В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для того. чтобы тригонометрический ряд Фурье функции у(х) при любом положительном 6, меньшем (Ь вЂ” а))2, сходился (к этой функции) $ 5. Более точные условия сходимости з1в равномерно на сегменте [а+6, Ь вЂ” 6], достаточно, чтобы существовала кусочно непрерывная на сегменте [ — и, и] и периодическая (с периодом 2п) функция д(х), обладающая равномерно сходящимся на сегменте [а, Ь] тригонометрическим рядом Фурье и совпидающая на сегменте [а, Ь] с функцией [(х).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя лемму Римана к разности [[(х) — д'(х)], получим, что тригонометрический ряд Фурье разности [1(х) — у(х)] при любом 6 нз интервала 0<6< (Ь вЂ” а)12 сходится к нулю равномерно на сегменте [а+6, Ь вЂ” 6], а отсюда и из равномерной на сегменте [а, Ь] сходимости тригонометрического ряда Фурье функции д(х) вытекает равномерная на сегменте [а+6, Ь вЂ” 6] сходимость тригономе'рического ряда Фурье функции [(х). Тот факт, что последний ряд сходится на сегменте [а-е6, Ь вЂ” 6] именно к функции 1" (х), непосредственно вытекает из следствия 5 п. 3 $3. Теорема доказана.
Те о р ем а 8.12. Пусть функция [(х) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и] и периодически Гс периодом 2п) продолжена на всю прямую, и пусть хе — некоторая точка прямой. Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье функции [(х) сходился в точке х„достаточно, чтобы существовала кусочно непрерывная на сегменте [ — и, и] и периодическая (с периодом 2п) функция д(х), обладающая сходящимся в точке хе тригонометрическим рядом Фурье и совпадающая с [(х) в как угодно малой Ь-окрестности точки хе.
Доказательство. Достаточно применить лемму Римана к разности [1(х) — д(х)] по сегменту [хе — 6/2, хе+6/2] и учесть что нз сходимости в точке х, тригонометрических рядов функций [[(х)— — д(х)] и й(х) вытекает сходимость в этой точке и тригонометрического ряда Фурье функции [(х). Теорема доказана. Теорема 8.12 не устанавливает конкретного вида условий, обеспечивающих сходимость тригонометрического ряда Фурье функции [(х) в точке х,. Она лишь доказывает, что эти условия определяются только поведением 1(х) в как угодно малой окрестности точки х, (т. е. имеют локальньсй характер).
5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гйльдера. В этом и в следующем пункте мы уточним условия, обеспечивающие равномерную сходимость и сходимость в данной точке х, тригонометрического ряда Фурье. Те о р е м а 8.13. Если функция [(х) принадлежит на сегменте [ — и, и] классу Гельдера С с каким угодно положительнылс показателем а (0<а(1) и если, кроме того, 1( — и) =1(п), то тригонометрический ряд Фурье функции [(х) сходится (к этой функции) равномерно на сегменте [ — и, и].
Доказательство. Как обычно, будем считать, что функция 1(х) периодически (с периодом 2п) продолжена на всю числовую прямую. Условие 1( — и) =1(п) обеспечивает прннадлеж- Гл. 8 Ряды Фурье 320 ность так продолженной функции классу Гельдера Св на всей числовой прямой. Пусть х — любая точка сегмента [ — и, и[. Умножая обе части равенства (8.56) на [(х) и вычитая полученное при этом равенство из (8.55), получим равенство ! 1 и з!п [л+ — [ ! Я„(х, /) — ~(х) = — ~ [~(х+ !) — /(х)[ 1((.
(8.68) и 2 з!и— 2 Из условия принадлежности !(х) классу Гельдера Со вытекает существование постоянной М такой, что [)(х+!) — [(х) [ <М[1[" (8.69) во всяком случае для всех х и всех ! из сегмента [ — и, тс[, Фиксируем произвольное в>0 и по нему б)0, удовлетворяющее неравенству — б ч'1— М а в а 3 (8.70) Разбивая сегмент [ — я, и) на сумму отрезка [![ <б и множества бз [![(н, придадим равенству (8.68) следующий вид: з!П(п+ — ) ! о„(х, /) — /(х) = — 1 [/(х+ !) — /(х)] с(!+ (![<а 2 ми 2 (8 71) з!и (л+ — ) ! з!п (и+— и а<ю<я 2 з!и— е<!П<я 2 з!и— и1 Указанное неравенство сразу вытекает нз того, что функция (Мп х)/хирн з!и х изменении х от 0 до и/2 убывает от ! до 2/и.
Факт убывания функции х ( Мпх 1' созх в свою очередь вытекает нз того, что ( — ! =- — (х — !2 х) < 0 всюду х / кз при 0<х<и/2, так как х<!нх при 0<х<и/2 (см. гл. 4 ч. 1). Для оценки первого интеграла в правой части (8.71) воспользуемся неравенством (8.69) и учтем, что 1 и 2~я!и — ! для всех ( из сегмента [ — и, и) з'>. Таким образом, для любого Э о. Более точные условия сходимости номера л и любого х из сегмента [ — я, и] получим 51П(Л+ ) 1 ~ ~ [[(х+() — ](х)] ' и~< м<ь 251п— 1 51п [ л+ — 11 ! ( —,)~ 111<ь 2] 51П— 2 .1 3 а 1П<ь о Отсюда на основании (8.70) для любого номера л и любого х из сегмента [ — и, и] будем иметь оценку яп (л+ — ) 1 — [~(х+ 1) — ~(х)] с(1 ~ 5„—.
(8.72) 111<5 25!П 2 Второй нз интегралов в правой части (8.71) с помощью кусочно непрерывной на сегменте [ — и, я] функции (8.67) записывается в виде яп(л+ — )1 — 1( +1) ж5Кк 2 51п— 2 к = — ~ 7(х+ 1) я'(1) 51п ~ (и + — ) 11'111. -л 1 ]' 51П (л+ ) 1 — Г(х+1) ' 5(1[< — ' 1 1 3 5<[51«к 2ип— 2 (8.73) для всех пъЖ1 и всех х из сегмента [ — я, я]. В силу следствия 4 п.
3 правая часть последнего равенства при и — 5-оо сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте [ — я, и]. Поэтому для фиксированного нами а)0 найдется номер )т'1 такой, что Гл. 8 Ряды Фурье 322 Лля оценки последнего интеграла в правой части (8.71) заметим, что с помощью кусочно непрерывной функции (8.67) этот интеграл записывается в виде 5!П (Л+ ) ! — а1 = "1 ~ д(1) з!п [ (и -1- — ) 1] !(1.
е(!!!(я 2 5!и— — я Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, при п-+- со сходится к нулю в силу все того же следствия 4 п. 3 (достаточно применить это следствие к функции 1(х) = — 1). Учитывая также, что функция [(х) во всяком случае ограничена на сегменте [ — я, и], получим, что для фиксированного нами произвольного е)0 найдется номер Л!, такой, что 1 1!х! ~ ( 2 / ! ~ е е<!!!<я 2 я!и— (8.74) для всех и ь:!!!я и всех точек х из сегмента [ — и, и].
Обозначив через !!! наибольший из двух номеров 1х'! и Жя, в силу (8.71) — (8.74) получим, что для фиксированного нами произвольного а)0 найдется номер М такой, что ]8 (х, И вЂ” [(~)]< для всех п)Ж и всех к из сегмента [ — и, и]. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, что в условиях теоремы 8.13 тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно не только на сегменте [ — и, и], но и на всей прямой (к функции, являющейся периодическим (с периодом 2п) продолжением функции [(х) на всю прямую).
3 а м еч а ни е 2. Отметим, что при оценке интегралов (8.73) и (8,74) мы использовали лишь кусочную непрерывность (и вытекающую из нее ограниченность) функции [(х) на сегменте [ — я, и] (принадлежность [(х) классу Гельдера С' при оценке этих интегралов не использовалась). 3 а м е ч а н и е 3. Естественно возникает вопрос о том, можно ли в теореме 8.13 ослабить требование гладкости на функцию [(х), сохраняя утверждение этой теоремы о равномерной на сегменте ] — я, и] сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции.
Напомним, что принадлежность [(х) на сегменте [ — и, и] классу Гельдера С' по определению означает, что модуль непрерывности )(х) на этом сегменте имеет порядок е!(б, !) =О(б') $ 5. Более точные условия сходимости Отметим без доказательства так называемую т е о р е м у Дини — Липшица: Для равномерной на сегменте [ — и, и] сходимости тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла условию [( — и) =[(и) и чтобы ее модуль непрерывности на сегменте [ — и, и] имел порядок от (х, 1) = о ( т. е. является при б -0 бесконечно малой величиной более вы- 1 сокого порядка, чем (п (!/б) Теорема Дини — Липшица содержит окончательное (в терминах модуля непрерывности функции) условие равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье функции, так как можно построить функцию 1(х), удовлетворяющую условию 1( — и) =[(и) с модулем непрерывности, имеющим на сегменте 1 [ — и, и] порядок О 1 ) и с тригонометрическим рядом ( 1п(1(б) Фурье, расходящимся на множестве точек, всюду плотном на сегменте [ — и, и] зз!.
В условиях теоремы 8АЗ после периодического (с периодом 2п) продолжения функция [(х) оказалась принадлежащей классу Гельдера С' на всей числовой прямой. Естественно возникает вопрос о поведении тригонометрического ряда Фурье функции 1(х), принадлежащей классу Гельдера С" только на некотором сегменте [а, Ь], а всюду вне этого сегмента удовлетворяющей лишь обычному требованию кусочной непрерывности. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорем а 8.14. Пусть функция 1(х) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и] и периодически (с периодом 2п) продолжена на всю числовую прямую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
