В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Даа лее, заметим, что так как 1(х) кусочно непрерывна на (а, Ь], то весь сегмент (а, Ь] распадается иа конечное число сегментов '(х~ ь х;], 1на каждом из котоРых фУнкциЯ 1(х) непРеРывна пРи условии, что в качестве значений 1(х) на концах соответствующего сегмента (х; ь х,] беРУтсЯ 1(х; 1+0) и 1(хь — 0). Из Равенства ь ] (а (х) йх = 0 а вытекает, что длЯ каждого сегмента (х; ь х;й к~ справедливо равенство ] Га(х)дх=О. к.
~ — 1 Из этого равенства и из непрерывности 1(х) на сегменте (х; ы х;] вытекает, что на этом сегменте 1(х) =О. В частности, 1(х; ~+ +0) и 1(х,— 0) равны нулю. Так как эти рассуждения справедливы для любого сегмента (х,, х,], т. е. для всех 1=1, 2,...,л, то правый и левый пределы в любой точке х; равны нулю, а отсюда в силу соотношения (8.2) и само значение 1(х;) в любой точке х; равно.
Итак, функция 1(х) равна нулю во всех точках сегмента '(а, Ь], т. е. является нулевым элементом линейного пространства всех кусочно непрерывных на сегменте (а, Ь] функций. о т. е, в каждой точке разрыва х, у функции 1(х) существует конечный левый н конечный правый пределы. $ !. Ортонормироваиные системы н общие ряды Фурье 289 Тем самым мы доказали, что пространство всех кусочно непрерывных на сегменте (а, Ь) функций с условием (8.2) в каждой точке разрьгва и со скалярньгм произведением, определяемьгм соотношением (8.1), является евклидовым пространством.
Это евклидова пространство мы н дальнейшем будем обозначать символом 1(з Напомним теперь два общих свойства любого евклидова пространства, которыми, естественно, будет обладать и пространство мз. 1) во всяколг евклидоволг пространстве для'любых двух элементов ) и д справедливо неравенство (8.3) (1 и) ~У 1)(в и) называемое неравенством Коши — Буняковскогоз>; 2) во всяком евклидовом пространстве для любого элемента 1 этого пространства можно ввести понятие нормьа этого элемента, определив ее как число, обозначаемое символом )!)')! и определяемое равенством (8.4) ))и=~ ( л, так что будут справедливы следующие три свойства: 1'. !)1)!)О, причем )!1!)=0 лишь тогда, когда 1 — нулевой элемент; 2'.
))Ц!1= )Ц )!()! для любого элемента ) и любого вещественного Х; 3'. И+у)1~9!!+)!й)), (8.5) для любьсх двух элементов 1' и д (это неравенство называется и еравенством треугольника). В самом деле, справедливость свойства 1' сразу же вытекает из (8.4) и из аксиомы 4' скалярного произведения. Для обоснования свойства 2' заметим, что в силу (8.4) и аксиом скалярного произведения Наконец, справедливость свойства 3' вытекает из (8.4), из аксиом скалярного произведения и из неравенства Коши — Буняковского (8.3).
Действительно, з' Для доказательства неравенства (8.3) заметим, что для любого вещественного ь а силу аксиомы 4* скалярного произведения справедливо неравенство (Ц вЂ” к, Ц вЂ” г)ыо, которое в силу аксиом 1' — 4' эквивалентно неравенству а'(1 1) — 2д(1 Е)+(г г)ъо. Необходимым и достаточным условием неотрииа. тельности квадратного трехчлена, стоящего в левой части последнего неравенства, является неположительность его дискримииаита, т. е. неравенство () 8)з †(1, Д (г, Е)ко, которое эквивалентно неравенству (8.3). 290 Гл.
8 Ряды Фурье ((1+5()=)Г!-~5. НХ)=)'(1. 1).)5(1, 5)-:-(5. 5)О ~ Р (~, ~)+2)/(~, 7) ~(д', у)+(у, у)=)) [)'( Д+)Г(д', д)] = =3Г(А, У)+)т(У, У)=!!7!!+][У!!. В частности, во введенном выше евклидовом пространстве мь всех кусочно непрерывных на сегменте [а, Ь) функций норма (8.4) любого элемента [ определяется равенством у ь ]!П=$/ ~у ()~, О (8.6) а неравенства Коши — Буняковского (8.3) и треугольника (8.5) принимают вид ь ь ь Д [(х) у (х) ((х] < фя (х) Нх ~ у' (х) йх; (8.7) ь 'ь ,)' ь ] [~(х) ( д(х))яйх~ ~~ ] ~(х)йх+1/ ] дя(х)дх. (8.8) 1 С05Х 5)ПХ 505 ПХ 5!П ПХ ))1 2л )1 и т( и у' и 1')5 Читатель легко проверит, что все функции (8.10) попарно ортогональны (в смысле скалярного произведения (8.1), взятого Введем теперь в произвольном бесконечномерном евклидовом пространсз)ве й понятия ортогональных элементов и ортоиормированной системы элементов.
Определение 1. Два элемента 1 и у евклидова простран.ства называются о р таган ал ь ными, если скалярное произведение (1, у) этих элементов равно нулю. Рассмотрим в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве 11 некоторую последовательность элементов. )Р( 5!)5 .. 9) (8.9) Определение 2. Последовательность (8.9) называется орт о н о р м и р о в а н н о й с и с т е м о й, если входящие в эту последовательность элементы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице.
Классическим примером ортонормированной системы в простРанстве йь всех кУсочно непРеРывных на сегменте [ — и, п1 фУнкций является так называемая тригонометрическая сис- тема $1. Ортонормнрованные системы и общие рады Фурье 291 при а= — я, Ь=тт) и что норма каждой из этих функций (определяемая равенством (8.6) при а= — л, Ь=л) равна единице.
В математике и ее приложениях часто встречаются различные ортонормированные (на соответствующих множествах) системы функций. Приведем некоторые примеры таких систем. Примеры. 1'. Многочлены, определяемые равенством 2аа> >>аа принято называть полин омами Л е ж а нд р а. Нетрудно убедиться, что образованные с помощью много- членов (8.11) функции ф„(х) "+ Р„(х) (п=О, 1, 2, ...) образуют ортонормированную (на сегменте 1 — 1, +1]) систему функций.
2'. Многочлены, определяемые равенствами Та(х) =1, Т,(х) =2' — "соз1п(агссозх)] при и=1, 2, ..., называются п олин о м а м и Ч е б ы ш е в а. Среди всех многочленов и-й степени с коэффициентом при х", равным единице, полипом Чебышева Т.(х) имеет наименьший на сегменте — 1<х<1 максимум модуля. Можно доказать, что полученные с помощью полиномов Чебышева функции образуют ортонормнрованную на сегменте 1 — 1, +1) систему.
3'. В теории вероятностей часто применяется система Р адемахера'> ф,(х) =~(2"х) (и=О, 1, 2,,), где ср(1) =зпп(з)п 2и(). Легко проверяется, что эта система ортонормирована на сегменте О<х <1. 4'. В ряде исследований по теории функций находит применение с и с т е м а Х а а р а 4>, являющаяся ортонормированной на сегменте 0<х<1. Элементы этой системы определяются для всех а=О, 1, 2,...
и для всех й, принимающих значения 1, 2, 4, ...,2". Они имеют вид '> Радемахер — немецкий математик (род. в 1392 г.). '> Хаар — немецкий математик 11335 — 1933). Гя. 8 Ряды Фурье 292 ! — » 2» — 2 2» — ! У2" при — „! <х( — „,, »!»! О в остальных точках !О, Ц. Каждая функция Хаара представляет собой ступеньку такого же вида, как функция У2" здпх на сегменте [ — 2~"+'!, 2 ы+"1, Для каждого фиксированного номера и прн увеличении значения й эта ступенька сдвигается вправо.
Всюду вне соответствующей ступеньки каждая функция Хаара тождественно равна нулю. 2. Понятие об общем ряде Фурье. Пусть в произвольном беско- нечномерном евклидовом пространстве Й задана произвольная ортонормированиая система элементов (ф»). Рассмотрим какой угодно элемент ! пространства Й. Определение 1.
Назовем рядом Фур ье элемента у по ортонормированной системе (ф») ряд вида (8.12) в котором через 1» обозначены постоянные числа, называемые коэффициентами Фурье элемента 1 и определяемые равенствами !'»= (1, »р») й=1, 2,... Естественно назвать конечную сумму (8.13) и-й ч а с т и ч и о й с у м м о й р я д а Фурье (8.12) . Рассмотрим наряду с п-й частичной суммой (8.!3) произвольную линейную комбинацию первых и элементов ортонормированной системы (»)») (8.! 4) )„ С»ф» »-! с какими угодно постоянными числами С!, Сь..., С,.
Выясним, что отличает и-ю частичную сумму ряда Фурье (8.13) от всех других сумм (8.14). Договоримся называть величину !!! — Рй отклонением 1 от д (по норме данного евклидова пространства). Имеет место следующая основная теорема. 4 1. Ортонормнрованные системы и общие рядн Фурье 293 Теорема 8.1. Среди всех сумм вида (8.14) наименьшее отклонение от элемента )' по норме данного евклидова пространства имеет и-я частичная сумма (8.13) ряда Фурье элемента 7.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая ортонормированность системы (тр») и пользуясь аксиомами скалярного произведения, можем записать: в » =,~'„С»~(т)!», ту») — 2 ~) С»(7, тр )+(~ ~)= » ! »-! = йи С»~ — 2 ~ С 7»+ 11711»=~~ (С 7 )а ~ РЯ+ !1У!)е » 1 »-! »-! »-! Итак, н в л ! ',С С»у — К=',) (С,— Я»+Ну!!в — 5 Рт »-! » 1 »-! (8.15) В левой части (8.15) стоит квадрат отклонения суммы (8.14) от элемента 1 (по норме данного евклидова пространства). Из вида правой части (8.15),следует, что указанный квадрат отклонения является наименьшим ири С*=1» (так как при этом в правой части (8.15) первая сумма обращается в нуль, а остальные слагаемые от С» не зависят).
Теорема доказана. Следствие !. Для произвольного элемента 1' данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы (т)!») при произвольном выборе постоянных С» для любого номера и справедливо неравенство и н 1УН' — ~ у'<1 т С Р вЂ” 1) .
(8.16) (8.17) часто называемое тождеством Бе с селя»!. '! Фридрих Вильгельм Бессель — немецкий астроном и математик 11784— 1846). Неравенство (8.16) является непосредственным следствием -тождества (8.15). Следствие 2. Для произвольного элемента 1' данного евклидова пространства, любой ортонормированной системы (тр») и любого номера и справедливо равенство Гл. 8 Ряды Фурье Для доказательства равенства (8.17) достаточно положить в (8.15) Сь=гь Теор ем а 8.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
