В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для любого элемента 1" данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы (ерь) справедливо следующее неравенство: (8. 18) называемое неравенством Б е с с ел я. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неотрицательности левой части (8.!7) следует, что для любого номера и (8.19) Но это означает, что ряд из неотрицательных членов, стоящий в левой части (8.18), обладает ограниченной последовательностью частичных сумм и поэтому сходится.
Переходя в неравенстве (8.19) к пределу при и- со (см. теорему 3.13 ч. 1), получим неравенство (8.18). Теорема доказана. В качестве примера обратимся к пространству 1(е всех кусочно непрерывных на сегменте — я~»~я функций и в этом пространстве к ряду Фурье по тригонометрической системе (8.10) (этот ряд принято называть тр иг оно метр ичее к им р ядом Фурье). Для любой кусочно непрерывной на сегменте ( — я, я1 функции 1(х) указанный ряд Фурье имеет вид Ю )т2а ~.( ( Кй р' и я-1 где коэффициенты Фурье Д„и Гь определяются формулами (8.20) 7,= —, ~~(»)созйхйх; ~,== ~ ~(х)з1пАхЙх (Й=1, 2, ...).
уа и Л Неравенство Бесселя, справедливое для любой кусочно непрерывной на сегменте ( — и, п) функции 7(х), имеет вид О Л Ге + 2'., (1ь + Гь) ~( ) 7 (») '1». 29% 4 2. Замкнутые н полные ортонормиронвниые системы ~ + ~ (ае соз йх + Ье и! и йх), е ! (8.20''р где и.=== — 1~(х)( ! 2!'о 1 Р2и и ае = = = — ~~(х) соз ахах; 1е ! суй и Ье — — — — — ~ у (х) з! и йх!(х 6 1 уй и (й = 1, 2, ...). (8.23)! При такой форме записи неравенство Бесселя (8.21) принимает вид + ~~ч ~(от + Ье) < — ! 1е (х) т(х. (8.21') и ! -и Замечание.
Из неравенства Бесселя (8.21') вытекает, что для любой кусочно непрерывной на сегменте ! — л, тт) функции 1(х) величины ае и Ье (называемые тригонометрическими коэффициентами Фурье функции !(х)) стремятсякнулю при и-е.оо (в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части (8.21') ). 5 2. ЗАМКНУТЫЕ И ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать произвольную ортонормированную систему (фе) в каком угодно бескоиечномерном евклидовом пространстве )с Отклонение 1(х) от й(х),по норме в этом случае равно так называемому среднему квадратичному отклонению и — а! = У' 1!! !е — а (ег ш.
Отметим, что в теории тригонометрических рядов Фурье принята несколько иная форма записи как самого ряда Фурье (8.20), так и неравенства Бесселя (8.21), а именно: тригонометрический ряд Фурье (8.20) обычно записывают в виде 296 Гл. 6 Ряды Фурье Определение 1, Ортонормированная система (фе) называется замкнуто й, если для любого элемента 1 данного евклидова пространства К и для любого положительного числа е найдется такая линейная комбинация (8.14) конечного числа элементов (фь), отклонение которой от ( (по норме пространства 1с) мень.!не е. Иными словами, система (з1!е) !называется замкнутой, если любой элемент ( данного евклидова пространства К можно приблизить по норме этого пространства с любой степенью точности линейными комбинациями конечного числа элементов (тре). 3 а м еч а н и е 1.
Мы опускаем вопрос о том, во всяком ли евклидовом пространстве существуют замкнутые ортонормированные системы. Отметим, что в части 3 будет изучен важный подкласс евклидовых пространств — так называемые г и л ьб е р т он ы пространства — и будет установлено существование г, каждом таком пространстве замкнутых ортонормированных систем. Теорема 8.3. Если ортонормированная система (фь) является замкнутой, то для любого элемента р рассматриваемого евклидова пространства неравенство Бесселя (8.18) переходит в точное равенство (8.24) а-! называемое равенством П ар се валяя!. Д о к а з а те л ьс т в о. Фиксируем произвольный элемент рассматриваемого евклидова пространства и произвольное положительное число е.
Так как система (фе) является замкнутой, то найдется такой номер и и такие числа С!, Ст,..., С„ что квадрат нормы, стоящий в правой части (8.16), будет меньше е. В силу (8.16) это означает, что для произвольного е)0 найдется номер п, для которого И* ~" ~т<е, е=! Для всех номеров, превосходящих указанный номер п, неравенство (8.25) будет тем более справедливо, так как при возрастании и сумма, стоящая в левой части (8.25), может только возрасти.
Итак, мы доказали, что для произвольного е)0 найдется номер и, начиная с которого справедливо неравенство (8.25). В соединении с неравенством (8.19) это означает, что ряд 1аз сходитсЯ к сУмме Ц!Р. ТеоРема доказана. е ! '! М. А. Парсевадь — французский математик (1766 — 1836). 5 2.
Эемкнутые н полные ортонормнроеанные снстемы Те о р е м а 8.4. Если ортонормированная система (тр») является замкнутой, то, каков бы ни был элемент (, ряд Фурье этого элемента сходится к нему по норме рассматриваемого евклидова пространства, т. е. е 1пп !)~' ~»тр» — ~ (! =О. (8.26) Доказательство.
Утверждение этой теоремы непосредственно вытекает из равенства (8.17) и из предыдущей теоремы. 3 а меч ание 2. В пространстве всех кусочно непрерывных на сегменте (-и, и) функций сходнмость по норме (8.26) переходит в сходимость на этом сегменте в среднем (см. п. 3 5 4 гл. 2). Таким образом, если будет доказана замкнутость тригонометрической системы (8.10), то теорема 8.4 будет утверждать, что для любой кусочно непрерывной на сегменте ( — и, и] функции 1(х) тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится к ней на ука. ванном сегменте в среднем. Определение 2. Ортонормированная система (ф») называется п о л и о й, если, кроме нулевого элемента, не существует никакого другого элемента ( данного евклидова пространства, который был бы ортогоналеи ко всем элементам тр» системы (т»).
Иными словами, система (тр») называется полной, если всякий элемент Г, ортогональный ко всем элементам ф» системы (тр»), является нулевым элементом. Те о р е м а 8.5. Всякая замкнутая ортонормированная система (тр») является полной. Д о к аз а те льет во. Пусть система (ф») является замкнутой, и пусть 1 — любой элемент данного евклидова пространства, ортогональный ко всем элементам тр» системы (ф»). Тогда все коэффициенты Фурье (» элемента 1 по системе (ф») равны нулю, и, стало быть, в силу равенства Парсеваля (8.24) и ~Я=О.
Последнее равенство (в силу свойства 1' нормы) означает, что ( — нулевой элемент. Теорема доказана. 3 а меч ание 3. Мы доказали, что в произвольном евклидовом пространстве из замкнутости ортонормированной системы вытекает ее полнота. Отметим без доказательства, что в произвольном евклндовом пространстве из полноты ортонормированной системы, вообще говоря, не вытекает замкнутость этой системы. В ч. 3 будет доказано, что для гильбертовых пространств полнота ортонормированной системы эквивалентна ее замкнутости.
Теорема 8.6. Для всякой полной (и тем более для всякой замкнутой) ортонормироваииой системы (ф») два различных элемента ( и д рассматриваемого евклидова пространства ие могут иметь одинаковые ряды Фурье. ы з.»н Гл. 3 Ряды Фурье Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы все коэффициенты Фурье элементов 1 и д совпадали, то все коэффициенты Фурье разности (1 — д) были бы равны нулю, т. е. разность (1 — д) была бы ортогональна ко всем элементам фь полной системы (фа). Но это означало бы, что разность (1 — д) является нулевым элементом, т. е означало бы совпадение элементов 1 и д. Теорема доказана.
На этом мы заканчиваем рассмотрение общего ряда Фурье 'по произвольной ортонормированной системе в любом евклидовом пространстве К. Наша очередная цель — детальное изучение ряда Фурье по тригонометрической системе (8.10). й 3. ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОИ СИСТЕМЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ 1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами.
В этом параграфе будет установлена замкнутость (а следовательно, и полнота) тригонометрической системы (8.10) в пространстве всех кусочно непрерывных на сегменте 1 — л, и) функций. Но прежде чем приступить к доказательству замкнутости тригонометрической системы, установим важную теорему о равномерном приближении непрерывной функции так называемыми тригонометрическими многочленами. Будем называть тригонометрическим м но го членом произвольную линейную комбинацию любого конечного числа элементов тригонометрической системы (8.10), т.
е. выражение вида л Т(х)-Са+ (С„созйх+ С з!пйх), а=1 где и — любой номер, а Сы Сл и Сл (й=1, 2,...,п) — произвольные постоянные вещественные числа. Отметим два совершенно элементарных утве'ржде ни я; 1'. Если Р(х) — какой угодно алгебраический многочлен произвольной степени п, то Р(созх) и Р(з(пх) — тригонометрические лсногочлены. 2'. Если Т(х) — тригонометрический многочлен, то каждое из выражений (Т(х)з!пх| и (Т(х)з)пах] также представляет собой тригонометрический многочлен, Оба утверждения вытекают из того, что произведение двух (а поэтому и любого конечного числа) тригонометрических функций т> от аргумента х приводится к линейной комбинации конечного числа тригонометрических функций от аргументов типа нх (убедитесь в этом сами).
'1 Под тригонометрическими функциями и данном случае понимаются косинус или синус. й 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия ва нее 299 В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет понятие периодической функции. Определение. Функция 1(х) называется периодичес к о й функцией с периодом Т, если: 1) )(х) определена для всех вещественных х; 2) для любого вещественного х справедливо ра.
венство )(х+Т) =)(х). Это равенство обычно называют условием периодичности. К рассмотрению периодических функций приводит изучение различных колебательных процессов. Заметим, что все элементы тригонометрической системы (8.10) являются периодическими функциями с периодом 2п. Теорема 8 7 (теорема Вейерштрасса). Если функция ) (х) непрерывна на сегменте [ — и, я] и удовлетворяет условию )( — я) =Г(я), то эту функцию можно равномерно на указанном сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, т. е. для этой функции 1(х) и для любого положительного числа е найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что сразу для всех х из сегмента 1 — и, аг) справедливо неравенство Ц(х) — Т(х) ~ «а. (8.27) Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на два этапа.
1) Сначала дополнительно предположим, что функция )(х) является четной, т. е. для любого х из сегмента ( — я, я) удовлетворяет условию 1( — х) =)(х). В силу теоремы о непрерывности сложной функции у=7(х), где х=агссоз 1 (см, $ 1 тл. 4 ч, 1) функция Р(1) =)(агссоз |) является непрерывной функцией аргумента 1 на сегменте — 1(М«+1.
Следовательно, по теореме Вейврштрасса для алгебраических многочленов (см. теорему 2.18) для любого е)0 найдется алгебраический многочлен РЯ такой, что ~)(агссозг) — РЯ ~«е сразу для всех 1 из сегмента — 1(1«1. Положив с=сов х, мы получим Ц(х) — Р(созх) ((з сразу для всех х из сегмента 0«х«я, Так как обе функции )(х) и Р(созх) являются четными, то неравенство (8.28) справедливо и для всех х из сегмента — п(х«0. Таким образом, неравенство (8.28) справедливо для всех х из сегмента — тг(х«я, и поскольку (в силу указан~ного выше утверждения 1') Р(сов х) является тригонометрическим многочленом, то для четной функции 1(х) теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
