В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда с' ~~7(х, у) с(х~ «( ~ ~~(х, у)~дх<~гр(х)г(х< и, т' что и требовалось доказать. 3 а и еч а н и е 1. Из критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла вытекает, что интеграл (7.5) и его «остаток» (т. е. интеграл вида ) 1(х, у)г(х, где а'>а) равномерно схои' дятся одновременно. За меча н не 2. Аналогично тому, как был доказан признак Дирихле †Абе для несобственных интегралов (см. дополнение 1 к гл. 9 ч. 1), доказывается следующее утверждение (п р изна к Дирихле — Абеля): ' Если интегРал Р(1, у) = ) г'(х, у) с(х равномерно ограничен, а т. е.
при всех 1>а и у из У выполнено условие ~Г(1, у) ~(М, а у(х) ограничена и монотонно стремится к нулю при х- +со, то интеграл ) г(х, у)у(х)дх сходится равномерно. 4 Перейдем теперь к изучению свойств зависяших от параметра несобственных интегралов. Теорема 7.9. Пусть для любого Ь, превосходящего а, функция 1(х, у) равномерно на сегменте а(х Ь стремится к функции у(х) при у-з-уе, где уь — предельная точка множества У, и интег- 9 зак. тз Гл. 7.
Интегралы, аавнсяшне от параметров 262 рая 7(у)= ) Г(х, у)с(х сходится равномерно на множестве У. а Тогда О 11пт 7(и) = !пп) 7(х, у)дх=) д(х)дх. У «У« а "'е Доказательство. Докажем интегрируемость на (а, со) функции д(х). Для произвольного з>0 найдем число !о=-!е(е) >О такое, что для любых !', !", превосходящих го, и для всех у из У выполнено неравенство ~ ) 7'(х, у) дх ~ С е. Зафиксировав произвольные !' и !", превосходящие ге, перейдем в этом неравенстве к пределу при у-т-уо, получим ~ ) д(х)с(х ~ ~з.
т а Это и доказывает сходимость интеграла ~д(х)с(х. а Пусть (1„) — произвольная последовательность такая, что г,-а-+со. Введем в рассмотрение функциональную последовательность ти 7„(у)= ) 7(х, у)с(х, которая равномерно на множестве У сходится к функции 1(у)„ определяемой равенством (7.5). В силу утверждения 2 $ 1 для каждой из функций 1и(у) существует конечный предел при у- уо. Более того, 11гп 7„(у) =1!т ~ 7(х, у) дх= ~ (1!пт 7(х, у)) пх ~ й«(х) дх. У У« У У« а У Но тогда существует и предел Си О 1пп 7 (у) = 11гп ! и (х) с(х = ~ д (х) дх, У У« ти ю а а поскольку согласно теореме 2.7 гл.
2 символ 1пп предела раас "««е номерно сходящейся последовательности (Ти(р)) и символ 1пп пре- У~У« й 3, Несобственные интегралы, аавненшне от параметра 263 дела функции 1 (у) можно переставлять местами. Теорема доказана. Допустим, в частности, что точка у, принадлежит множеству у и функция 7(х, у) непрерывна в точке уе, т. е. 7(х, у) прн любом Ь)а стремится равномерно на сегменте а(х(Ь к 1(х, у,) при у-вув.
Тогда 1!пт1(у)=1(ув), т. е. 1(у) непрерывна в точке ув. У Ув Таким образом, мы приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 7.9* (о непрерывности несобственного интеграла по параметру). Пусть 1(х, у) как функция двух переменных непре- Ю рывна при х= а и у из [с, й], а интеграл 1(у)=) 1(х, у)йх а равномерно на [с, д] сходится. Тогда функция 1(у) непрерывна на [с, й]. Доказательство, Можно утверждать, что для каждого прямоугольника П=(а ах~1, с(у(д] функция 1(х, у) равномерно на сегменте а(х(1 стРемитсЯ к 1(х, Уе) =Я(х) пРи У-в-Уа (см утверждение б $ 1).
Поэтому при 1=1, для интегралов 1 (у), введенных при доказательстве теоремы 7.9, выполнены условия предельного перехода под знаком интеграла. Отсюда и нз равномерной на [с, й] сходимости 1,(у) к 1(у) получаем, что Ищ1(у) = У Ув =1(ув), т. е. функция 1(у) непрерывна. Теорема доказана. Теорема 7.10. Пусть [(х, у) как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна при х, принадлежащем полупрямой [а, оо), и у, принадлежащем сегменту [с, й]. Пусть далее интеграл 1(у)=) 1(х, у)йх непрерывен по у на [с, д]. Тогда этот а интеграл сходится равномерно по у на [с, й]. Доказательство.
Рассмотрим последовательность 1„(у)= га =11(х, у)йх непрерывных на [с, й] функций, и пусть 1 — +о а не убывая. Последовательность (1 (у)), монотонно не убывая, сходится к непрерывной функции 1(у). Следовательно, можно применить признак Дини (теорема 2.4 гл.
2). Теорема доаазанг Теорема 7.11, Пусть 1(х, у) как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна при х, принадлежащем полупрямой [а, оо), и у, принадлежащем сегменту [с, д]. Пусть при у — нув функция 1(х, у), монотонно не убывая в каждой точке х по у, сходится к непрерывной функции д(х).
Тогда из сходимости инв теграла ] у(х)йх следует возможность предельного перехода при а у- ув под знаком интеграла (7.5). зв Гл. 7. Интегралы, зависящие от изрзметров 1 1„(у) ду = 1 дх 1 ] (х, у) ду. (7.7) Поскольку на [с, д] последовательность 1 (у) равномерно схо- дится к 1(у), то под знаком интеграла, стоящего слева в формуле (7Л), можно сделать предельный переход при и-+.оо. Следова- тельно, при и- оо существует предел последовательности интег- ралов, стоящих в правой части (7.7). Таким образом, л а л а а )! ш ~ 1„(у) е(у = 1! (у) ду = ! ип ~ Нх ~ ~ (х, у) г(у = ~ дх ~ ) (х, у) с(у, а а с а с что и требовалось доказать.
Теперь докажем теорему об интегрировании несобственного интеграла (7,5) го бесконечному промежутку изменения параметра у. Теорема 7.(3. Пусть 1(х, у) как функция двух переменньгх непрерывна и неотрицательна в области а<х<со, с<у<ее, ин- Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, интеграл (7.5) сходится равномерно на [с, д] по признаку Вейерштрасса (теорема 7.8), поскольку )(х, у)<у(х) и у(х) — интегрируема на [а, оо). Поэтому в силу теоремы 7.9а можно переходить к пределу под знаком интеграла, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании несобственного интеграла по параметру. Теорем а 7. !2 (об интегрировании несобственного интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) как функция двух переменных непрерывна при х, принадлежащем полупрямой [а, со), и при у, принадлежащем сегменту [с, д], и пусть интеграл 1(у) =] Г(х, у)Нх равномерно сходится. Тогда функция 1(у) а интегрируема на [с, с(] и имеет место формула ~ 1(у) Ну = ] е(у ~ 1 (х, у) с(х = ~ ~Хх ] ]'(х, у) с(у.
(а) е ° а а а Доказательство. Согласно теореме 7.9а функция 1(у) непрерывна на [с, Ы], а следовательно, и интегрируема на [с, д]. Докажем формулу (а). Рассмотрим последовательность функций г„ 1„(у)= ] ~(х, у)с(х, где 1„™+со. В силу теоремы 7.3 для каждой а функции 1а(у) получаем $3. Несобственные интегралы, аавнсянтне от параметра 265 геграл 1(у) = ] 1(х, у) Ых непрерывен на полупрямой ]с, оо), О а интеграл К(х) = ] 1(х, у) ду непрерывен на полупрямой ]а, оо). с Ю Тогда из сходимости одного из двух интегралов ] 1(у) ду и К(х)дх следует сходимость другого из этих интегралов и спра- ведливость равенства е ° В ) 1(у)ду=) К(х)дх, с и или (ду (1(х, у) дх= ( дх (1(х, у) йу. Таким образом, в условиях этой теоремы несобственный интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком несобственного интеграла и в случае бесконечного промежутка изменения параметра. Д о к а з а т ел ь с т в о.
В силу условий доказываемой теоремы и в силу теоремы 7.10 интегралы 1(у) и К(х) сходятся равномерно: первый на сегменте ]с, д] при любом й>с, а второй на сегменте 1а, Ь] при любом Ь>а. Пусть, например, сходится повторный интеграл]1(у)ду. Рассмотрим неубывающую последовательность ти 1» ~» (1а), 1,-'-+оо. Тогда ] .К(х) дх= ] ] 1(х, у) йу =) йу ) 1(х, у) дх. Последовательность 1 (у, 1„) = ] 1 (х, у) дх М при любом И, превосходящем с, равномерно на сегменте [с, д] сходится к 1(у). Прн этом последовательность (1(у, 1„)) не убывает на ]с,д]. Отсюда и из теоремы 7.11 вытекает, что интеграл !(у, 1)ду сходится равномерно.
Но тогда под знаком этого интеграла согласно теореме 7.9 можно сделать предельный переход, т. е. имеет место формула 266 Гл. 7, Интегралы, зависящие от параметров ~ К (х) дх = 1пп ~ К (х) дх = 1пп ~ 1(у, 1„) ду = ~ I (у) йу, а я +~'а т что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании по параметру несобственного интеграла. Теорема 7.14 (о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) и ее производная (а'(х, у) непрерывны в области а<х<оо, с(у<!(. Пусть, далее, интеграл l(у)= ~!(х, у)йх сходится в каждой точке у сегмента а Ю [с, д[, а интеграл ) !'„(х, у)йх сходится равномерно на сегменте а [с, д). Тогда при любом у из [с, д) функция 1(у) имеет производную и, причем 1' (у) = ) 1„(х, у) ах.
а 1' (у) = 1пп 1„(у). л-~ю та Но 1„(у) = ) )„*(х, у) дх. Следовательно, а 1' (у) = ) 1„(х, у) дх. 2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра. Пусть функция 1(х, у) определена при х, принадлежащем [а, Ь), и у, принадлежащем У. Пусть при каждом фиксированном у из У функция 1(х, у) является неограниченной при х-ьа, но такой, что сходится несобственный интеграл ь 1(у) = ) 1(х, у) т(х. я (7.8) о При у=а !(у) имеет правую производную р(с+0), а при у=т( — левую производную !'(т( — О). т„ Доказательство. Пусть (а-ь+оо, а 1л(у)=~У(х у) "х. а Последовательность непрерывных функций 1,(у) сходится в каждой точке [с, д[ к функции 1(у), а последовательность производных 1„'(у) сходится равномерно на сегменте [с, г([. Тогда согласно утверждению 5 $1 для любой точки у сегмента [с, д[ существует э 4.
Применение теории интегралов, вависагпих от параметра 267 Определен не 3. Несобственньгй интеграл второго рода (78) называется равномерно сходящимся по параметру у на множестве У, если для 1, удовлетворяющего неравенствам а(1<Ь, функция ь Р (1, у) = ) 1(х, у) дх при 1- а+О стремится к функции 1(у) равномерно относительно уя У. Отметим, что с помощью преобразования переменной х, указанного в дополнении 1 к гл. 9 ч. 1, несобственные интегралы второго рода сводятся к несобственным интегралам первого рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
