В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Вводные замечания. В математической физике и в ряде других разделов математики существенную роль играет вопрос об условиях, при выполнении которых тригонометрический ряд Фурье функции [(х) сходится (к этой функции) в данной точке х сегмента [ — тс, я], Еще в конце прошлого века было известно, что существуют непрерывные на сегменте [ — я, и] функции, удовлетворяющие условию [( — я)=[(я), тригонометрические ряды Фурье которых расходятся в наперед заданной точке сегмента [ — и, я] (или даже расходятся иа бесконечном множестве точек сегмента [ — и, и], всюду плотном на этом сегменте) 'о1.
ы) Первый пример такой функции был построен французским математиком Дю Буа Раймоном в 1876 т. $4. Простейшие условия равномерной сходимости Таким образом, одна непрерывность функции )(х) на сегменте [ — я, я] без дополнительных условий ие обеспечивает не только равномерную сходимость тригонометрического ряда Фурье этой функции, но даже сходимость этого ряда в наперед заданной точке указанного сегмента. В этом и в следующем параграфах мы выясним, какие требования следует добавить к непрерывности функции 7(х) (или ввести взамен непрерывности )(х)) для обеспечения сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции в заданной точке, а также для обеспечения равномерной сходимости этого ряда на всем сегменте ] — я, я] или на какой-либо его части. При изучении сходимости тригонометрического ряда Фурье возникает и другой вопрос: должен ли тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной (или даже строго непрерывной) на сегменте ( — я, п] функции 1(х) сходиться хотя бы в одной точке этого сегмента? Положительный ответ на этот вопрос был получен только в 1966 г.
1) Этот ответ является следствием фундаментальной теоремы, доказанной в 1966 г. Л. Карлесоном "> и решившей знаменитую проблему Н. Н. Лузина ">, поставленную еще в 1914 гл тригонометрический ряд Фурье любой функции 7(х), для которой существует понимаемый в смысле Лебега интеграл ~ 7» (х) йх, сходится к этой функции почти вс>оду на сегменте я] >з> Из теоремы Карлесона вытекает, что ряд Фурье не только любой кусочно непрерывной, но и любой интегрируемой на сегменте ( — и, я] в собственном смысле Римана функции !(х) сходится к этой функции почти всюду на сегменте ( — тт, и] (так как для такой функции существует интеграл ] 7»(х)йх в смысле Римана, а следовательно, и в смысле Лебега).
Заметим, что если функция 1(х) интегрируема на сегменте ] — и, я] не в смысле Римана, а только в смысле Лебега, то тригонометрический ряд Фурье этой функции может не схо- "> Л. Карлссон — современный шведский математик. Полное доказательство теоремы Карлесона можно найти в сборнике переводных статей серии «Математика» (т. 11, Ж 4, 1967, с. 113 †1). ои Николай Николаевич Лузин — советский математик, основатель современной московской математической школы по теории функций (1883 — 1950), Постановку проблемы Лузина, решенной Карлесоиом, и других его проблем можно найти в кинге Н.
Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд» (Мл Лс Гостехиздат, !951). ио Определение интеграла в смысле Лебега и сходимости почти всюду на данном сегменте будет дано в ч. 3. Гл. 6 Ряды Фурье — + йт ([аасоИх]+ [Ьа з)пйх]), (ое) Ч ! 2 а=! (8.4!) сходится равномерно на сегменте [ — л, л], так как отсюда будет вытекать как равномерная на сегменте [ — л, л] сходимость самого тригонометрического ряда Фурье функции )(х), так и сходимость этого ряда (в силу следствия 5 из п. 3 $ 3) именно к функции 1(х). В силу признака Вейерштрасса (см. теорему 2.3) для доказательства равномерной ва сегменте [ — л, л] сходимости ряда (8.41) достаточно доказать сходимость мажорирующего его числового ряда "! Построение примера А.
Н. Колмогорова можно найти на с. 412 — 421 книги Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» (Мг Физматгиз, 1961), "! При этом функция Р(х) может оказаться не определенной в конечном числе точек сегмента (а, Ь). В этих точках мы доопределим ее произвольным образом (например, положим раиной полусумме правого и левого предельных значений).
диться ни в одной точке сегмента [ — л, л]. Первый пример интегрируемой на сегменте [ — л, л] в смысле Лебега функции 1(х) со всюду расходящимся тригонометрическим рядом Фурье был построен в 1923 г. советским математиком А. Н, Колмогоровым "!. 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Определение 1. Будем говорить, что функция [(х) имеет на сегменте [а, Ь] кусочно непрерывную производную, если производная Гг(х) существует и непрерывна всюду на сегменте [а„Ь], за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция ((х) имеет конечные правое и левое предельные значения "1, О п р е д е л е н и е 2.
Будем говорить, что функция [(х) имеет на сегменте [а, Ь], кусочно непрерьгвную производядн у ю и о р я д к а п~1, если функция 1(я '> (х) имеет на этом сегменте кусочно непрерывную производную в смьгсле определения 1. Т е о р е и а 8.9. Если функция у(х) непрерывна ни сегменте [ — л, л], имеет на этом сегменте кусочно непрерывную производную и удовлетворяет условию )( — л) =Г(л), то тригонометрический ряд Фурье функции г(х) сходится к этой функции равномерно на сегменте [ — л, л].
Более того, ряд, составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции [(х), сходится равномерно на сегменте [ — л, л]. Доказательство. Достаточно доказать, что ряд, составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции 1(х): зоу й 4. Простейшие условия равномерной сходимости О (]а„] + ]Ь,]), а=! (8.42) Обозначим через аа и рь тригонометрические коэффициенты Фурье функции ['(х), доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производная функции )(х) ">. Производя интегрирование по частям и учитывая, что функция ((х) непрерывна на всем сегменте ( — и, и) и удовлетворяет соотношениями 1( — и) =1(п), получим следующие соотношения: Л я аа = — ~ [' (х) сох >тхс[х = >с — ~ )".
(Х) з>п лх>(х = лЬь; 1 ! — ) [ (х) 51п >тхс(х= — Й вЂ” ~ ~(х) созйхс]х = — йпа, 1 г 1 которые связывают между собой тригонометрические коэффици- енты Фурье функции ('(х) и самой функции [(х) '">. Таким образом, ]аа]+ ]Ь„] = — + —, ] ста] (])ь( Ь й и для доказательства сходимости ряда (8,42) достаточно дока- зать сходимость ряда а 1 (8.43) Сходимость ряда (8.43) вытекает из элементарных неравенств 'з> (8.44) ы> Например, можно положить функцию р(х) в указанных точках равной полусумме правого и левого предельных значений.
'т> При интегрировании по частям следует разбить сегмент [ — л, я] на ко. печное число не имеющих общих внутренних точек частичных сегментов, на каждом из которых производная Р(х) непрерывна, и, беря формулу интегркрования по частям для каждого из этих частичных сегментов, учесть, что при суммировании интегралов по всем частичным сегментам все подстановки обратятся в нуль (вследствие непрерывности [(х) на всем сегменте [ — и, и] и условий [( — я) =[(и)). "> Мы исходим из элементарного неравенства (а( ]Ь[ « (аз+Ь')/2, вытекающего иа неотрицательности величины (]а] — ]Ь])'.
Гл. 8 Ряды Фурье и нз сходнмости рядов ~)~ ~(а'+ рть), ь-! ь 1 (8.45) первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно непрерывной функции 1'(х), а второй — в силу интегрального признака Коши — Маклорена (см. п. 4 $2 гл. 1). Теорема доказана. 3 а меч ание.
Если функцию [(х), удовлетворяющую условиям теоремы 8.9, периодически (с периодом 2п) продолжить на всю бескоаечную прямую, то теорема 8.9 будет утверждать сходнмость тригонометрического ряда Фурье к так продолженной функции, равномерную на всей бесконечной прямой. 3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье.
Прежде всего докажем следующую лемму о порядке тригонометрических коэффициентов Фурье. Лемма. Пусть функция 1(х) и все ее производные до некоторого порядка т 1т — целое неотрицательное число) непрерывны на сегменте [ — п, и] и удовлетворяют условиям )( — и) =Пи)* Г( — и) =~ (.); (8.46) Р")( — я)-Р! )(и). Пусть, кроме того, функция 1(х) имеет на сегменте [ — и, н] кусочно непрерывную производную порядка т+1. Тогда сходится следующий ряд: Ю ~" й (!аь! + !Ьь!), е-! (8А?) "! Прн нвтегрярованяя во частям сегмент 1 — п, к) следует разбить вя конечное число не имеющих общих внутренних точек частнчнмх сегментов, нв в котором а„и Ьь — тригонометрические коэффициенты Фурье функции [(х). Доказательство. Обозначим через аь и рь тригонометрические коэффициенты Фурье функции )ч +')(х), доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производной порядка и)+1 функции [(х). Интегрируя выражения.для аь и рь пт+1 раз по частям и учитывая непрерывность на всем сегменте [ — и, и] самой функции Г(х) и всех ее производных до порядка )и, а также используя соотношения (8.46), установим следующую связь между тригонометриче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
