В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 43
Текст из файла (страница 43)
гл. 2). Эти утверждения доказываются путем перехода к произвольной последовательности (У»), у» из У, у»ч'-Уо, У»-«.уо при У т в е р ж д е н и е 2. Пусть функция 1(х, у) интегрируема на ]а, Ь] при каждом фиксированнолг у из У и ](х, у) равномерно на [а, Ь] стремится к у(х) при у- уо. Тогда у(х) интегрируема на (а, Ь] и справедливы равенства. ь ь ь 1пп ] )(х, у) с(х = ] д(х) йх = ~ ]11ш 7(х, у)] йх.
а о« » » » о гн Для доказательства этого утверждения достаточно применить тео- рему 2.8. 255 й 1. Равномерное стремление функции н пределу у'(х) =Ь(х)„ (!пп )(х, у)), = Ип1 7,(х, у). или Для доказательства этого утверждения необходимо воспользоваться теоремой 2.9. Утверждение 6. Пусть функция «(х, у) задана на прямоугольнике П=(а(х(Ь, с(у(д) и непрерывна на нем. Тогда при любом уо из сегмента «с, д] при у — эуо функция «(х, д) стремится равномерно по х на «а, Ь] к функции «(х, до). Доказательство. Поскольку непрерывная на прямоугольнике П функция является и равномерно непрерывной на нем, то для любого числа г>0 существует такое число 6=6(е))О, что для любых точек (х', у'), (х", у"), для которых ]х' — х" ]<6, ]у' — у"] <6, справедливо неравенство ]«(х', у') — «(х", у") ] <н.
Пусть х'=х"=х, у'=у, у"=уо. Тогда для любых у из «с, д] таких, что «у — у,] <6, и для любых х из «а, Ь] выполняется неравенство У(х, у) — «(х, уо) ] <е, Но зто и означает равномерное на «а, Ь] стремление «(х, у) к «(х, де) при у-+уо. Утверждение доказано. У т в е р ж д е н и е 3. Если функция «(х, у) непрерывна по х на «а, Ь] при каждом фиксированном у из множества У и «(х, у) равномерно на «а, Ь] стремится к у(х) при у-+уо, то у(х) — непрерывная на «а, Ь] функция. Для доказательства следует воспользоваться следствием 1 из теоремы 2.7.
Утверждение 4. Пусть функция ~(х, у) непрерывна по х на «а, Ь] при каждом фиксированно,н у и при стремлении у к уе в каждой фиксированной точке х сегмента [а, Ь] эта функция, не возрастая (не убывая), сходится к непрерывной предельной функции у(х), Тогда )(х, у) стремится к у(х) равномерно на «а, Ь]. Это утверждение является аналогом теоремы 2.4 гл. 2 (признак Дини). При переходе к последовательности (д„) необходимо выбирать ее возрастающей и так, чтобы уа-~уо. Утверждение 5.
Если при каждом фиксированном у из множества у функции от х ) (х, у) и ) '(х, у) непрерывны на «а, Ь] и при у-э.уе функция «(х, у) стремится к у(х), а функция (,'(х, у) стремится к Ь(х) равномерно ни «а, Ь], то функция у(х) дифференцируема на «а, Ь], причем Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров $2. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА авоб 1. Свойства интеграла, зависящего от параметра.
Пусть функция двух переменных 1(х, у) определена для х, принадлежащих сегменту [а, Ь], и для у, принадлежащих некоторому множеству (у)=У. Допустим, что при каждом фиксированном у из У функция [(х, у) интегрируема по [а, Ь]. Тогда на множестве У определена функция 1(у)=] 1(х, у)с(х, (7. Ц что и требовалось. Теорема 7.3 (об интегрировании интеграла по параметру). Если функция 1(х, у) непрерывна в прямоугольнике П= ь =(а(х(Ь, с(у(й), то функция 1(у) = ] 1(х, у)дх интегрируеа иа на сегменте [с, й].
Кроме того, справедлива формула Ф г ь ь г ) 1(у)йу= ] ['] 7'(ъ, у)йх1йу= ~ [] 1(х, у) йут~йх. Иными словами, в условиях теоремы интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком интеграла. называемая интегралом, зависящим от пар а метр а у. Изучим свойства интеграла, зависящего от параметра. Заметим сначала, что согласно утверждению 2 из $1, если функция 1(х, у) стремится равномерно на [а, Ь] к функции у(х) при у- уа, то в интеграле (7.1) можно сделать предельный переход под знаком интеграла.
Теорема 72 (о непрерывности интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) непрерывна на прямоугольнике П=[а(х (Ь, с(у(й). Тогда интеграл 1(у)= ] 1(х, у) йх является непрев рывной функцией параметра у на [с, й]. Доказательство. В силу утверждения 6 $1 функция 7(х, у) стремится равномерно на [а, Ь] к функции )(х, у,) прн у-т-уо. Следовательно, как было отмечено выше, можно сделать предельный переход под знаком интеграла: ь ь ь 1!т1(у)=1пп ] 1(х, у)дх = [ 1!гп)(х, у)йх=] 1(х, у„) йх= 1(у,), й' аа и и *а а и уа и $ 2 Собственные интегралы, зависящие от параметра 267 1'(у)= ) 7'„(х, у) дх. О (7.2) Инымн словами, в условиях теоремы можно дифференцировать под знаком интеграла. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим получаемое из формулы Лагранжа соотношение 1(я, р+Л)-1(», р) ~ ( „+01,) Л где 0<0<1. Заметим, что 1„'(х, у+06) стремится равномерно на [а, Ь) к 1а'(х, у) при Ь вЂ” «О. Следовательно, при Ь вЂ” «О допустим предельный переход под знаком интеграла в соотношении ь (Р+ ") (") = [ 7„(х, у+ ОЬ) с(х. Л а Отсюда и получаем формулу (7.2). Теорема доказана. 2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра, Пусть функция 7(х, у) определена на прямоугольнике П= =(а<х«р, с«у«д), а заданные на [с, д) функции а(у) н Ь(у) отображают [с, д) в сегмент [а„р). Если при любом фиксированном у из [с, д) функция 1(х, у) интегрируема по х на сегменте [а(у), Ь(у)), то, очевидно, на [с, г() определена функция ыа~ 1(у) = [ 1(х, у) дх, аиь (7.1') представляющая собой интеграл, зависящий от параметра у, у которого пределы интегрирования также зависят от этого параметра.
Теорема 7.5 (о непрерывности интеграла по параметру). Пусть функция 1(», у) непрерывна на прямоугольнике П, а функ- за», яа Доказательство. Согласно предыдущей теореме 7.2 функция непрерывна на [с, д). Поэтому она интегрируема на этом сегменте. Справедливость формулы следует нз равенства повторных интегралов, поскольку оба они равны двойному интегралу )) 7(х, у)дхду (см. гл. 3). Теорема доказана.
и Теорема 7.4 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) непрерывна на прямоугольнике П и имеет на нем непрерывную производную (и'(х, у). Тогда определяемая равенством (7.1) функция 1(у) дифференцируема на [с, с()' и Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров ции а(у) и Ь(у) непрерывны па сегменте [с, й]. Тогда функция ь(у) 1(у) = ] 1(х, у) йх непрерывна на (с, с(]. а(у) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Зафиксируем произвольное у, нз сег- мента (с, сс]. Тогда в силу свойства аддитивности интеграла ыу«) ыу) аос) 1(у)= ~ ~(х, у)йх+ ~ ~(х, у)с(х — ~ ~(х, у)йх. а(у,) ь(у«) а(у,) Первый интеграл в правой части представляет собой интеграл, завнсяшнй от параметра у, с постоянным и пределами интег- рирования. Следовательно, он является непрерывной функцией от у и поэтому при у-«уе стремится к 1(у,).
Для двух других интег- ралов получаем оценки ь(у) ~ $ Пх, у) д ) < М]Ь(у) — Ь(у,и, ыу«) азс) ~ ] 1(х, у) дх ~ < М]а(у) — а(у,) ], а(у,) где М=зпр]1(х, у)]. Из непрерывности функций а(у) и Ь(у) п следует, что при у — «уо оба эти интеграла стремятся к нулю. Таким образом, 1(у) «1(уе) прн у-«.уе, Теорема доказана.
Докажем теперь теорему о дифференцируемости интеграла 1(у), определяемого равенством (7.1'). Теорема 7,6 (о дифференцируемости интеграла по парамет- у). Пусть функция 1(х, у) непрерывна вместе с производной у'(х, у) на прямоугольнике П, а функции а(у), Ь(у) дифференци- руемьс на (с, д]. Тогда интеграл 1(у), определяемый равенством (7.1*), дифференцируем по у на (с, й] и справедливо равенство ь(р) 1'(у)= ]" 1„(х, у)с(х+1(Ь(у), у]Ь'(у) — 1(а(у), у]а'(у). (7.3) а(у) Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольное уо н запи- шем соотношение ыу,+м ыу,) — ~ (х«у, + Ь) с(х — ~ 7 (х, уе) с(х ~ (7.4) а(у,+ь) а(у«) (Ь выбрано так, что у +Ь'1с, й]). Так как ь(у,+ь) ан(«) 1(х, уе+Ь)йх= ] 1(х, уе+Ь)йх+ а(у,+ь) а(у«+ь) й 3. Несебствеииие иитеграаы, зависящие от параметра ьм) ьщ,+и + ) 1(х, У, + Ь)((х + ) 1(х, У, + Ь)((х, а (уа Иу) ь(у,) 7(ус+А) — 7(уа) (' 1(».
из+А) — 1(я,уь) Н ь ((х+ а(ув) ась) ь(у,+л) + — „' 1 1(х,„,+Ь) + — ' (' 1(х,у,+Ь) (х. 'ау а+а) муа В первом слагаемом правой части этого равенства согласно теореме 7.4 можно перейти к пределу под знаком интеграла при Ь-ь-О. Воспользуемся первой формулой среднего значения для интегралов и представим второе и третье слагаемые в виде а(уа) — 1(х у + й)((х =1($ у + ь) А,) А апь+л! где $ заключено между числами а(уе) и а(уе+Ь); ыу ).и — 1(х, У, + Ь) (!х = 1 (Я, У, + Ь) ыуэ где $' заключено между числами Ь(уе) и Ь(ус+Ц. Из этих равенств и из непрерывности функций а(у) и Ь(у) получаем, что при Ь-уО а(у,) — 1(х, Уь+Ь)((х — Лп(Уе), Уа) а(Уа); а(у,+и ьп(а+и — )'(» Уа+Ь)г( ЙЬ(Уе), МЬ'(Уа).
ыуа) Таким образом, в равенстве (7.4) допустим предельный переход при й-уО и справедлива формула (7.3). Теорема доказана. й 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В этом параграфе мы будем изучать случай равномерного относительно у~(у) стремления функции двух переменных г(х, у) к предельной функции 6(у) при х — (-+се. 'в(/ ° Гл. 7. Интегралы, аавнеяшне от параметров Пусть функция Г(х, у) определена на множестве Х, состоящем из пар (х, у), где х принадлежит множеству (х)=-Х, а у принадлежит множеству (у)=У, Х и У вЂ” множества числовой оси.
Предположим, что +по является предельной точкой множества Х (т.е. для любого числа а множества (а, +со) содержит по крайней мере одну точку из Х). Определение 1. Функция Г(х, у) стремится равномерно относительно у на множестве Х к функции 6(у) при х, стремящемся к +оо, если для любого е>0 найдется такое число ха, что для любых х, принадлежащих Х и удовлетворяюи(их условию х)х;, и для любых у из У выполняется неравенство [Р(х, у) — 6(у) [(е.
1. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра. Перейдем теперь к изучению несобственных интегралов. Пусть функция 1(х, у) определена при всех х)а, при всех у из некоторого множества (у)=У и прн каждом фиксированном у из У ннтегрируема на [а, + со), т. е. для каждого у из У сходится интеграл 7 (у) = [ ~ (х, у) йх. (7.5) Определение 2. Несобственньсй интеграл (7.5) называется сходящимся равномерно по параметру у на множе с т в е У, если функция Р(1, у)= [ Дх„у) с(х. а с Р (1, у) = ) Дх, у) ах (7.5) а равномерно на множестве У стремится к предельной функции 1(у) при г-с-+ по, Справедлив следующий критерий равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема 7.7 (крнтерий Коши).
Для того чтобы несобственный интеграл (7.5) сходился равномерно на множестве У, необходимо и достаточно, чтобы для любого е)0 существовало такое число ге)а, что при всех Г', с", превосходящих ге, и при всех у из У было справедливо неравенство ~ ') Г(к, у) дх ~ с, е. с' Справедливость этого критерия вытекает из теоремы 7.1, примененной к функции 261 й 3.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра Из критерия Коши, в частности, вытекает следуюший признак сравнения. Теорема 7.8 (признак Вейерштрасса). Пусть при всех у из У и всех х, принадлежащих полуоси [аь оо), где аг>а, для функ ции 7(х, у) выполнено неравенство 11(х, у) ~ <гр(х), где гр (х) — интегрируемая (в несобственном смысле) на 1а, оо) функция. Тогда интеграл (7.5) сходится равномерно. О Доказательство. Поскольку интеграл 1 гр(х)дх сходится, е то для любого числа е>0 найдется такое число 1еъаг, что при любых 1', 1" таких, что 1е<У<1", выполняется неравенство гр(х)дх< з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
