В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 39
Текст из файла (страница 39)
г=1 Докажем, что размерность й!тТ.(У) линейного пространства !'.(У) равна и. Для этого достаточно указать какой-либо "' Текст данвого дополнения взят из книги В. А. Ильина, Э. Г. Позняка «Основы математического анализа. Ч. 2» (Мп Наука, Гл. ред. физ.-мат, литры, 1982). м! Пространство Е(У) обозначают также символом У» н называют с опряженным (или дуальным) к У. 226 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклиловом пространстве базис в Е(У), содержащий точно и элементов, т.
е. п линейных форм. Фиксируем произвольный базис (е») пространства У и рассмотрим линейные формы е'(4) = р» (й= ), 2,..., а), где (а») — коэффициенты разложения вектора й по элементам базиса (е»). Иначе говоря, линейная форма е" действует на элементы базиса (ес) по правилу (! при (==й; В таком случае в данном базисе (ес) линейная форма а имеет вид л а(й)=5' асет(6), а;=а(ег), т е линейные формы е'(~) е'(с) .. е" ($) образуют базис в Б(У). Этот базис называют с о п р я ж е н н ы м (а также в з а- и м н ы и илн ду ал ьны м) к базису (е ).
2. Билинейные фор.|ы. Обозначим через УХУ множество всех упорядоченных пар Дь 6»), где 4,~У, 6»~У, и рассмотРнм фУнкЦнн а($ь 6»), сопостазлЯющие кажДомУ элементУ нз УХУ (т. е. каждым двум элементам 4~енУ и 6,~У) некоторое вещественное число. О п р ед ел е н н е. Функция а(йь йв) называется бил инейной формой, если при каждом фиксированном значении одного аргумента она является линейной формой относительно другого аргумента. Иначе говоря, для любых векторов $ь йь т)ь т!а и любых вещественных чисел Ль Ль рь !»а выполняется равенство а(Л»6, +Ртт)о Л»6»+Рва!в) = = Л,Л.„а(6и Ьв) +Льиаа(быт)т) +Р,Л,а(т!„ь~р ) +Р,Р а(т)„т)в).
Множество всех билинейных форм легко превратить в линейное пространство, вводя в нем естественным образом операции сложения и умножения на вещественное число. Полученное простр а нство билинейных форм обозначим символом (.т ( У) . Найдем представление билинейной формы а($ь $,) в кал ком-лнбо базисе (е )"; 1 пространства У. Пусть 6» — — ~ Цеи /=! 227 $1. Знаиопеременные полилинейпые формы к=), 2,Положив а(еь е;)=ань получим искомое представление Л Л а($ы $,)=У 7 а!!а,'Ц. )=1 !' 1 Для того чтобы определить размерность пространства Ь2(У), образуем с помощью линейных форм е!($), составляющих в 2.(У) базис, сопряженный к базису (е!), билинейные формы е'"'(еь1, еьа) =е1(ен1) с (еь2).
Тогда произвольная билинейная форма будет однозначно представимой в виде Л Л а(ь1, $2) =У. У а!1еи($ы ца). 1=11=1 Это означает, что формы е!2(е1, $2) образуют базис в Ь2(У) и, следовательно, размерность (.2(У) равна па. о. 2!олилинейные формы. Пусть р — натуральное число. Обозначим символом УР=УХ УХ... Х У множество всех упорядоченных наборов (21, 42, ..., 4Р) из р векторов, каждый из которых принадлежит У и рассмотрим функции, сопоставляющие каждому такому набору некоторое вещественное число, Определение.
Функция а(й1, $2,...,йр) называется пол ил иней ной формой степени р (или р-формой), если она является линейной формой по каждому аргументу при фиксированных значениях остальных. Вводя в множестве всех р-форм линейные операции, получим линейное пространство, которое обозначим символом (- (У) Найдем представление произвольной полилинейной формы а(41, $2,...,Ц) в каком-либо базисе (е1)"; , *пространства У. Обозначим а1,1,...! =а(е;о е1„, е! ). Тогда если 32= У Це„то Р Р (ь ь " ь)=У "У анц я)'а~*" я'. 1,=1 ! =1 Р Если ее($) — базис в Е(У), сопряженный к (е!), то, очевидно, р-формы е"" Р(аы 4„..., $Р) =-е' ($!)е"(42)...
е'Р($Р) в. 228 Дополнение к гл. б. Дифференциальные формы н енклидоном пространстве образуют базис в Ьп(У), следовательно, Ьр(У) имеет размерность пп. 4. Знакопеременные полилинейные формы. О п р е д е л е н и е. Полилинейная !рорма а (в!, йт,..., $„) называется з н а к о п е р е м е н н о й, если при перестановке любых двух аргументов она меняет знак'а!.
Иначе говоря, а(Ф„$„..., йз, ...Лр...,$,)= — аЯ„Ф2, ..., й!ч..., $!, ..., $а). Очевидно, множество всех полилннейных знакопеременных форм степени р образует подпространство линейного пространства Ьн(У), которое мы обозначим символом Ар(У) "!. Элементы пространства Ар(У) будем обозначать символом со=ю(4!, $2, ", Ь) Заметим, что если (е!) — произвольный базис в У и оз= У ... К шь л з!, ...
с'а, з=! ! =1 л то числа ю2,,! меняют знак при перестановке двух индеко ' р сов. Это вытекает из того, что ып ! = ю (ез„ ..., е, ). Естественно считать, что А!(У) =Ь!(У), а Ао(У) состоит нз всех постоянных, т. е. совпадает с числовой прямой. 5. Внешнее произведение знакопеременных форм. Рассмотрим две знакопеременные формы: шренА„(У) и ючяА (У). В атом пункте мы введем основную операцию в теории зйакопеременных форм — операцию внешнего умножения. Пусть озг=шр(21!, 212,...,21р), т)2е=У; юч=юч(ь!, ьз, ° ° °, ьч), ьуе=У.
Рассмотрим следующую полилинейную форму аенЬр+ч(У)! а($ы ~ю ..., ~пьч) =ш" Ди ..., 5,)ш" ($ ~„..., $~~,), (6.1.1) Эта форма, вообще говоря, не является знакоперемепной: при пеРестановке аРгУментов й! и $ь где 1<з<Р и Р+!<1<Р+д, форма (6.1.1) может не изменить знака. Этим обстоятельством н вызвана необходимость введения внешнего произведения. 'з! Знакопеременпые полилинейные формы называют также а н т и с и мм ет р н ч ес к н м и, к о с ос и и м е тр н че с к и м и, косым и, н не шин м н.
'"' Это пространство обозначают также символом гч,гр" и называют р-и внешней степенью пространства тч. $ К Знаионеременные нолилинейиые формы Для того чтобы ввести внешнее произведение, нам понадобятся некоторые факты из теории перестановок. Напомним, что пер ест а нонкой чисел (1, 2,...,т) называют функцию о=о(й), определенную на этих числах н отображающую их взаимно однозначно па себя. Множество всех таких перестановок обозначается символом Х . Очевидно, что Х содержит всего т1 различных перестановок. Для двух перестановок ояХ и тенХ естественным образом определяется суперпозиция от~Х .
Перестановка о ' называется обратной к о, если о-1о=оо '=е, где е — тождественная перестановка (т. е. е(я)=я, я=1, 2,...,т). Перестановка о называется т р а н с п о з и ц и е й, если она переставляет два числа, оставляя другие на своем месте. Иначе говоря, если существует пара чисел 1 и 1 (1<1<т, 1<1<т, 1Ф)) такая, что о(1) =1, о(1)=1, о(к) =й для Й=~с' и ЙФ1. Очевидно, если о — транспозиция, то о — '=о и о о=е. Известно, что всякая перестановка о разлагается в супер- позицию транспознций, переставляющих числа с соседними номерами, причем четкость числа транспозиций в таком разложении не зависит от его выбора и называется четностью перестановки о.
Введем следующее обозначение: 1, если перестановка и четна, знпо= — 1, если перестановка о нечетна. Заметим, что форма аенЕр(У) принадлежит Ая(г), если для любой перестановки оенХ аДонь ~оаь ..., е ~о)=(здпо)азы 4„..., кл). Рассмотрим снова полнлинейную форму (6.1.1). Для любой перестановки оенХ„+е положим оа(яы ..., ар+о)=а($од, ..., $ом+е~). (6.1.2) Нетрудно убедиться в том, что если тенХ„+е и оенХр+и то (то) а=т(оа). О п р е д е л е н н е. В и в ш и и м и р о и з в е д е н и е м фар- мое вне=Ар(У) и формы ыое=Ае(У) называется форма ые= енА яе ( У), определяемая равенством еноты ..., $я+ ) = ~„(зйпо)оа, (6.1.3) о где сумма берется по всем перестановкам ое=Хр+е, удовлетво- ряющим условию о(1) <о(2) «... о(р), о(р+1) «...
о(р+у), (6.1А) ))ополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве а величина оа определяется равенствами (6.1.1) и (6.1.2). Внешнее произведение форм о)л н о)' обозначается символом о)=о)л,г) о)е. Проиллюстрируем на примере, как действует перестановка о, удовлетворяющая условию (6.1.4). Предположим, что по некоторой дороге параллельно движутся две колонны автомоби. лей, в первой из которых р, а во второй )1 машин. Через неко. торое время дорога сужается и обе колонны на ходу перестраи. ваются в одну. При этом автомобили первой колонны занимают места где.то среди автомобилей второй, однако порядок следования автомобилей внутри каждой колонны сохраняется.
В результате мы получаем перестановку, удовлетворяющую условию (6.1.4). Легко видеть, что и обратно всякая такая перестановка может быть реализована на нашей модели. Для того чтобы убедиться, что данное нами определение яв. ляется корректным, необходимо доказать, что о)=ыл/~со'~ ~Ам)и())). Очевидно, в доказательстве нуждается только знакопеременность формы и).
Покажем, что при перестановке двух аргументов $; и вьь) форма о) меняет знак. Отсюда легко будет следовать, что о)ев енАи+е())), Пусть тенХл+е является такой перестановкой. Убедимся в том, что (6,1,6) то)= — о)= (56п т) о) Из равенства (6.1.3) получим ты = ~„(здп а) (та) а. Разобьем эту сумму на две: то)=',~~ (здпв)(то)а+~ (знпа)(та) а. (6.1.6) К первой сумме отнесем те перестановки в, для которых либо о '(1) <р, о '(1+1) <р, либо а '(1) ър+1, о-'(1+1) ) р+1.
Для каждой такой перестановки (то)а= — аа. Для того чтобы сделать это утверждение более очевидным, обозначим й=о — '(1), 1=о-'(1+1), т. е. 1=в(й), 1+1=о(1). Фор. ма оа представляет собой произведение форм о)л и о)е, причем аргументами о)и являются векторы $к)), яма), ..., ьии), а ар)'у" ментами о)е — векторы внле)), ..., Ъ~а+и) Если й~р и 1~р то ьв =в <а) и ь)+)=вы)) являются аргументами формы ыл, которая по условию знакопеременна.
Следовательно, при перестановке ь н 4)+) форма о)', а значит, и оа меняют знак. Аналогично рассматривается случай, когда Йър+1 и Ыр+1. йа! $1. Зкакопеременпые полилккейпые формы Итак, для первой суммы выполняется равенство ',~, (ядп в) ( са) а = — ~ (яяп о) оа. (6.1.7) Ко второй сумме отнесем те перестановки о, для которых либо о '(!) ~р, о-'(1+1) ~р+1, либо о '(1) ~р+1, о '(!+1) ~ (р. Покажем, что множество перестановок (о), удовлетворяющих этому условию (а также, разумеется, условию (6.1А))„ совпадает с множеством перестановок то, где о~(о). Обратимся к нашей модели с двумя колоннами автомобилей. Утверждение примет следующий очевидный вид.
Если при каком-либо перестроении автомобиль с номером й из первой колонны окажется непосредственно перед автомобилем с номером ! из нторой колонны, то легко можнб указать другое перестроение, в результате которого эти автомобили меняются местами, в то время как порядок движения остальных сохранится. Таким образом, так как япптв=-япп о, то (ядп а) (та) а = — ~, (ядп то) (та) а = — г, (яйп о) аа. (6.1.8) п а и Подставляя (6.1.7) и (6,1.8) в (6.1,6), получим (6.1.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
