~ ) (х + 1) й (1) соз п1й1, ! (8.63) Ь„(х) = — ] 1(х+ 1) у(1)з!пп1й1 п (8.64) ен См. следствие ! и, 3 й 3. при и- с сходятся к нулю равномерно относительно х на сегменте [ — и, и] (а следовательно, и на всей прямой).

Доказательство. Для любой фиксированной точки х сегмента [ — и, и] функция Р(х, 1) =1(х+1)д(1) является кусочно непрерывной функцией аргумента 1 на сегменте [ — п, и], поэтому для нее справедливо равенство Парсеваля м1 з)т 4 5. Более точные условия сходимости и + ~) [ав(х)+ Ьв(х)] = — [ !"'(х+!)уя(т)йг. (8.65) 2 и,! Из равенства (8.65) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой его части, в каждой фиксированной точке х сегмента [ — и, я]. Так как указанный ряд состоит из неотрицательных членов, то в силу теоремы Дини Я'! для доказательсв ва равномерной на сегменте [ — и, и] сходимости указанного ряда достаточно доказать, что как функции а„(х) н 5 (х), так и сумма ряда (8.65) 1 — уя(х + !) дя (!) й! — непрерывные функции х па сет-и менте [ — и, я], а это сразу вытекает нз предыдущего следствия (достаточно учесть, что квадрат кусочно непрерывной функции является кусочно непрерывной функцией и что сов п1 и и!ппг при каждом фиксированном номере и являются непрерывными функциями).

Следствие 4. Если каждая из функций [(!) и д(!) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и] и периодически с периодом 2п продолжена на всю прямую, то последовательность с„(х) = — ! у(х+ г) д (!) зш ~ [ и + — ] ! ~ йг ! г ' Гт 1 2 ] (8.66) Ям См. теорему 2Л (формулировку в терминах рядов). сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте [ — и, я] (а следовательно, и на всей прямой). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно учесть, что з)п ~~п + — )! (~ =сохи(з)п — +з!пи!савв 2 !' 2 2 и применить предыдущее следствие, беря в (8.63) вместо д(!) функцию д(т) и!и —, а в (8.64) вместо д(4) функцию я(!) ссм —. 2 2 4. Принцип локализации.

В этом пункте мы докажем, что вопрос о том, сходится или расходится тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и] и периодической (с периодом 2п) функции [(х) в данной точке х, решается лишь на основании поведения функции г(х) в как угодно малой окрест. ности точки х. Это замечательное свойство тригонометрического ряда Фурье принято называть принципом локализации. Начнем с доказательства важной леммы. Л е м м а (лемма Римана).

Если функция [(х) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и] и периодически (с периодом 2я) про- Гл. 8 Ряды Фурье 3!8 должена на всю прямую и если эта функция обращается в нуль на некотором сегменте [а, Ь) 'эз, то для любого положительного Ь вЂ” а числа 6, меньшего —, тригонометрический ряд Фурье функ- 2 ции )'(х) равномерно на сегменте [а+6, Ь вЂ” 6) сходится к нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 6 — произвольное положительное Ь вЂ” и число, меньшее Частичная сумма тригонометрического 2 ряда Фурье функции 1(х) в произвольной точке х числовой прямой определяется равенством (8.55). Полагая ! при 6( [!) ~(п 2 з!и— 2 ! при [1) = 6; 4мп— 2 О при )г[(6 (8.67)~ й(т) = и учитывая, что 1(х+г) равняется нулю при условии, что х принадлежит сегменту [а+6, Ь вЂ” 6], а г принадлежит сегменту [![ ~ (6'оз, можно следующим образом переписать равенство (8.55) для каждой точки х сегмента [а+ 6, Ь вЂ” 6): Я„(х, Г)= — ' [ у(х+1)д(1)з)п)Г)уп+ — '~ Г~ й(.

п,) 2 / — л Сегмент (о, Ь) является совершенно произвольным сегментом длины, меньшей 2н. В частности, этот сегмент может не содержаться целиком ы 1 — н, л). "1 В силу того, что функция 1(х) равна нулю на всем сегменте (о, Ь). Остается принять во внимание, что последовательность, стоящая в правой части последнего равенства, в силу следствия 4 п. 3' сходится к нулю равномерно относительно х на всей числовой прямой. Лемма доказана. Непосредственными следствиями доказанной леммы являются следующие две теоремы. Теорем а 8.11. Пусть функция у(х) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и) и периодически (с периодом 2п) продолжена на всю прямую, и пусть [а, Ь) — некоторый сегмент.

Характеристики

Список файлов книги