В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Преобразование Фурье В44 то 1(»+ О) 1 !' =- — ! ((х+О) — г(и; з!и Аи 2 лн' и о 1(» — О) ! г ян Аи — ) (х — 0) — йи. 2 и Вычитая последние два равенства из (9.5), получим ~6 (1) ! 11 1(»+0)ч 1(» О) 2 = — [ [1(х+и) — 7(х+О)! — "" "Йи+ л,! и о + — [ [)(»+и) — Г(х — О)) з'н и ди. (9.6) л й Так как функция 1(х) удовлетворяет справа условию Гельдерн порядка а!, то существует постоянная М! такая, что для достаточно малых положительных и будет выполнено неравенство 1)(х+и) — )(х+О) [~М!ич, 0<а,<1.
(з) Аналогично из условия Гельдера слева порядка аз получаем неравенство 11(х+и) — 1(х — О) [ <М»1и["', 0<а»~1, (ее) для всех достаточно малых по модулю отрицательных и. Пусть М=гпах(Мь Мз), а=пни(а!, а»). Тогда неравенства (е) н (*е) можно записать в виде одного: '1[(х+и) — [(хьО) [ ~М ~ и ~" (9.7) при !и[<6, где 6>0 достаточно мало. Перепишем соотношение (9.6) в следующем виде: А ь 16()) -! Ю- ""+" +1(" "= — 'Г[)(х+и)— 2 л л — А в — Г(х+ 0)1 — Ни+ — ! [((х+и) — Г(х — 0)] — е(и + И л ! и + — ! у (х+ и) з(и— ! Г з!и Аи л И !и!)з $1. Предстаиление функции интегралом Фурье 1(в+О) (' в!пАи 1 У(л — О) (' в1нАи л ) и л,) и (9.8у Пусть фиксировано произвольное и>0, а 6 выбрано из услоМба е вия — ( — и так, чтобы при )и((6 было справедливо (97).
ла 4 Оценим первые два интеграла в правой части (9.8). Пользуясь (9.7), получим а о — ! 1г11(х+и) — )(х+0)) — "" г(и!< — ~ (~(х+и) — 7'(х+0)) — < гг 1) и 1 л,) и о о о е — ~ и' Чи= —. М М6" л ла о Аналогично (9.9р Для оценки третьего интеграла в правой части (9.8) рассмотрим функцию — при 1и)) 6; г)(и) = л и 0 при )и1(6. Функция д(и) принадлежит классу Ь1( — оо, ее), а поэтому в силу леммы Римана 11пт ~ д (и) з(п Аи Ни =! пп — 1 1'(х+ и) — гйв = О.
1 Г в1ц Аи — Ф 1и~~в — ) Г17(х+и) — ~(х — 0)1 — "" ди1< — С 11(х+и) — 1(х — 0)1 — "< 1и! о < — ~~ 1и)и — 'г( = —. ла Поэтому в силу выбора 6 — ' ~ '1 тх+ и) — Цх+ 0)1 — "" Аи )и ~+ л (,) и о о + — 1 Г [1" (х+и) — Г(х — 0)) — "" " йи~( — ' л,) и 1 2 Гх. 9. Преобразование Фурье — ((х+и) — "" и йи!С вЂ” ' ° (9.10) авиа о Далее, япАи (' япАи (' япт и и т о е при А-+-ео.
Отсюда следует, что для фиксированного нами произ. вольного е>0 и рассматриваемой точки х найдется Уз такое, что 0 — о ! 1(х+0) (' япАи ! ! 1(х — О) (' япАи / е о О, при АъУе. Пусть )1)=пзах (й(ь Уе). Тогда, подставляя (9.9) — (9.11) в (9.8), получаем, что при А~ У л ! °- 1(х+ О) +1(х — О) ! с — А Теорема доказана. Замечание. Требования, налагаемые на функцию г(х)' в теореме 9.1, можно несколько ослабить. Определение 2. Будем говорить, что функция )(х), заданная в некоторой проколотой окрестности точки х, удовлетворяет в точке х условиям Дини, если: а) в точке х существуют оба односторонних предела Г (х+ О) = 1пп ~ (х+ и), Г (х — О) = ! пп ((х — и); « о+о е.~о+о б) для какого-нибудь положительного значения е оба интег- рала ((х — и) — /(х — О) и о 1 (х+ и) — / (х+ 0) йи, и о сходятся абсолютно.
Ясно, что если функция )(х) н слева условию Гельдера удовлетворяет в точке х справа ~((х+и) — ((х~0) ~ кМ!и~", 0(а~1, Но это и означает, что для фиксированного нами произвольного е)0 существует число У, такое, что при А~ У, % !. Прелстааление функции интегралом Фурье то, поскольку )!(х+и) — ! (х~о) ! М и )и! для функции )(х) выполнено и условие Дини. Обратное, конечно, неверно.
Можно доказать, что условие Дини тем не менее обеспечивает разложение функции г(х) в интеграл Фурье в данной точке. Сделаем некоторые выводы из полученных результатов. При условии у(х)ен1.1( — оо, ое) у функции ((х) существует преобразование Фурье я(Х) = ) Г(х)исехг(х; обозначим его так: д(Х)=Р(~), где г" — оператор Фурье, применяемый к функции !. Прн выполненив условий теоремы 9.1 н условия ! (х) = )(х+О)+ )(х — О) как мы доказали, функция )(х) разлагается в интеграл Фурье, т. е.
справедлива формула О ! (х) = — ! д (Х) е — гь* Ю. 2и,! Эту формулу называют обратным преобразованием ! Ф у р ь е. Обозначим ее так: !" (х) = — г" (д), где г=' — обрат2и ный оператор Фурье, применяемый к функции д(Х), т. е. к образу Фурье функции )(х). Отметим, что хотя формулы преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье внешне похожи (см. формулы (9.2) и (9.4)), по существу они различны: в первой из них интеграл существует в обычном смысле (поскольку ~~А1( — со, ео) ), а во второй, вообще говоря, лишь в смысле главного значения. Кроме того, равенство (9.2) — это определение функции д'(Х), а в равенстве (9.4) содержится утверждение о том, что интеграл равен исходной функции )(х).
3. Примеры. Рассмотрим прямое и обратное преобразования. Фурье для случаев четной и нечетной функций. !'. Случай четной функции ((х). Очевидно, в случае,. если )(х) =(( — х), нз формулы (9.2) получаем И д(Х)= ) ~(х)(сонях+(з(пХх)4х=2) г(х)созе!(х. 6 е Гл. 9. Преобразование Фурье Отсюда следует, что д(Л) тоже четная функция.
Поэтому 7(х) = — ~ д(Л) сов ЛхбЛ = — ~ п(Л) сов ЛхЮ. ! "Г 1 Г Ф о Первую нз этих формул называют п р я м ы м коси н у с-п р е о бр а зов а н и ем Фурье функции Г(х), а вторую — обратным косинус-преобразованием Фурье. 2'. Случай нечетной функции Г(х). Пусть )(х)= = — )( — х).
Тогда, очевидно, получим п р я м о е с и н у с - п р ео б р а.зованне Фурье д (Л) = 2 ) 7 (х) и п Лх с(х о н обратное синус-преобразование Фурье у (х) = — ~ д (Л) яп Лх Ю. г о 3'. Пусть ((х)=е ~'*', у>0. Тогда Р(~)=д(Л) = ) е ~рве"здх=2 ) е-ззсозЛхо(х. Ф о С помощью двукратного интегрирования по частям находим Р(1) =а(Л)- „ 4'. Пусть (! при ~х~ ч,. а; ~0 при ~х!)а. Тогда а е'""' — о оно 2з!вЛ4 д(Л) = ~ Г (х) е'"' дх = ~ е'" о(х ° оХ Л Заметим, что п(Л) не принадлежит Л1( — об, оо). $2.
НЕКОТОРЫЕ СВОНСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Установим некоторую связь между скоростью убывания функции Г(х) и гладкостью (дифференцируемостью) ее преобразова. ння Фурье, а также между гладкостью функции и скоростью убывания ее преобразования Фурье. $2. Некоторые свойства преобразования Фурье Утверждение 1.
Пусть для целого неотрицательного й (1+ <х<)е((х)енЕ<( — оо, со). Тогда преобразование Фурье д(Л) 4<ункции )(х) дифференцируемо я раз, причем,его производную по Л любого порядка т=1, 2, ..., й можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла (9.2), т. е. по формуле д<"4:(Л) ) 1"(х)(<х)'"еплдх, т=1, 2, ..., й.
(9.12) ы Доказат(ельство. Для любого т= — 1, 2, ..., и справедливо неравенство 1(е< "7(х))ха~< = <е<а" (Ех)'" Цх)) < (1+ <х(ь) << (х) ~. Интеграл ) (1+ (х1')17(х) «(х сходится. Из сходимости этого интеграла и из признака Вейерп<трасса (см. теорему 7.8) вытекает равномерная по Л на каждом сегменте сходнмость интеграла ) 1(х) еол<1х. Из теоремы 7.14 вытекает возможность проднфференцировать этот интеграл по Л до порядка т=1, 2, ..., я, а также справедливость формулы (9.12). Утверждение доказано.
Утверждение 2. Пусть функция 1(х) имеет в каждой точке х все производные до порядка й~1 включительно, причем 1(х) и все <<'">(х), т=!, 2, ..., й, абсолютно интегрируемы на ( — оо, оо) и для любого т=О, 1, ..., <с — 1 1<со(х)-ьО при <х<-~-оо ((<в<(х)= = — )(х) ). Тогда <й(Л)< =о(<Л<-а) при <Л~ — оо, где й<(Л) — преобразование Фурье функции )(х). До к аз ат ель ство. Пусть А>О, тогда л ~ $<а< (х) е""' <(х = 1у<а — Н (х) е<ьа) — л — <У<а и (х) (<Л) е<а" )" и + л +... +( — 1)аЛа ) Цх)е<"а<1х.
Устремляя А к бесконечности и учитывая стремление к нулю про взводных функции )(х), получим О О ~ у<а>(х) в<вас(х =( — <Л)а ~ 7(х) е<лайх=( — (Л)' й<(Л). Гл, 9. Преоьрааоваиие Фурье Согласно лемме 3 преобразование Фурье функции (<а>(х) стремит- ся к нулю. Поэтому !у (Ъ) ! =о(!Ъ!-'). Утверждение доказано. Утверждение 3 (равенство Планшереля'!). Пусть фуюсция 1(х) и ее вторая производная абсолютно интегрируемы на ( — оо„оо), 1(х) — ьО, ~'(х)-ьО при (х)-ьоо.
Пусть функция ф(х) абсолютно интегрируел!а на ( — оо, оо). Тогда О ~ )(х)ф(х)дх= — ~ д(Ъ) ар(Ъ) дЪ, где к(Ъ)=Р(1), ф(Ъ)=Р(ф) — преобразования Фурье функций ! и ф соответственно; черта над ф(Ъ) означает комплексное сопряжение. До к аз а тельство.
По формуле обращения 1(х) О ! 1 1 = — р (д) = — ( д(Ъ) е — '""йЪ, причем согласно утвержде2п 2п 4 Э нию 2 ~у(Ъ)'(~с(1+) Ъ1)-а Поэтому интеграл для 1(х) сходится абсолютно н равномерно,(относительно х) на ( — оо, оо). Умножая обе части формулы для 1(х) на ф(х) н интегрируя по х от — Л до А, получим 4 А О ~У() р(.)д = — '~ р( )~ ~д(Ъ) — йЪ~ дх. — Я вЂ” А В силу равномерной по х иа [ — Л, А) сходимостн интеграла ~ у(Ъ)е —" дЪ можно поменять порядок интегрирования в этой формуле спрана: а л ~ 1(х)у(х)йх= — ~ ~ ~ ф(х)е-'ь'дх~ д(Ъ)дЪ, (9.!Зр О а — А где черта означает комплексное сопряжение.
Согласно оценке ~ ) ф(х)е — 'лайк~ (д(Ъ)(<с(1+ !Ъ!) ( !ф(х)(дх — А — 'О о М. Плаишерель — швейцарский математик (1885 — 1967). й 2. Некоторые свойства преобразования Фурье 351 и признаку Вейерштрасса интеграл в правой части (9.13) сходится равномерно по А на всей прямой. Применяя теорему 7.9, в (9.13) можно перейти к пределу при 1А~- со под знаком интеграла. Получим 1 ~(х)а(х) ) =,~ 1 Ы(Л)Ж(Л) (Л, что и требовалось доказать.
В заключение докажем теорему Котельниковаз~, играюшую важную роль в теории радиосвязи. Для этого сделаем несколько предварительных пояснений. Пусть функция 1(х) определена на сегменте [ — 1, 11 и периодически (с периодом 21) продолжена на всю прямую; пусть эта функция абсолютно интегрируема на периоде. Разложим 1(х) в ряд Фурье (который в случае, если 1(х) удовлетворяет дополнительным условиям, сходится к ней): О О и 1'(х)= — +~1аасоз — Ьх+Ьаз!и — Ьх~ = ~ саа 2 а.м' 1т Функцию 1(х) называют сигналом, числа (ае, ае, Ьь) илн (са) — спектром сигнал а, а величину й/21 — частотой сигнала у. Разложение периодической функции в ряд Фурье называют г ар м он ичееки м анализом данной функции.
В случае периодической функции 1(х) ее спектр дискретен, т. е. состоит из не более чем счетного множества значений. Если функция не является периодической, то ряд Фурье, как мы знаем, может быть заменен интегралом Фурье функции 1(х) и Функцию 1(х) можно по-прежнему называть сигналом, а функцию д(Л) — спектром си г н а л а (в данном случае спектр непрерывен) и Л вЂ” частотой сигнала. На практике важной задачей является задача восстановления сигнала по спектру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
