В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 47
Текст из файла (страница 47)
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров. Пусть х= (хь хз,...,х ) — точка ограниченной области ь)„а-мерного евклидова пространства Е", а у= (уь уз,...,да) — точка ограниченной области Р пространства Е . Обозначим через ь),Х ХР прямое произведение области И„на область Р, являющееся подмножеством (и+ т) -мерного евклидова пространства Е ', состоящим из точек г=(гг, гз,...,г„, ) таких, что точка (г1 гз ° ..
га) принадлежит ьзи~ а точка (гам гага гегм) при надлежит Р (часто пишут так: г=(х, у)). Тот факт, что точка г принадлежит й„ХРьи обычно записывают следующим образом: г= (х, у) ~йаХР . о См., например, 5 5 гл. 9 книги И. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа. Ч. 2» (см. сноску на с. 299). й 7. Кратные интегралы, аавнеящне от параметров 283 Замыкание области 1)„будем обозначать символом Й„а замыкание Р— символом Ю .
Легко видеть, что замыкание ьг„ХР совпадает с Й„ХР„. Пусть функция 7(х, у) определена в 11„ХР, причем для любого уееиР„функция )(х, у) интегрируема по х в области ь1„. Тогда функцию Е (У) = ) 7 (х, У) йх, (7.9) ае определенную в Р, называют интегралом, з а в~исящим от п а р а м е т р а у= (уь уь..., у ), т. е. фактически от гп числовых параметров. Точно так же, как н в $ 2, доказываются следующие теоремы.
Теорема 7.15 (о непрерывности интеграла по параметру). Пусть функция 7(х, у) непрерывна по совокупности аргу. ментов в замкнутой области Й„х Р, тогда интеграл (7.9) является непрерывной функцией параметра у в области Р . Теорема 7.16 (об интегрировани~и интеграла по параметру). Пусть функция 7(х, у) непрерывна по совокупности аргументов в замкнутой области Й„ХР . Тогда функцию (7.9) можно интегрировать по параметру под знаком интеграла, т. е. справедливо равенство ) 7 (у) йу = ) йх ) 7 (х, у) йу. о а„о Т е о р е м а 7.17 (о дифференцируемости интеграла по па раметру).
Пусть функция 7(х, у) и ее частная производная — нед) ду, прерывньч в Й„ХР . Тогда интеграл (7.9) имеет в области Р непрерывную частную производную д)(у) дт(у) ('д)(х, у) дуь дуь ,) дуа ан 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим для простоты случай, когда 11„=Р =Р. Пусть функция 1(х, у) также имеет специальный вид: )(х, у)=г(х, у)д(х), где г"(х„у) непрерывна при х~у в РХР, . а функция д(х) ограничена в Р, )у(х) )е-'М. Таким образом, рассмотрим интеграл у(у)=) р(х, у)д(х)йх, (7. 10) о где подынтегральная функция может иметь особенность лишь при х=у. Таким образом, особенность подынтегральной функции зависит от параметра. го* 284 Гл, 7.
Интегралы, зависящие от параметров Введем определение равномерной сход и м ости интеграла (7.10) в точке. Обозначим через В(уо, 6) т-мерный шар радиуса 6 с центром в точке уо. Определение. Интеграл (7,10) назовем сходяи(имея равномерно по параметру у в точке уоенР, если для любого е)0 ложно указатв 6)0 такое, что В(уо, 6)с:Р, и для любой кубируемой области Рс:В(уо, 6) и всех д~В(уо, 6) выполняется неравенство ~ ) Р (х, у) у (х) дх ~ к. е.
Теорема 7.!8, Если интеграл (7.10) сходится равномерно по у в точке уогнР, то он непрерывен в точке уо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать, что для любого е>0 существует 6>0 такое, что при !у — уо! =р(у, уо) <6 выполнено неравенство ! У(у) — Ъ'(уо) !(г. Из равномерной сходимости интеграла в точке следует, что существует 61~0 такое, что В(уо, бг) с:Р и при уеиВ(уо, 6~) г (х, у) д(х) дх ~ ( 8 вич, ьв Пусть 1/ (у)= 1 Е(х, у)у(х)йх; вча,ов Ъ"а(у) = ) Р(х, д) у(х) г(х, в ча.ог где В'(уо, 61)=Р'~,В(уо, 61) — дополнение шара В(уо, 6~) до об- ласти Р. Заметим, что при хенВ'(уо, 61), уенВ(уо, 6,~2) функция Р(х, у) будет равномерно непрерывной по совокупности аргументов. По- этому найдется положительное число.
6(6~/2 такое, что при р(у, уо) (6 будет выполнено неравенство (р(х, у,) — р(х, у)!к, зм!Р! где М вЂ” константа, ограничивающая функцию д'(х) в Р, !Р!— объем области Р. При р(у, уо) (6 (д (у) — д (у)!<м ~ !Е(, у.) — р(, д)!й < — . в <а..ов Поэтому ! д(у) — д(до) ! <! д~(у) !+ !Ъ'1(до) !+ !1'з(у) — дз(до) !(е, так как ! д1 (у) ! (е/3, ! д1 (уо) ! (е73. Теорема доказана. й 7. Кратные интегралы, завневнтне от параметров 285 Укажем достаточное условие равномерной по параметру сходи- мости интеграла (7.10) в каждой точке уоендсЕ . Теорема 7.19.
Пусть функция Р(х, у) непрерывна в ПХП при х~у, а д(х) равномерно ограничена в О. Предположим, что су«цествуют постоянные Х, 0 Х(т, и с~О такие, что для всех хенд, уенП справедливо неравенство )Г(х, у) ) (С(х — у) а, Тогда интеграл (7.10) сходится равномерно по у в каждой точке уое=П. До.к аз а тельство. Покажем, что для любой точки уо области 17 и любого е)0 существует 6)0 такое, что для любой кубируемой области О~В(уо, 6) и всех уецВ(уо, 6) выполнено неравенство !1Р(х, у)д(х)с(х~( е Учитывая оценку для Р(х, у) и ограниченность у(х), получим ! ) Р (х, у) д (х) «(х ~ -< М, ) (х — у ! «Хх, б б Фиксируем точку уенВ(уо, 6).
Из условия бсВ(уо, 6) вытекает условие О~В(у, 26). Поэтому )Р(' у)у(х)"~ ° 1 ( — ( " ' б во«дб> Интеграл в правой части можно вычислить в и-мерных сферических координатах; тогда тб 1 ~Р(х, у)й«(х)дх(<Ма~с «-"«(г= ' бт "=Маб™. т — Х б о Ясно, что при достаточно малом б величина ) )Р(х, у)д'(х)ах~ может быть сделана меньше е. Теорема доказана.
П р и м е р. Применим полученные результаты к теории так называемого н ь ю т о н о в а и о т е н ц и а л а. Пусть в некоторую точку Ао(х, у, г) помещена масса пто. На массу т, помещенную в точку А«(х«, уь г,), по закону всемирного тяготения действует сила тто Г= — у — г, «73 где «т =р(Ао, А«), 7 — гравитационная постоянная, г = —— р, Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров 286 единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора АсАь Пусть у= 1, т= 1; тогда г= — — г ще или покомпонентно Х= — ~ (хт — х), )'= — ~ (у — у), х= — — '(г,— г).
Очевидно, что потенциал силы тяготения, определяемый как скалярная функция и такая, что Г=атаби, равен Если же масса сосредоточена не в точке Ав(х, у, г), а распределена по области Р с плотностью р(х, у, г), то для потенциала и для компонент силы получим У(хы ум г,) =Д~ "(,' "' ) Ихйус(г; о Х= — ДГ ' ' (» — «)с(»Дудг, Г р(х,у,а) т- — Ц~ "'* " *' (т,— тм*ттт*, л = — Щ " ("' "' ') (г — г) йх йу й. о Интегралы для Х, У, Я представляют собой частные производные потенциала и. Подынтегральные выражения во всех интегралах можно оценить через СЯ-а, где Л=1 для интеграла, представляющего потенциал и, и Л=2 для интегралов, представляющих компоненты силы.
Так как Л(3, то в силу теоремы 7.19 все интегралы сходятся равномерно по параметрам в любой точке А1(хь уь г,). Следовательно, по теореме 7.18 они представляют собой непрерывные функции точки А1(хь уь г~). Глава 8 РЯДЫ ФУРЬЕ Изучаемая в настоящей главе проблема разложения функции в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения вектора по базису. Из линейной алгебры известно, что если в линейном пространстве конечной размерности выбрать некоторый базис, то любой вектор этого пространства может быть разложен по базису, т. е.
представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Гораздо более сложными являются вопросы о выборе базиса и о разложении по базису для случая бесканечномерного пространства. В настоящей главе эти вопросы изучаются для случая евклидовых бесконечномерных пространств и для базисов специального типа (ортонормированных базисов).
Особенно подробно изучается базис, образованный в пространстве всех кусочно непрерывных на некотором сегменте функций так называемой тригонометрической системой. 5 ь ОРтонОРмиРОВАнные системы и ОЕШие РЯДЫ ФУРЬЕ 1. Ортонормированные системы. Будем рассматривать произвольное евклидово пространство бесконечной размерности. Напомним, что линейное пространство К называется е в к л и до в ы и, если выполнены два условия: 1) известно правило, посредством которого любым двум элементам 1 и д пространства.
К ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (1, я); 2) указанное правило удовлетворяет следующим четырем аксиомам: 1'. (1, д) = (д, 1) (гереместительное свойство); 2'. (~+к, й) = (1, й) + (й, 11) (распределительное свойство); 3'. (Ц, Е) =Х(), й') для любого вещественного Х; 4'. (Г, 1) )О, если ( — ненулевой элемент; (1, 1) =О, если г — нулевой элемент.
Напомнвм, далее, что линейное (и, в частности, евклидово) пространство называется б е с к о н е ч н о м е р н ы м, если в этом пространстве найдется любое наперед взятое число линейно независимых элементов. 288 Гл. 8 Ряды Фурье Приведем классический пример евклидова пространства бесконечной размерности. Напомним, что функция 1(х) называется кусочно ~и е п р ер ы в н о й на сегменте (а, Ь], если оиа непрерывна всюду на этом се~менте, за исключением конечного числа точек, в каждой из которых она имеет разрыв первого рода '>.
Для линейного пространства всех кусочно непрерывных на сегменте (а, Ь] функций естественно ввести скалярное произведение любых двух функций 1(х) и д(х), определив его равенством (Г, д) = ] 1(х) д (х) т(х. а (8.1у Легко проверяется, что при таком определении справедливы первые три аксиомы скалярного произведения. Однако для того„ чтобы оказалась справедливой и четвертая аксиома, приходится принять дополнительную договоренность о том, чтобы значение кусочно непрерывной функции 1(х) в каждой ее точке разрыва хт равнялось полусумме правого и левого ее пределов в этой точке.- ((х;+ О) + ) (хь — О) (8.2у 2 ь В самом деле, во-первых, всегда ((', ))=] 1а(х)дх> О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
