В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 30
Текст из файла (страница 30)
!'. Линейное свойство. Если для функций 7(х, у) и й(х, у) существуют криволинейные интегралы по кривой АВ и если а и 5 — любые постоянные, то для функции (а7(х, у)+рк(х, у)) также существует криволинейный интеграл по кривой АВ, причем ~ (и~ (х, у) + ~д (х, у)) й! = сс ) ! (х, у) й! + р ) и (х, у) й! . лв АВ АВ 2'.
Аддитивность. Если дуга АВ составлена из двух дуг АС и СВ, не имеющих общих внутренних точек, и если для функции !'(х, у) существует криволинейный интеграл по дуге АВ, то для этой функции существует криволинейный интеграл по каждой из дуг АС и СВ, причем ) ) (х, у) й! = ) у(х, у) й(+ ) ) (х, у) й!. лв лс св 3'. Оценка модуля ни те гр ал а. Если существует криволинейный интеграл по кривой АВ от функции !(х, у), то существует и криволинейный интеграл по кривой АВ от функции 1! (х, у) ~, причем ~ ~ ~ (х, У) й! ~ ~( ) 17 (х, У) ~ й!.
лв лв 4'. Формула среднего з н а ч ения. Если функция ! (х, у) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка М такая, что 1 7(х,у)й(=(У(М), лв еде ! — длина кривой АВ. Замечание 5. В полной аналогии с изложенной здесь теорией криволинейного интеграла на плоскости строится теория криволинейного интеграла в пространстве Е» (п>2). Гл.
4. Криволинейные интегралы 174 Примеры. Г. Найти длину дуги пространственной кривой Е, определяемой параметрическими уравнениями х=е — 'сов 0 у=е — 'яп1, г=е — ' при 0(М2п. Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода 1 1й. С помощью формулы для вычисления криволинейного интеграла первого рода, приведенной в замечании 2, получим ~ 1 Е(1 = ') )г' [(Е-'СОЗ 1)']2-р !(Š— 'ян1)12+ !(Е-")12 й = о = ') )'Š— "+Е 2'+Š— ""'е(1=!Г' 3 (! — Е '"). о 2'. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 1= ~ (х+у)е(х+(х — у)г(у, лв хе ев в котором А — часть эллипса — + — =1, у~О, А(а, 0), В(0, Ь).
а" Ь' Указанную кривую можно задать параметрическими уравнениями х=асоз1, у=Ьз!п1 при 01 < —. 2 Поэтому с помощью формул (4.5'), (4.5') получим н22 1 = ~ '1(а соз 1+ Ь яп 1) ( — а яп 1) + (а соз 1 — Ь з! и 1) Ь соз 11 е(1 = о аЬ ае+ Ье т — ае + Ье — яп(21)~+ ' ссв (21)1 2 4 а 2 Отметим, что подынтегральное выражение (х+у)г(х+(х — у)е(у является полным дифференциалом функции хт — ае и(х,у)= " +ху. 2 Как будет доказано в гл. 6, из этого факта следует, что интеграл 1 не зависит от кусочно гладкого пути интегрирования, соединяющего точки А и В (рассмотренная часть эллипса — лишь одна иэ таких кривых), и равен разности и(В) — и(А) =и(0, Ь) — и(в, 0) =— 2 Глава 5 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе будет рассмотрен вопрос об интегрировании функций, заданных на поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве Е', а также исследуется вопрос о понятии поверхности и понятии площади поверхности.
$ Е ПОНЯТИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ПЛОЩАДИ 1. Понятие поверхности. Определение 1. Отображение ) области 6 на плоскости на множество 6* трехмерно~о пространства называется гомеол~орфным, если это отображение осуществляет взаимно однозначное соответствие между точками 6 и 6*, при котором каждая фундаментальная послгдоватгльность точек 6 переходит в фундаментальную последовательность точек 6* и, наоборот, каждая фундаментальная последовательность точек 6* является образом фундаментальной последовательности точек б. О п р е дел е н не 2.
Отображение ) области 6 на 6* называется локально гомгоморфн ым, если у каждой точки 6 есть окрестность, которая гомгоморфно отображается на свой образ. О п р е д е л е н и е 3, Область б на плоскости Т называется э л е м е и т а р н о й, если эта область является образом открытого круга б при гомеоморфном отображении этого круга на плоскость Т. О п р е д е л е н и е 4. Связная область 6 на плоскости Т называется простой, если любая точка 6 имеет окрестность, являющуюся элементарной областью. О п р е д е л е н и е 5. Множество точек Ф пространства называется и о в е р х н о с т ь ю, если это множество является образом простой плоской области 6 при локально гомгоморфном отображении ) области 6 в пространство Е'. В дальнейшем мы договоримся называть о к р е с т н о с т ь 1о точ ки М поверх ности Ф подмножество точек Ф, принадлежащее окрестности точки М в ЕА Пример.
Пусть 6 — простая область на плоскости Оху (например, круг), (х, у) — координаты точек Менб, г=г(М) — непрерывная в 6 функция, 6* — график этой функции. Очевидно, отображение т области 6 на 6*, задаваемое соотношениями 17в Гл. Ь. Поверхностные интегралы х=и, у=о, г=г(и, о), является гомеоморфным отображением этой области на множество 6", а Ф=6* является поверхностью. Пусть на плоскости (и, о) задана простая область 6 и для всех точек этой области определены три функции: (5.1) х=х(и, о), у=у(и, о), г=г(и, о), илн, что то же самое, одна векторная функция (5.1') г=г(и, о), где г(и, о) — вектор с компонентамн х(и, о), у(и, о), г(и, о). Будем считать выполненными следующие д в а т р е б о в ания А: 1) функции (5.1) имеют в области 6 непрерывные частные производные первого порядка по переменным и и о; 2) всюду в области 6 матрица А= имеет ранг, равный двум.
Утверждение. При выполнении этих двух требований А множество Ф точек, определяемых уравнениями (5.1), представляет собой поверхность, т. е. является образом плоской области 6 п и локально гомеоморфном отображении 6 в Еа. усть Уе(иа, ое) — любая точка 6. Ясно, что малая окрестность этой точки отображается в малую окрестность точки М(хе, уе, ге), где хе —— х(ио, ое), уо=у(ие, ое), ге=я(ие, ое) (для этого достаточно, чтобы функции (5.1) являлись непрерывными в 6, что в нашем случае заведомо выполняется). Ясно также, что если У„(и„, о„) — фундаментальная последовательность точек в малой окрестности точки Уе, то последовательность образов этих точек М„(х„, у„, г„), где х„=х(У„), у = =у(У„), г„=г(У„), также является фундаментальной в Ф. Это сразу вытекает из непрерывности функций (5.1); например, разность (х.„.
— х„(=)х(У еа) — х(У ) ) может быть сделана меньше произвольного числа е>0 при р(У +о, У ) (б=б(в). Остается доказать, что при отображении, определяемом уравнениями (5.1), каждой точке множества Ф из достаточно малой окрестности точки М, 'отвечает определенная точка области 6 из малой окрестности точки Уа, причем любой фундаментальной последовательности точек (М,) из указанной окрестности точки Мо отвечает фундаментальная' последовательность (У ) точек 6. 177 4 !. Понятия поверхности и ее плошади Так как в каждой точке Уо(ие, ов)яб ранг матрицы (5.2) равен двум, то в этой точке тт)о отличен от нуля хотя бы один минор второго порядка матрицы (5.2).
Пусть это будет минор дк ду ди ди чьО в точке Л'е. 0(х, у) О(и, о) дх ду Объединяя это условие с первым из двух требований А, придем к выводу, что для системы ! х(и, и) — х= О; у(и, о) — у=О (5. 3) в окрестности точки Ме выполнены все условия теоремы Юнга— Ковалевского (см. $2 гл. 13 ч. 1). Поэтому система (5.3) нмеег в окрестности точки Мо единственное непрерывное и дифференцн- руемое решение ! и=и(х,у); о=о(х, у). (5.4) Это означает, что существует гомеоморфное отображение малой окрестности точки ттоенб на малую окрестность точки Р,(х,, у,) плоскости Оху, (В одну сторону это отображение задается непрерывными функциями (5.4), а в другую сторону — первыми двумя соотношениями (5.1), в которых функции х=х(и, о) и у=у(и, о) также непрерывны; непрерывность и тех и других функций обеспечивает перевод фундаментальной последовательности в окрестности одной из точек Уо илн Р, в фундаментальную последовательность в окрестности другов из этих точек.) Подставляя функции (5.4) в третью функцию (5.1), получим непрерывную в окрестности точки Ра(хш уе) функцию г=г(и(х, у), о(х, у))=ср(х, у).
(5.о) Эта функция осуществляет гомеоморфное отображение малой окрестности точки Ро(хш уо) плоскости Оху на малую окрестность точки Мв(хо, уо, гв)енФ. Можно сказать, что (5.5) проектирует Ф в малой окрестности точки Мо на плоскость Оху. Так как суперпозиция гомеоморфных отображений представляет собой снова гомеоморфное отображение, то гомеоморфно н отображение малой окрестности точки Уо~б на малую окрестность точки МоенФ. Таким образом, множество Ф точек, определяемых уравнениями (5,1), при выполнении этих требований А представляет собой поверхность. 178 Гл. 5.
Поверхностные интегралы 3 а м е ч а н и е 1, Поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.1), при выполнении первого из двух требований А принято на- зывать гладкой, а при выполнении второго нз требований А— ие имеющей особых точек. Итак, можно сказать, что поверхность Ф, определяемая урав- нениями (5.1), при выполнении этих требований А, является глад- кой и не имеет особых точек. 3 а м е ч а н и е 2. Попутно мы установили, что гладкая без особых точек поверхность в достаточно малой окрестности каж- дой из своих точек однозначно проектируется хотя бы на одну из трех координатных плоскостей, Рассмотрим поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.!), для которых выполнены два требования А. Записав уравнения (5.1) в векторном виде (5.!'), выясним геометрический смысл векторной функции г(и, о).
Если фиксиро- вать некоторое значение и=но=сонэ! из области 6, то уравнение г=г(и, оо) будет определять кривую на поверхности Ф, называедг мую координатной линией, а вектор — (и, оо) будет явди ляться касательным к этой линии. Аналогично при и=и,=сопз1 уравнение г=г(ио, н) будет определять другую координатную лидг нию, а вектор — (и„п) будет касательным к этой линии. Чедо рез точку Мо(хо уо, го), где хо=х(ио, оо), по=у(ио, оо), хо= =х(ио, оо) будут проходить обе указанные линии, Второе условие требований А, говорящее о том, что ранг мат- рицы (5.2) равен двум, т, е, условие отсутствия особых точек, дг дг означает, что векторы — (и„оо) и — (и., о,), компоненты котоди до рых составляют строки матрицы (5.2), являются линейно незави- симыми, т.
е, неколлинеарными. Это означает, что эти два векто- ра определяют плоскость, которая является касательной ил о с кость ю к поверхности Ф в точке М,. Нормальный вектор этой касательной плоскости называется вектором нормали .(илн н о р м а л ь ю) к поверхности Ф в точке Мо. Этот вектор дг может быть определен как векторное произведение векторов— ди дг и —, Таким образом, вектор до (5.6) !%И представляет собой вектор е д и н и ч н о й н о р м а л н к поверхности Ф. В силу требований, наложенных на функции (5.1), этот вектор непрерывен по и и н в некоторой окрестности произволь- 4 !. Понятия поверхности и ее площади 179 у' Ае " А.
Мебиус — немецкий математик (1790 — 1888). ной точки поверхности. В этом случае говорят, что в окрестности любой точки гладкой поверхности без особых точек существует непрерывное векторное поле нормалей. В целом на всей поверхности такого непрерывного поля нормалей может и не существовать. П р и м е р. Л и с т М е б и у с а. Если склеить прямоугольник АВВ'А' так, чтобы А совпала с В', а В совпала с А', получится поверхность, называемая л и сто м М е б и ус а '!. При обходе по листу Мебиуса нормаль меняет направление на противоположное (см. рнс. 5.1). В дальнейшем будем рассматривать только такие поверхности Ф„на которых в целом существует непрерывное поле нормалей.
Такие поверхности принято называть дв усто роя н и ми. Поверхность Ф называется п о ли о й, если любая фундаментальная д последовательность точек этой поверх- А ности сходится к точке этой поверх- В,А ности. Поверхность Ф называется о г р а- А,В' н и ч е и н о й, если существует трехмерный шар, содержащий все точки этой поверхности. Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид — примеры Рис. 8.1 полных поверхностей. При этом сфера и эллипсоид — ограниченные поверхности. Круг без границы, любое открытое связное множество на сфере — неполные поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
