В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 56
Текст из файла (страница 56)
2 7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических. Мы уже отмечали, что тригонометрический ряд Фурье всюду непрерывной и периодической (с периодом 2п) функции может быть расходящимся (см. п. 1). Докажем, что этот ряд тем не менее всегда суммируем (равномерно на всей прямой) методом Чезаро (методом средних арифметических) 'о>.
Теорема 8.16 (теорема Фейера) "о>. Если функция )(х) непрерывна на сегменте [ — и, я] и удовлетворяет условию 1( — и) =)"(и), то средние арифметические частичных сумм ее тригонометрического ряда Фурье эа (л, 1) 1 ва Ок 1) + " + ва-а (я, 1) и сходятся (к этой функции) равномерно на сегменте ( — и, п1 (а в случае, если функция продолжена на всю прямую с периодом 2п, равномерно на всей прямой). Доказательство. Из равенства (8.55) для 3„(х, !) следует, что о„(х, 7) = — ~ —" ~ ~ з)п ~ А+ — ) 11 й1. (8.78) -я 2 а|в — а=о 2 Для вычисления суммы, стоящей в (8.78) в квадратных скобках, просуммируем тождество 2яп — яп ~й+ — ) (=созЫ вЂ” соз(й+1)! l ! 2 ~ 2 по всем й=О, 1, 2,..., и — 1. В результате получим в — ! 2яп — ~яп !)й+ — ) 1=1 — созп! =2яп — ° лг 2 1 2 ! 2 «-о "> См.
и. 1 $ т гл. 1. "> Л. Феяер — веягерскиа математик (1880 †19). Приведенная теорема локааана им в 1904 г. 12 заа. 25 Гя. 8 Ряды Фурье С помощью этого равенства (8.78) приводится к виду л! и 51П5 о„(х, Д= — ( у(х+1) й. пл .! — л 25!п5— 2 (8.79у Из (8.79) в свою очередь немедленно следует, что л! 5!П5 5(1=1, нл .! — л 2ип5— 2 (8.80) !о„(х, ) — Т)~< и мп' '! !Т(х+!) — Т(х+1)! Й< лл ! — П 2 5!п5— 2 л! л 5!П'— 5 ! Г 2 5 . 511=— 2пл3.52 — и 2ип'— 2 (8.83) Неравенство (8.83) справедливо для любого номера а. так как левая часть (8.80) равна среднему арифметическому частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) =1, а все указанные частичные суммы тождественно равны единице (см.
и. 2). Фиксируем произвольное е)0. Согласно теореме Вейерштрасса 8.7 найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, Что ~)(х) — Т(х) ~ ~е/2 (8.81) для всех х числовой прямой. В силу линейности средних арифметических о (х, 1) =о (х, 1 — Т) + о (х, Т), так что !о„(х, 1) — Т(х)~<!о„(х, ) — ТК+ !Пл(х, Т) — Т(х)),(8.82) Запишем равенство (8.79) для функции (1(х) — Т(х)!.
Учитывая неотрицательность называемой я д р о м Ф е й е р а функл! 51п'— ции и используя оценку (8.81) и равенство (8.80), 2 2 51П5— 2 получим ЗЗ1 $5. Более точные условия сходимости Заметим, что тригонометрический ряд Фурье многочлена Т(х) совпадает с этим многочленом. Отсюда следует, что все частичные суммы 5„(х, Т), начиная с некоторого номера но, равны Т(х). Но это позволяет нам для фиксированного выше произвольного е>0 отыскать номер У такой, что ~о„(х, Т) — Т(х) ~ <е/2 (8.84) при всех я)У и всех х.
Из неравенств (8.82) — (8.84) заключаем, что ~ а '(х, 1)— — 1(х) ~(е прн всех п>У и всех х. Теорема доказана. 8. Заключительные замечания. 1'. При решении ряда конкретных задач приходится раскладывать функцию в трнгонометриче. ский ряд Фурье не на сегменте ( — н, я), а на сегменте 1 — 1, 1), где 1 — произвольное положительное число. Для перехода к такому случаю достаточно во всех проведенных выше рассуждениях заменить переменную х на х. Конечно, прн такой линейной заме- 1 не переменной останутся справедливыми все установленные нами результаты, которые будут относиться к тригонометрическому ряду Фурье » и» %1/ и н — + ~ (алсоз — йх+Ь„яп — йх) 2»»(, 1 1=1 со следующими выражениями для коэффициентов Фурье: (8.85) (8.86) ал = — С ~(1) ссв 11 — Ы й1; Ьл — Г 1(1) з(п ~ —" й1) й1; » — + ~ а„соз — йх, и, %-$ я 2 л-1 !2» й=1,2,... Мы не будем заново формулировать все установленные теоремы, а лишь отметим, что во всех формулировках сегмент ( — и, и) следует заменить сегментом ( — 1, 1), а период 2п — периодом 21.
2'. Из вида (8.86) тригонометрических коэффициентов Фурье вытекает, что для четной функции 1(х) равны нулю все коэффициенты Ь» (й=1, 2, ...), а для нечетной функции 1(х) равны нулю все коэффициенты ал (у=О, 1, 2, ...). Таким образом, четная функция 1'(х) раскладывается в тригонометрический ряд Фурье только ло косинусам: 333 5 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье Кратным тригонометрическим рядом Фурье ф У н к ц и и 1(х) = ~(хь хт, ..., хл) называетсЯ РЯд вида (8.88) ) е зм Ф в котором числа Д называемые коэффициентами Фурье, определяются равенствами 6=Х, ....„= (8.89) =(2п) — ") ...) 1(у, у„..., ул)е "' ' "'+"""~'Нут...
с(ул п а символ (к, и) обозначает скалярное произведение векторов к и и, равное х,п~+хтпя+...+хллс' Конечно, кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) можно рассматривать как ряд Фурье по ортонормированной (в Ф-мерном кубе П) системе4'>, образованной с помоплью всевозможных произведений элементов одномерных тригонометрических систем, взятых от переменных хь хв, ..., хл соответствен. но. Эту ортонормнрованную систему принято называть кратной тригонометрической с и с те мой.
Как и для всякой ортонормированной системы, для кратной тригонометрической системы справедливо н е р а в е н с т в о В е с с е л я, которое имеет вид 0 0 Ц„~э ч~ (2и)-Я~ ... ~)э(х„..., хл)дх ... с(хл„ аз «л — о и (8.90) где ~(хь хт, ..., хл) — любая непрерывная в М-мерном кубе П функция. Рассмотрим вопрос о сходимости тригонометрического ряда Фурье. Если этот ряд не сходится в данной точке к= (х„ х„ ... ..., хл) абсолютно, то вопрос о его сходимости (в силу теоремы Римана 1.10) зависит от порядка следования его членов (илн„ что то же самое, от порядка суммирования по индексам пь п,, ..., пл).
Широко распространены два способа суммирования кратно. го тригонометрического ряда Фурье — сферический и прямоугольный. Сферическими частичными суммами кратного тригонометрического ряда Фурье (8.88) называются суммы вида во Прн этом скалярное произведение двух любых функций определяется как ннтеграл от произведения этих функций по кубу П. Гл. 8 Ряды Фурье 51(х, 1)= У 'Г„е — и* и>, !п)(ь взятые по всем целочисленным значениям пы пь ..., пн, удовлетворяющими условию )и) = 1 я~+па+ ° .. +пл ~Х.
!/ а 2 2 Говорят, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) суммируем в данной точке х сферическим методом, если в этой точке существует предел )нп оь(х, !). Х |й Прямоугольными частичными суммами крат. ного тригонометрического ряда Фурье (8.88) называются суммы вида — Нк и! г',е 5, „„,, (х, г)= ) л1 — пь Говорят, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) суммируем в данной точке х прямоугольным методом (или м етодом Прин сгеймааа)), если в этой точке существует предел 1'Ип 8 и и.
н(Х, Г) о ы~ и (при независимом стремлении к бесконечности каэкдого индекса ть та, ..., тн). Оба метода суммирования имеют свои преимущества и свои недостатки. При рассмотрении кратного тригонометрического ряда Фурье как ряда Фурье по ортонормированной системе ес. тественно располагать его члены в порядке возрастания )и! и иметь дело со сферическими частичными суммами. Прямоугольные частичные суммы применяются при исследовании поведения кратных степенных рядов около границы области сходимости.
Следует отметить, что определение суммы ряда как предела прямоугольных сумм (в противоположность определению, опирающемуся на предел сферических сумм) не на. кладывает никаких ограничений на бесконечное множество частичных сумм этого ряда. Прежде чем формулировать условия сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье, определим некоторые характеристики гладкости функции У переменных.
2. Модуль непрерывности и классы Гельдера для функции й) переменных. Пусть функция )ч' переменных 1(х) = =1(хь хы ..., хн) определена и непрерывна в Аг-мерной области В. мч Альфред Приисгейм — немецкий математик (1850 †1!). $6. Кратные тригонометрические рады Фурье О п р е д е л е н н е 1. Для каждого 6>0 назовем м о д у л е м непрерывности функции /(х) в области 0 точную верхнюю грань модуля разности (/(х') — /(х") ~ на множестве всех точек х' и х", которые принадлежат области 0 и расстояние р(х', х") между которыми меньше 6.
Будем обозначать модуль непрерывности функции /(х) в об ласти Р символом ьг(6, /). О п р е д е л е н н е 2. Для любого х из полусегмента 0<х~ 1 будем говорить, что функция /(х) принадлежит в области 0 клар.су Ге'льдера С" с показателем х, и писать /(х)ен енС" (О), если модуль непрерьгвности функции /(х) в области 0 имеет порядок го(х, /) =0(6"). Пусть теперь а — любое положительное число, не обяза« тельно целое. Это число мы всегда можем представить в виде а=г+х, где г — целое, а х принадлежит полусегменту 0<х к1.
Определение 3. Будем говорить, что функция /(х) принадлежит в области Р классу Г ел ь де р а С с показателем а>0, и писать /(х)~С"(О), если все частные производные функции /(х) порядка г непрерывны в области 0 и каждая частная производная порядка г принадлежит классу С" (0), введенному в определении 2. 3. Условия абсолютной сходнмостн кратного тригонометрического ряда Фурье.
Выясним условия абсолютной н равномерной сходнмостн кратного трнгонометрнческого ряда Фурье. Теорема 8.17. Если функция /(х) периодически (с периодом 2п по каждой из переменных) продолжена на все пространство Ен и обладает в Еи непрерывными производными порядка з=(Лг/2]+1, где [6//2) — целая часть числа Ж/2, то кратный тригонометрический ряд Фурье функции /(х) сходится (к этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве Ен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Договоримся обозначать символом а»/ '! — коэффициент Фурье производной з с номером и дх„'» у(„ и =(и!, пт, ..., пи).
Производя интегрирование по частям, полу. чнм ~ — ) =!па/„(для любого й=1, 2, ..., У), так что '! дхь, а ~~~~ ( — ) ~.= (Я(!пг! + !па!+ ... + !пн() и=! н, следовательно (/„( =(!пь1 + Щ + ... + (пн()-! ~~) ~ ~ — ) ~ (8.91) ь-! Гл. 8 Ряды Фурье Формула (8.91) справедлива не только для функции Г, но и для каждой частной производной функции у до порядка (8-1) включительно. Отсюда сразу же вытекает соотношение %'! 1/ У1 1<(1п 1+!и 1+... +1пм1) 7 ~~ дьл, 8~ е,+е+...+ем е и уи 1 (8.92) сумма в правой части которого берется по всем целым.неотрицательным зь зь ...,,зю удовлетворяющим условию 81+82+ +. +зь=з (так что число слагаемых в этой сумме равно Ь/4). Из (8.92) в свою очередь следует 424, что Й< — (1~~1+1~1+ .+1пм1) "+ (8/98) 4Ч Учитывая, что з=- — +е, где е=1 для четного 14! и е 1/2 2 для нечетного ее, и что (1п!1+1п21+...
+1п„1)" =(1п21+ 1и21+ ... +!и,1) — и — ' < 2в 2е 2в — ! —— — ! —— — 1 —— <1п,! 1пе! ... 1пм! из (8.93) получим !2е 2в 2е — ! —— — 1 —— — ! —— 2 ) ( 44 дЕР дЕ ) ! 14.94! е,+е,+... +ем е Для абсолютной и равномерной сходимости кратного триго. нометрического ряда Фурье (8.88) достаточно (в силу признака Вейерштрасса) доказать сходимость мажорирующего его числового ряда 1Ъ1 ие — и «и= — ы "> Мы иольеуемся неравенствами 1а! ° 1Ь|~ае/2+Ье/2 и (!а!1+ !ае!+...+ +1ае1)е~р(а!!+нее+., +и ), 337 4 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье но (в силу неравенства (8.94)) сходимость последнего ряда яв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
