В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 52
Текст из файла (страница 52)
скимн коэффициентами Фурье функции [< ~!)(х) и самой функции [(х) но 4 5. Более точные условия сходимостн [саа! + [[)а! =Ф +'([аа! + [Ьа!). Таким образом, й'"(!аа[+ [Ьа!)= + —, ! гса) )()а! Ь и н сходнмость ряда (8.47) вытекает из элементарных неравенств (8.44) н из сходимостн рядов (8.45), первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно непрерывной функции )ч +о(х), а второй — в силу признака Коши — Маклорена. Лемма доказана. Непосредственным следствием леммы 1 является следующая Т е о р е м а 8,10. Пусть функция ((х) удовлетворяет тем же условиям, что и в лемме 1, причем т~~1. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции [(х) можно т раз почленно дифференцировать на сегменте [ — и, и!. Доказательство.
Пусть з — любое из чисел 1, 2„...,т. В результате з-кратного почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье функции [(х) получается ряд О ~~)~ ~Ь' (аа соз [ Ях — лл ) + Ьа з)п (Ьх — ™ ) ~, (8.48) а-! Заметим, что для всех х из сегмента [ — н, н! как исходный тригонометрический ряд Фурье, так и ряд (8.48) (с любым з=1, 2,...,т) мажорируются сходящимся числовым рядом (8.47). По признаку Вейерштрасса (см. теорему 2.3) как исходный тригонометрический ряд Фурье, так и каждый из рядов (8.48) (при и =1, 2,...,т) сходится равномерно на сегменте [ — н, н], а это (в силу теоремы 2.9) обеспечивает возможность т-кратного почленного дифференцирования исходного ряда Фурье. Теорема доказана.
й 5. БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РЛВНОМЕРНОА СХОДИМОСТИ И УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ В ДАННОИ ТОЧКЕ 1. Модуль непрерывности функции. Классы Гельдерн. Введем понятия, характеризующие гладкость изучаемых функций, и определим классы функций, в терминах которых будут сформулированы условия сходимости тригонометрического ряда Фурье. Пусть функция 1(х) определена и непрерывна на сегменте [а, Ь!. каждом иа которых р еы(х) непрерывна, и учесть, что при суммировании ин.
тегралов по всем частичным сегментам все подстановки дают нуль. Гл. 3 Ряды Фурье 3!О О и р е дел е н и е 1. Для каждого 6>0 назовем ма д у л е м н е п р е р ы в н о с т и функции [(х) на сегменте [а, Ь] точную верхнюю грань модуля разности [Г(х') — ((х") ] на множестве всех х' и х", принадлежащих сегменту [а, Ь] и удовлетворяющих условию ]х' — х" ] <б. Будем обозначать модуль непрерывности функции ((х) на сегменте [а, Ь] символом оз(6, )). Итак, по определению го (б, () = зир ]Г(х') — ((х") [.
(х' — х"1 <6 х',х"Е(а,М Непосредственно из теоремы Кантора (см. теорему 4.16 ч. 1) вытекает, что модуль непрерывности го(6, [) любой непрерывной на сегменте [а, Ь] функции 1(х) стремится к нулю при 6- Озсз. Однако для произвольной только непрерывной на сегменте [ — и, и] функции [(х) нельзя, вообще говоря, ничего сказать о порядке ее модуля непрерывности оз(б, [) относительно малого 6. Рассмотрим дифференцируемые на сегменте функции. Утверждение.
Если функция ((х) дифференцируема на сегменте [а, Ь] и ее производная 1'(х) ограничена на этом сегменте, то модуль непрерывности функции ((х) на указанном сегменте го(6, [) имеет порядок оз(6, Г) =0(6) з'1. В самом деле, из теоремы Лагранжазз> вытекает, что для любых точек х' и х" сегмента [а, Ь] найдется точка и, заключенная между х' и х" и такая, что [((х') — )(хл) ]=])'(5) ] ]х' — х" ]. (8.49) Так как производная ['(х) Ограничена на сегменте [а, Ь], то найдется постоянная М>0 такая, что для всех х из этого сегмента ]1'(х) ](М и, следовательно, ]]'(й) ](М. Из последнего неравенства и из (8.49) заключаем, что ]((х') — ((хп) ](Мб для всех х' и х" из [а, Ь], удовлетворяющих условию ]х' — х"] <6.
Но зто н означает, что в(6, 1)(М6, т. е. оз(б, )) =0(б). Пусть а — любое вещественное число из полусегмента 0<а(1. Определение 2. Будем говорить, что функция ((х) принадлежит на сегменте [а„Ь] классу Ге'льдера С" с показателем а (0<а(!), если модуль непрерывности а(6, [) функции [(х) на сегменте [а, Ь] имеет порядок Ф(6, [) =0(6 ). Для обозначения того, что функция ((х) принадлежит на сегменте [а, Ь] классу Гельдера С, обычно употребляют символику: у(х) енСо[а, Ь]. ен Ибо (в силу теоремы Кантора) для любого в>0 найдется б>0 такое, что [1(х') — ((хч) [<е для всех х' и х" из сегмента [а, ь[, удовлетворяющих условию [х' — х" [<б.
еч Напомним, что символ а=О(б) был введен в ч. 1 и обозначает существование постоянной М такой, что [а[ <Мб. ян См. теорему 6.5 ч. 1. 311 й б. Более точные условия скодимости Сразу же отметим, что если на сегменте [а, Ь] функция [(х) дифференцнруема и ее производная ограничена, то эта функция заведомо принадлежит на этом сегменте классу Гельдера С' (это утверждение непосредственно вытекает нз доказанного выше соотношения ю(б, 1)=0(б)) тз>. Замечание. Пусть [(х)енС"[а, Ь]. Точную верхнюю грань дроби на множестве всех х' и х", принадлежащих [х' — х" [о сегменту [а, Ь] и не равных друг другу, называют константой Гсльдера (ил и коэффициентом Гельдер а) функции 1(х) (на сегменте [а, Ь]).
Сумму константы Гельдера функции 1(х) на сегменте [а, Ь) и точной верхней грани [1(х) [ на этом сегменте называют гельдеровой нормой функции 1(х) на сегменте [а, Ь] н обозначают символом [[у'[[с 1„,, П р и м е р. Функция [(х) =11х принадлежит на сегменте [О, 1] классу Сиз, так как для любых х' и х" из [О, 1], связанных условием х')х", справедливо равенство х' — х' [Г(х') — Г(х»)[ = Г'х' — х" у х'+у х" (при этом константа Гельдера, являющаяся точной верхней гранью на [О, 1] дроби, равна единице, а гельдерова т'хо+у х" норма равна двум).
2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье. Пусть Г(х) — произвольная функция, определенная н ку- сочно непрерывная на сегменте [ — п,п]. Мы будем называть периодическим продолжением этой функции на всю прямую такую определенную на всей пря- мой функцию 1(х) з'1, которая удовлетворяет трем требованиям: 1) совпадает с первоначально заданной функцией на интерва- ле — п<х<п, 2) имеет на концах сегмента [ — и, я] значения 1(я)=-Г( — и)= — [Г( — я+0)+)(я — 0)], 2 3) удовлетворяет условию периодичности с периодом 2я, т. е.
удовлетворяет для любого х соотношению 1(х+2я) =[(х). Л е м м а. Если функция Р(х) является периодическим продолжением на всю числовую прямую функции Е(х), первоначально определенной и кусочно непрерьзвной на сегменте [ — п„п], то зю Класс Гельдера С», отвечающий значению а=1, часто называют кла ссом Лившица. »ю Оставляем для этой функции обозначение исходной функции 1(х).
312 Гл. э Ряды Фурье все интегралы от этой функции по любому отрезку длины 2п равны друг другу, т. е. для любого х справедливо равенство л л+» ! Р(!)д(-* ~ Р(!)д!. (8.50) Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу свойства аддитивности интеграла имеем л+» л л л+к Р(!)81= ~ Р(!)Ж+ ~ Р(!)д!+ ~ Р(!)д!. (85!) — л+» — »+к — л Используя условие периодичности Р(у — 2п) =Р(у), с помощью замены у=!+2п получим — й л л л-*» Р(!)с(1= ) Р(у — 21т) ду=- ~ Р(у)йд= — ~ Р(д) с(д.
(852) -л+» л+к л+к й Из (8.5!) и (8.52) вытекает соотношение (8.50). Лемма доказана. Пусть теперь функция ((х) является периодическим продолжением на всю прямую функции ((х), первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте [ — и, н]. Вычислим для этой функции в любой точке х частичную сумму ее тригонометрического ряда Фурье 5»(х, !), имеющую вид л 5„(х, !) ~ + ~~)~ ~(а,созйх+Ькэ1пях).
я-1 Используя выражения для коэффициентов Фурье а = — ~ 1(у) бу, а„= — ~ ~(у) созйус(у, бк= — ~~ ~(у) зтйуАу 1 с (й=),2, ...) 5„(х, !') = — ~ !'(у) ~ — + ~~) (соя йд сов йх+ з!пйуз!п йх)~ 4у = — л ь=! л л = — ! Г(у) ! — + ~~~!свая(у — х)~ бу. — л д-1 и свойство линейности интеграла, выражение для 5„(х, !) можно переписать в следующем виде: З1З ф З. Более точные условия схолимости Сделаем в последнем интеграле замену переменной у=г+х: л л е оч(х, 1)= — ) /(х+!) ~ — + '2 сояЫ) Ш. 1 Г Г ! 2 — и — е и 1 Наконец, используя лемму 1 и замечая, что подынтегральная. функция в последнем интеграле является периодической функцией аргумента 1 с периодом 2я, получим 5„(х, ~)= — ! ~(х+1) ~ — +~~ сояй1~Ш. (8.53) и [ 2 и е=! Вычислим сумму, стоящую в (8.53) в квадратных скобках. Для этого заметим, что для любого номера й и любого значения 2 справедливо равенство 2 я! и — соя э! = я! и ! Й + — ) 1 — я!и ! й — — ~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
