В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть далее на некотором сегменте [а, Ь], имеющем длину, меньшую 2п, эта функция принадлежит классу Гельдера С с произвольным положительным показателем а (О< <а<1). Тогда для любого б из интервала 0<8<(Ь вЂ” а)/2 тригонометрический ряд Фурье функции [(х) сходится (к этой функции равномерно на сегменте [а+б, Ь вЂ” 8].
оказ а тельство. Построим функцию у(х), которая на сегменте [а, Ь] совпадает с [(х), на сегменте [Ь, а+2п] является линейной функцией вида Ах+В, обращающейся в у(Ь) при х=Ь "' Доказательство теоремы Лини †Липа«и и настроение только что указанного примера можно найти, например, в книге А. Зигмунда «Тригонометрические ряды. Т. !а (Мс Мир, !965. С. !08 н 477). Гл. 8 Ряды Фурье 324 и в /(а) при х =а+2лзз>, и которая периодически (с периодом 2л) продолжена с сегмента [а, а+2л) на всю прямую (на рис. 8.1 жирная линия изображает график функции /(х), а штриховая линия — график построенной по ней функции д(х)). Очевидно, что построенная нами функция 8'(х) удовлетворяет условию д( — л) д(л) и принадлежит классу Гельдера Са (с тем же положительным показателем а, что и /(х)) на всей пря- Рнс.
8.1 мой з41. В силу теоремы 8.13 и замечания 1 тригонометрический ряд Фурье функции я(х) сходится равномерно на всей числовой прямой, а поэтому в силу теоремы 8.11 тригонометрический ряд Фурье функции /(х) при любом 6 из интервала 0<6<(Ь вЂ” а)/2 сходится (к этой функции) равномерно на сегменте [а+б, Ь— — 6[. Теорема доказана. 3 а меч ание 4. Утверждение теоремы 8,14 остается справедливым и для сегмента [а, Ь[, имеющего длину, равную 2л (т. е. для случая Ь=а+2л, но в этом случае при доказательстве теоремы следует, фиксировав произвольное 6 из интервала О< <6<л, взять функцию д'(х) совпадающей с /(х) на сегменте [а+ +6/2, а+2л — 6/2[, линейной на сегменте [а+2л — б/2, а+2л+ +6/2[ и периодически (с периодом 2л) продолженной с сегмента [а+6/2, а+2л+6/2) на всю числовую прямую.
Если же сегмент [а, Ь) имеет длину, превосходяи(ую 2л, то из принадлежности /йх) классу Гельдера С" на этом сегменте и из условия периодичности /(х) (с периодом 2л) вытекает, что /(х) принадлежит еи Условие обращения функции Ах+В в /(Ь) при х=Ь н в /(а) при к= =а+2л однозначно определяет постоянные А и В: /(а) — /(Ь) (а+ 2л) /(Ь) — Ь/(а) а+ 2л — Ь а+ 2л — Ь еп достаточно учесть, что п(х) всюду непрерывна и что линейная функции имеет ограниченную производную и поэтому принадлежит классу Гельдера ьч' при любом а.а1.
э б. Более точные условия сходимости классу С на всей прямой, т. е. в этом случае мы приходим к теореме 8.13. 6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно гельдеровой функции. Определение 1. Будем называть функцию 1(х) кусочно гельдеровой на сегменте [а, Ь), если эта функция кусочно непрерывна на сегменте [а, Ь) и если этот сегмент при помощи конечного числа точек а=хс<х,<хт« ... х„=Ь разбивается на частичные сегменты [хь г, хь] (й =1, 2,...,п), на каждом из которых функция 1(х) принадлежит классу Гельдера С"а с некоторым положительным показателем аь (0<аь<1).
Лри этом при определении класса Гельдера на частичном сегменте [хь г, хь] в качестве значений функции на концах сегмента следует брать предельньге значения 1(х.— +О) и 1(х.— О) зз>. Иными словами, область задания всякой кусочно гельдеровой функции распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек сегментов, на каждом из которых эта функция принадлежит классу Гельдера с некоторым положительным показателем. Каждый из этих сегментов мы будем называть у ч а с т к о и г л а д к о с т и функции. Определение 2. Будем называть функцию 1(х) кусочно гладкой на сегменте [а, Ь), если эта функция кусочно непрерывна на сегменте [а, Ь] и имеет на эхом сегменте кусочно непрерьгвную производнуюзаг, т.
е. если функция 1(х) кусочно непрерывна на сегменте [а, Ь] и ее производная 1'(х) существует и непрерывки всюду на этом сегменте, за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция /'(х) имеет конечные правое и левое предельные значения. Ясно, что всякая кусочно гладкая на сегменте [а, Ь) функция является на этом сегменте кусочно гельдеровой, Т е о р е м а 8.!5. Лусхь кусочно гельдеровая на сегменте [ — п, и) функция 1(х) периодически (с периодом 2п) продолжена на всю прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции-/(х) сходится в каждой точке х ггрямой к значению 1(х) = [1(х+О) + +1(х — О)]/2, причем сходимость этого ряда является равномер- ео Как у всякой кусочно непрерывной функции, у кусочно гельдеровой функции значения в кагкдой точке ль обязаны быть равны полусумме правого и левого предельных значений в этой точке, т.
е, должно быть справедливо равенство 1 1(хь) = — [1(ха+О) +1(хь — ОЯ. 2 мо См. определение 1 из п. 2 $4. 326 Гл, 8 Ряды Фурье ной на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участка лладкости функции 7(х). Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы о равномерной сходнмости иа каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участка гладкости, сразу вытекает из теоремы 8.14. Отсюда же вытекает н сходимость тригонометрического ряда Фурье функции 7(х) в каждой внутренней точке участка гладкости функции )(х) "!. Остается доказать сходимость тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) в каждой точке соединения двух участков гладкости.
Фиксируем одну из таких точек и обозначим ее через х. Тогда найдутся постоянные М, и Ма такие, что при любом достаточно малом положительном ! будет справедливо неравенство 1!" (х+1) — 7(к+0)( <М !"' (Ос а < 1), (8.75) л при любом достаточно малом отрицательном ( — неравенство 17(х+ 1) — 7(х — О) ( «М, 111о* (О к. сс, ч, 1). (8 76) Обозначим через М наибольшее из чисел М, н Ма, а через а наименьшее из чисел а! и ах. Тогда при (1((1 в правой части каждого из неравенств (8.75) и (8.76) можно писать М(г1о.
Фиксируем теперь произвольное в)0 и по нему 6)0, удовлетворяющее неравенству (8.70) и настолько малое, что при )1( =6 справедливы оба неравенства (8,75) и (8.76) и в правой части этих неравенств можно брать число М~(!в. Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 8,13, мы придем к равенству (8.71), и для доказательства теоремы нам остается убедиться, что в фиксированной нами точке х справедливы оценки (8.72), (8.73) и (8.74). В замечании 2 п.
5 мы отметили, что оценки (8.73) и (8.74) справедливы для любой только кусочно непрерывной и периодической (с периодом 2п) функции. Остается доказать справедливость для всех номеров и оценки (8.72). Так как )(х) =1/211(х+О)+)(х — О)] ива> 1 / 1 / 1 ба!и (л+ — ! ба!Л~л+ ) ! оа!и ~л+ ) г — б 2эщ— 2 в 2яп— 2 2яп— 2 '"! Так как каждую внутреннюю точку участка гладкости можно охватить сегментом, лежащим внутри этого участка. зю Функция в!и ( л+ — ) !р(!) = 2 э!ив 2 З27 % б.
Более точные условия сходимости з|п (л+ — ) à — [[(х+!) — Р(х)[ 2 611= )1!~6 2 з(п— 2 6 61п (л+ ) ! = — [ [7(х+ !) — ~,(х+ О)[ с((+ и ) Ф о 2яп— 2 ! ~ о ип (л+ — )! ! + — ~ [7'(х+ !) — )'(х — О)! г(!. — 6 2 з)ив 2 (8.77) Для оценки интегралов, стоящих в правой части (8.77), воспользуемся неравенствами (8.75) и (8.76), беря в правой части этих неравенств число И[1[о. Учитывая уже применявшуюся при доказательстве теоремы 8.13 оценку < — (при [г! ч." я) 2(з(п — ~ и неравенство (8.70), будем иметь з!и (я+в — [!" (х+ !) — )'(х)[ с(! ~ < )Г!<6 2 з(п— 2 6 а М ~~!а — 1 ~(+ ~ )(~а — 1 ((~ М бак е о — 6 Оценка (8.72), а с ней и теорема доказаны.
') 1Р(!)Ж= о является ч е т н о й, поэтому легко убедиться, что для нее о = ) ф (Г) и! (достаточно в одном из этих интегралов сделать -6 Следовательно, замену ! — — — с). 6 6 о [ 1р(Г)Зà —.2 ~1р(!)Ш=-2 ~ ф(Г)оч — 6 о — 6 то интеграл, стоящий в левой части (8.72), можно переписать так: зза Гл. а Ряды Фурье Следствие 1. Утверждение теоремы 8.15 будет тем более справедливо, если в ее формулировке вместо кусочно гельдеровой взять кусочно гладкую (на сегменте [ — п, и)) функцию, периодически (с периодом 2п) продолженную на всю прямую, Для формулировки еще одного следствия введем новое понятие, Пусть 0(а -'1. Определение 3. Будем говорить, что функция 1(х) Удое лет в о ря ет в данной точке х справа (слева) уел ов и ю Г ель де р а порядка а, если функция 11х) имеет в точке х правое (левое) предельное значение и если существует такая постоянная М, что для всех достаточно малых положительных (отрицательных) 1 справедливо неравенство (((х+О ((х+О)) М ( )1(х+0 Г(х — Ои М) (ч (цч Очевидно, что если функция 1(х) имеет в данной точке х правую (левую) производную, понимаемую как предел ((х+ Π— ((х+О); (' 1.
((х+ 0 — г(х — О) ) » о+о ( ~~ о — о то функция 1(х) заведомо удовлетворяет в этой точке х справа (слева) условию Гельдера любого порядка а(1. Следствие 2 (условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке). Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной и периодической (с периодом 2п) функции ((х) сходился в данной точке х числовой прямой достаточно, чтобы функция 1(х) удовлетворяла в точке х справа условию Гельдера какого-либо положительного порядка а, и в точке х слева условию Гельдера какого-либо положительного порядка ая (и тем более достаточно, чтобы функция 1(х) имела в точке х правую и левую производные).
Доказательство. Достаточно заметить, что из того, что функция )(х) удовлетворяет в точке х справа (слева) условию Гельдера порядка а1 (порядка ах), вытекает существование постоянной М1 (постоянной Мя) такой, что для всех достаточно малых положительных (отрицательных) ( справедливо неравенство (8.75) (неравенство (8.76)). Так как доказательство теоремы 8.15 использует лишь неравенства (8.75) и (8.76) и кусочную непрерывность и периодичность 1(х), то утверждение следствия 2 верно. П ример. Не вычисляя коэффициентов Фурье функции соз х при — и ч» х е 0; 7(х)= 1/2 при к=О )Гх при О < х < и, 9 5. Более точные условия скодимости 329 можно утверждать, что тригонометрический ряд Фурье этой 1 функции сходится в точке х=О к значению —, так как функция 2 1(х) имеет в этой точке левую производную и удовлетворяет в 1 этой точке справа условию Гельдера порядка а,= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
