В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ляется прямым следствием сходимости для любого й=!, 2, ... хе — 1 —— ..., гт' числового ряда '~ (па( н и сходимости для лю- бых эь эт, ..., эп ряда вытекающей из неравенства Бесселя (8.90), записанного для недг( прерывной функции дх', далее ... дх',н Тот факт, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88)' сходится именно к функции 1(х), вытекает из полноты кратной тригонометрической снстемы44). В самом деле, если бы ряд (8.88) равномерно сходился к некоторой Функции й(х), то из возможности почленного интегрирования такого ряда вытекало бы, что все коэффициенты Фурье функции д'(х) совпадают с со.
ответствующими коэффициентами Фурье функции 1(х). Но тогда разность (1(х) — д(х)) была бы ортогональна всем элементам кратной тригонометрической системы н (в силу полноты этой системы) равнялась бы нулю. Теорема доказана. 3 а меч а н ие. Теорема 8.17 может быть уточнена. Т е о р е м а 8.18.
Если функция 1(х) периодична по каждой из переменных (с периодом 2п) и принадлежит в Еп классу Гельдера С" при а)Лг/2, то кратный тригонометрический ряд Фурье 1(х) сходится (к этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве ЕЯ, Выяснение условий неабсолютной сходимости кратного три. гонометрического ряда требует привлечения более тонкой техники. ен Полнота кратной тригонометрической системы сразу вытекает из полноты составляющих ее одномерных тригонометрических систем, произведением которых она является.
Глава 9 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Если функция г(х) задана на всей числовой прямой или на полупрямой и не является периодической нн с каким периодом, то эту функцию естественно раскладывать не в тригонометрический ряд Фурье, изученный в предыдущей главе, а в так называемый интеграл Фурье. Изучению такого разложения и посвящена настоящая глава, Приведем сначала некоторые наводящие соображения. Пусть периодическая с периодом 2! и первоначально заданная на сегменте [ — (, !) функция ((х) разложена в ряд Фурье: 0 ! (х) = — + ~ ! [ а» соз — йх+ Ь» зт — йх), Д г й-! где ໠— — — ~ ! (!)2! и» = — ~ 1 (!) соз — й! !((, Ь» —— 1 г 1 г а — ! ( 1 с . и = — ~~ !(!) з(п — а(о!.
! Формально подставив выражения для а» н Ь» в разложение функ- ции !(х), получим О ! ~ (х) = — ( ~ (!) !((+ Р ( — ( ~ (!) соз —" Ьх соз — й! !(! + 2! .3 ~е1 ( 1,) ! ! — ! »-! -! 1 + — С !(!) з[п — йхяп — а!о!1 = — [ !(!) й+ 1,) 1 2С,! ю 1 + — ~~ ~~ ~(!) ~ со» вЂ” Ьхсоз — й(+з!п — 'ахз(п — й! ~ ог, а . и .
и ! а'.а,) »-1 ! 339 5 !. Представление функции интегралом Фурье или Ф ~(х)= — С ~(() г((+ — 1 — С ~Ясов — й(~ — х) ЙЕ. З 3 и Хин 1,) а=1 Предположим, что функция )(х) абсолютно интег~ируема на всей прямой, т. е. сходится несобственный интеграл ~, Щ)!а(, и пе. рейдем чисто формально в равенстве для у(х) к пределу при г — ь. -+оо.
При этом первое слагаемое правой части равенства стре. мится к нулю, а второе слагаемое можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла ~д(Л)г(Л от функции о д(Л)= — ' ~ У(О) Л(( — ) и, — Ю если положить Ла = — й, ОЛ = —. Е Поэтому формальный предельный переход приводит к равенству )(х)= — ~т(Л ~ ~ЯсозЛ(г — х)г(г. о Это равенство и называется формулой Фурье. Если положить О ак = — ~ Г (~) соз И г((, Ьь = — ~ у (() яп Л( Ш, то формулу Фурье можно записать в ниде 7(х)= ) (ахсозЛх+ Ь„я'пЛх) т(Л.
о Перейдем теперь к строгому изложению теории преобразования Фурье. $1. НРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ Всюду в дальнейшем подчиним функцию у(х) требованию абсолютной интегрируемости на прямой ( — оо, оо), т. е. потребуем, чтобы сходился несобственный интеграл Гл. 9. Преобразование Фурье [ [Г'(хЯйх. (9.
1) Определение 1. Будем говорить, что функция 1(х) принадлежит на и рям ой ( — оо, оо) классу Ь, и писать 1(х)~ е-:Е1( — оо, оо), если функция 1(х) интегрируема (в собственном смысле Римана) на любом сегменте (говорят, что 1" (х) — локально интегрируема) и если сходится несобственный интеграл (9.1). 1. Вспомогательные утверждения. Заметим, что в дальнейшем комплексная функция д(Л) вещественного аргумента Л будет рассматриваться как пара вещественных функций и(Л) и с(Л): у(Л)=и(Л)+(о(Л).
Непрерывность д(Л) в данной точке Л понимается как непрерывность в этой точке каждой нз функций и(Л) и о(Л). Лемма 1. Если [~11( — оо, оо), то для любой точки Л числовой прямой ( — оо(Л<оо) существует несобственный интеграл й д (Л) ) е'~"*~ (х) йх,1 (9.2) называемый преобразованием Фурье (или образом Ф у р ь е) функции 1(х).
Функция д(Л) непрерывна по Л в каждой точке числовой прямой. Доказательство. Из равенства [1(х)е""|=)[(х) ! и из сходнмости интеграла (9.1) вытекает существование несобственного интеграла д'(Л): Ю О 1у (Л) [ = ~ ) ' *Г (х) йх ! ( $ [) (х) [дх < Из признака Вейерштрасса (см, теорему 7.8) вытекает равномерная по Л сходимость интеграла (9.2); отсюда в силу непрерывности е'" по Л легко следует непрерывность д(Л) на каждом сегменте, т. е.
в каждой точке числовой прямой. Л е м м а 2 (лемма Римана). Пусть функции 1(х) — локально интегрируема на ( — ео, +оо) и [а, Ь) — произвольный фиксированный интервал числовой прямой; тогда ь )е((х) е'" дх-~. 0 Р при Л- оо (Л вЂ” вещественное число). Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольное число е)0. Так как функция 1(х) по условию теоремы локально интегрируема на числовой прямой„то 1(х) интегрируема на заданном сегмен. 341 Е 1. Представление функции интегралом Фурье те [а, Ь]. Поэтому для выбранного числа е)0 найдется такое разбиение Т сегмента [а, Ь] на частичные сегменты [х» и хь] (1=1, 2, ..., а, а=ха<х,«...х,=Ь), что для нижней суммы Ларбу зт справедливы неравенства 0 ~< ] / (х) г/х — зг < а. а Напомним, что зг=~~ т/Дхи / 1 где т = гп1 /(х), Дх/=х/ — х/ ы не Ь*/ „а/~ Рассмотрим кусочно постоянную на сегменте [а, Ь) функцию ,р(х)=т/, при хен[х/ о х/], /=1, 2, ..., п, р(ха)=тп Очевидно, //(х) <1(х) иа [а, Ь] и для всех вещественных чисел /ь О< /~](х)е'а//х — ) р(х)е' //х[< ] ]/ (х) — р(х)] ° ]е/ьл[//х= а а а ь ь = ]г [[ (х) — р (х)] с/х = ]г [ (х) //х — зг ( е.
Но для фиксированного нами разбиения Т ь а "/ а //(х) е/ьа,/х " т,в/к~с(х (т в/аа) [ /,. (1 а //ь а/ а ЬП3 / 1 ь при /,- оо. Таким образом, при /ь-~.ьь интеграл ] р(х)'е/ьадх а стремится к нулю. Лемма доказана. Л е м м а 3. Преобразование Фурье у(Ц функции /(х) еи ен(./( — ео, оо) стрел/итсл к нулю лри ~)ь]-гьсо, т. в. 1пп ] д (Х) [ = О. /Ц» о Гл. 9. Преобразование Фурье Доказательство.
Фиксируем произвольное число е)0 В силу сходнмости интеграла (9.1) можно выбрать число А>Ь такое, что — А О 1)(х)1йх+ ) 1)(х)1йх(— Прн таком А справедливо неравенство О л !д(Л)( = ~ ~ Т(х)е""зйх( < ~~ 1(х)г" йх ( +— 2 » — л Последний интеграл при достаточно большом 1Л( может быть е оценен сверху числом — (см. лемму 2). Так как е произволь- 2 но, то 11щ (у(Л)1=0. Лемма доказана. 1Ц Ф В качестве следствия из леммы 3 получаем » Ю 1пп ( 1(х)созЛхйх=О, 1пп ( Т(х)з(пЛхйх=О. з~» 4 Х Ф а 2.
Основная теорема. Формула обращения. Определение 1. Для каждой функции 1(х) из класса 1.1( †, оо) назовем првдел 1пп — ~ д(Л)е азйЛ Игп — ~ ~ ~ гсав му(Г)й(~ йЛ и 2п и „2п — л — л (9.3) (при условии, что этот предел существует) р а з л о ж е н и г м.
ф у н к ц и и 1(х) в и н т е г р а л Ф у р ь г. Возникает вопрос о существовании разложения функции 1(х) в интеграл Фурье (9.3). Ответ дается следующей теоремой. Теорема 9,1. Если функция )(х)енЬ|(-ео, оо) и если г(х). удовлетворяет в данной точке х справа условию Ггльдвра порядка аь гдг 0<а~~ 1, а слева условию Гвльдгра порядка аа, где 0<аз<1, то в данной точке х выполнено равенство л Вщ — ' С д (Л) г- йЛ = ""+" +"" л с 2п,) 2 — л Таким образом, в каждой точке х, в которой значение 1(х) равно полусумме г(х) =, в частности, в каждой точке непрерывности 1(х), справедливо равенство % 1.
Представление Функции интегралом Фурье !(х)= — 1г д(Л)е — '" йЛ, 2п,1 (9,4) д (Л) е — алйЛ вЂ” ') е — ыь ~ ~ епъу (!) й! 1 йЛ 1 Г 1 2и 2и — А — А О В силу того что интеграл, заключенный в квадратные скобки, равномерно по Л сходится на любом сегменте ( — А„А), можно поменять порядок интегрирования относительно ! и Л. Воспользовав;шись равенствами е'ыг — и = сои Л(! — х) +1яп Л(! — х); л ь созЛ(! — х)йЛ "" "; ~ и!пЛ(! — х)йЛ=О, (1 — л) А л также заменой (=х+и, получим А о А — ~ "-'"'"'- — 5 ~5"""" 1"!)"'= 1 1 2и 2и — А Ф А и à — х ' и 'и — Ф вЂ” О Следовательно, при любом А>0 А о — ~ п(Л)е-алйЛ= — ~ у(х+и) "" йи+ 2и,! и 4 и + — ~ ~(х+и) — йи.
Я,1 и о (9.5) Поскольку О о о О .в котором несобственный интеграл понимается в смысле главного .значения, т. е. при симметричном стремлении пределов интегрирования к бесконечности. Доказательство. Поскольку яг(Л) — непрерывная функция, то при любом А>0 существует интеграл Гл. 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
