В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Подчеркнем, что часто нет необходимости знать спектр д(Л) для всех частот Л, да и приборы улавливают спектр только в некотором диапазоне частот 1Л~~а. (Например, человеческое ухо улавливает сигнал в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц.) Поэтому будем считать, что сигнал 1(х) (х — время, — ее<х< <сс) имеет финитный спектр, отличный от нуля лишь для частот и В. А. Котельииков (род, в 1908 г.) — советский академик, специалист в теории радиасвязи. 352 Гл. 9. Преобразование Фурье Л при (Л) ~а. Таким образом, при )Ц)а имеем д(Л) =О. Следо- вательно, О и г(х) = 1 Г а(Л)е — ""*дЛ= — С д(Л)е — ц»дЛ.
2л а 2и .Я Ф -а разложим на сегменте ~ — а, а) функцию й(Л) в Ряд фурье: з — "ьь с (Л) = ~т Й„е ' (9.14). Учитывая (9.14), получим А, = — ~ д(Л)е дЛ= — "Г ~ — — "й). 2а а а — а (9.15) Подставляя эти коэффициенты в ряд для я(Л), а затем д(Л) — в. интеграл (9,14), будем иметь а 1()= —,' 1 — О 1 2а ь= — ю Таким образом, доказана следующая Теорема 9.2 (теорема Котельникова).
Для сигнала 1(х) с. тринитным спектром д(Л) справедливо соотношение з1и и ~» — — й) ~()= ~; ~~ — "й) и (» — — Й) Теорема 9.2 показывает, что сигнал, описываемый функцией 1(х) с финитным спектром д(Л), сосредоточенным в полосе частот. 1Л! ~а, восстанавливается лишь по отсчетным значениям 1 ( — Й),. 1 а передаваемым через равные промежутки времени и/а. 5 3. КРАТНЫИ ИНТЕГРАЛ ФУРЪЕ Здесь мы дадим лишь самые начальные понятия о кратном ин теграле Фурье. Пусть функция А1 переменных )(х)=~(хь хз, .... ..., х»), У~2, такова, что существует несобственный интеграл 353 й 3. Кратный интеграл Фурье ~...$7(хы х„..., хи)г(х,г)ха...
г(хи. аи Назовем преобразованием (образом) Фурье такой чрункции )(х) величину д(Л)=х(Лы Л, ..., Ли)=~...~га(хы х ... хи) екаыг(хатха ... дхи, ли где (х, Л) означает скалярное произведение векторов х= (хь хм ... ..., хи) и Л=(Ль Лм, Ли), т. е. (х, Л) =5' хуЛо С'-1 Точно так же, как в $ 1, можно показать, что д(Л) является непрерывной функцией Л в Е" и стремится к нулю при ~Л)= н ~~~, Л~) -ь О.
Предел 1пп 1„,1а(Лы Л„..., Ли)е-н" > Ю,ДЛ,... дЛи прн условии, что он существует, называется р а 3 л о ж е н и е и арункции 1(х) в Лг-кратный интеграл Фурье. С помощью перехода к пределу получается (так же, как в случае одной пе. ременной х) формула обращения Р(х) = ' Г ('~(Л),-«оьм,(Л (йя) ) где х=(х„х„..., хи), Л=(Л, Л, ..., Ли). ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 6 1. Понятие числового ряда 1. Сходящиеся и расходящиеся ряды (7). 2. Критерий Коши сходи- мости ряда (1О) $2. Ряды с неотрицательными членами . 1.
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами (12). 2. Признаки сравнения (13). 3. Признаки Датамбера и Коши (16). 4. Интегральный признак Коши — Маклорена (21). 5, Признак Раабе (24). 6, Отсутствие универсального ряда сравнения (27) $3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды 1. Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов (28).
2. О перестановке членов условно сходящегося ряда (30). 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (33) 6 4. Признаки сходимости произвольных рядов . 6 5. Арифметические операции над сходящимися рядами 4 б. Бесконечные произведения 1. Основные понятия (44). 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов (47). 3„ Разложение функции з)п х в бесконечное произведение (5!) $ 7.
Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов 1. Метод Чезаро (метод средних арифметических) (56). 2. Метод суммирования Пуассона — Абеля (57) 3 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов 28 35 41 44 59 ГЛАВА 2, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 67 6 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве 1. Понятна функциональной последовательности и фуннционального ряда (67). 2. Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке и на множестве (69). 3 Равномерная сходимость на множестве (70).
4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда) (72) 6 2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов . . . . . . , . . . 74 6 3. Почленный переход к пределу . . . . . . . . . . . 83 $ 4.
Почленное интегрирование н почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . 87 1. Почленное интегрирование (87). 2. Почленное дифференцирование (90). 3. Сходнмость в среднем (94) $ 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций . . . 97 $6. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . 102 1. Степенной ряд и область его сходимости (102). 2. Непрерывность суммы степенного ряда (105). 3.
Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда (105) з 7. Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . . . 107 1. Разложение функции в степенной ряд (107). 2. Разложение некоторых злементарных функций в ряд Тейлора (108) 3. Элементарные представления о функциях комплексной переменной (110). 4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочлеиами (112) ГЛАВА 3. ДВОЙНЫЕ И и-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЪ| 117 $ !.
Определение и условия существования двойного интеграла , 1. Определение двойного интеграла для прямоугольника (1!7). 2 Условия существования двойного интеграла для прямоугольника (119) 3 Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области (!21). 4. Общее определение двойного интеграла (123) $ 2. Основные свойства двойного интеграла 9 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному 1.
Случай прямоугольника (129). 2. Случай произвольной области (130) $4. Тройные и и-кратные интегралы $ 5. Замена переменных в и-кратном интеграле . $6. Вычисление объемов п-мерных тел $ 7. Теорема о почлениом интегрировании функциональных последовательностей и рядов $ 8. Кратные несобственные интегралы 1. Понятие кратных несобственных интегралов (159).
2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций (160). 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций (161). 4. Главное значение кратных несобственных интегралов (165) 117 127 129 133 138 152 !57 159 ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 167 ГЛАВА 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 175 $ 1. Понятия поверхности и ее площади , . . . . . . . . 175 1. Понятие поверхности (175), 2. Вспомогательные леммы (179). 3. Плошадь поверхности (181) 9 2. Поверхностные интегралы........., .. 185 ГЛАВА 6.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА................ 190 $ !. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты линейного оператора 1. Обозначения (190). 2. Биортогональные базисы в пространстве Е" (191) 3. Преобразовании базисов. Ковариантные и контрвариаатные координаты вектора (192). 4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор (195). 5. Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора в ортонормированном базисе (198) $ 2. Скалярные и векторные поля.
Дифференциальные операторы векторного анализа 1. Скалярные и векторные поля (!98). 2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля (203). 3. Некоторые другие формулы векторного анализа (204). 4. Заключительные замечания (206) 9 3. Основные интегральные формулы анализа 1. Формула Грина (207), 2. Формула Остроградского — Гаусса (211). 3. Формула Стокса (214) в 4.
Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования $ 5. Некоторые примеры приложений теории поля 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл (222). 2. Выражение объема через поверхностный интеграл (223) Дополнение к главе 6. Дифференциальные формы в евклидовом про. странстве 198 207 218 222 225 $ 1. Понятия криволинейных интегралов первого и второго рода .
. . 167 $ 2. Условия существования криволинейных интегралов . . . . . 169 ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 252 й 1. Рзвномерное по одной переменной стремление функции двух переменных к пределу по другой переменной . . . . . . . . 252 1. Связь равномерного по одной переменной стремления функции двух переменных к пределу по другой переменной с равномерной сходимостью функциональной последовательности (252). 2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной (254). 3.
Применения понятия равномерного стремления к предельной функции (254) 9 2. Собственные интегралы, зависящие от параметра, . . . . . 256 !. Свойства интеграла, зависящего от параметра (256). 2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра (257) 3 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . 259 1. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра (260). 2.
Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра (266) 9 4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычис. пению некоторых несобственных интегралов,..., .. 267 6 5. Интегралы Эйлера.............. 271 1. Г-функция (2721. 2. В-функция (275). 3. Связь между эйлеровыми интегралами (277). 4. Примеры (279) й 6. Формула Стирлинга..............
280 3 7. Кратные интегралы, зависящие от параметров....., . 282 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров (282). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра (283) 287 ГЛАВА 8, РЯДЫ ФУРЬЕ 287 6 1. Ортонормированные системы и общие ряды Фурье 1 Ортонормированные системы (287).
2. Понятие об общем ряде Фурье (292) 6 2. Замкнутые и полные ортонормврованные системы 6 3, Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее !. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами (298). 2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы (301). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
