В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 25
Текст из файла (страница 25)
иг Гл. 3. двойные и и-кратные нитегрклы Легко видеть, что О 1 О 1 Л :! 1...1 йе! Тц —— О: 1 =1, йе1ТТ= О: 1 1 ! поэтому преобразования Тц и Т невырождеиные. Лемма 2. Для преобразований Тц и Т при любой непрерывной в области Р функции 1(у) справедлива формула замены переменных (3.28). Доказательство леммы 2. Пусть »с — и мерный прямоугольный параллелепипед, содержащий Р, функция г'(у) имеет вид р(у)=~ ~Т(у) прн уев Р, О при у е= !с'~ Р. Р(у) ду= ь, ьс-ю ко+1 ьк ьт =Г. 1 1 ..Й (у„.у.)Мйу, .— ° ь. а С вЂ” 1 кК+З кк 'С (3.23» Достаточно доказать, что ) г" (у)йу= ) Р(Тх)~йе1Т~йх, (3.28» т 'и где символом Т обозначено одно из преобразований Тц или Т~'.
Заметим, что если Я вЂ” прямоугольный параллелепипед (уь: ак(уь~(Ьы 1=1, 2...,, и), то (Ттк)-'тт — снова прямоугольный параллелепипед хь. аь ( х, < Ьм А ~: 1, — < х~ < — при Л > О и — < х, < И~ ь| ь| Х Х Х < ~' при Л( О~, Х а 1Тц) 1)т — кубируемая область (хк, а„(хь(Ь,, Ьчь(, а,— х~(х~(Ь;-х;). На основании формулы повторного интегрирования (3.18) из $ 5, Замена переменных в а-вратном интеграле Применяя к однократному интегралу по переменной с формулу замены переменной у;=Лх; для случая преобразования Т н ус=хс+хс для случая преобразования Тц (см $5 гл.
9 ч. 1), получим а) для случая преобразования Т м с ~Р(ум ..., у„)Ыус= Ос а ( Р(у„..., д ц Лхс, у,+„..., у„)Лйхс при Л >О; (3.30) ) Р(у„..., у, „Лх„у,,, ..., у„)( — Л) йх, при Л( 0; Ь. х б) для случая преобразования Тсс ас а -х Р(у„..., у„) с(ус = ) Р(у„..., дс, х; + хс, ус+„..., у„) йхс. ае-х 'с (3.30') Подставим (3.30) или (3.30') в (3.29); затем, воспользовавшись формулой повторного интегрирования (3.18) и тем, что ( 1 для Т=Тц', ~д "Т1=~ Л Т Т 1 1Л1 для Т = Тс, а также полагая да=хе при й=1, 2, ..., с — 1, 1+1, ..., и, придем к равенству (3.28').
Лемма 2 доказана. Л ем м а 3. Всякое невьсроясденное линейное преобразование (3.26) представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразований вида Тц и Т при ЛМО. Доказательство леммы 3. Разобьем доказательство на три этапа. 1. Покажем, что линейное преобразование Т', заключающееся в перестановке местами с-й и )нй координат (при сохранении всех остальных координат), представимо в виде суперпозиции шести преобразований типа Тц н Т,'.
В самом деле, сохраняя при записи (хс, ..., х,) только с-ю и 1чю координаты (остальные не меняются), можем записать: 144 Гл, 3. Гсвоаные н н-кратные ннтегралы (хь х;) г -е-(хс+хс, хс) — с-~.( — х,— хп хс) —— с сс -н ( — х; — хп — х;) —,-е.( — хс — хп х,) — -и( — хп хс) — -;~(х, х;), гс т; т. е.
Т'=Тс 'ТссТ, 'ТдТ, 'Тс. 2) Отметим, что путем конечного числа перестановок местами двух строк илн двух столбцов (т. е. путем конечного числа преобразований типа Т') мы можем привести любое линейное невырожденное преобразование к линейному преобразованию с матрицей ссасссс, у которой отличны от нуля все главные миноры, т. е, определители а„... а„ Л»=, й=1, 2, ..., и. ааа .. аы 3) Остается доказать, что линейное преобразование с отличными от нуля главными минорами можно представить в виде конечного числа преобразований типа Тп и Т . Докажем зто по индукции.
Для п=1 рассмотрим преобразование Т с матрицей ам О Л,=амчьб. 1 О 1 Преобразование Т; ° переводит х= (хь ха, ..., х,) в (аыхь хь ..., х,) =Тх, т. е. Т=Т;; утверждение справедливо. Рассмотрим теперь преобразование Т с матрицей с а„... асе О а„...
аы 1 О ! Предположим, что это преобразование Т можно представить в виде конечного числа преобразований типа Т„ и Тл, т. е. что существует конечное число преобразований вида Тп н Т , переводящие х= (хс,, хе, хе+с, ..., хе) в (ассхс+...+асеха, ..., амх,+...+алехе, хе+с, ..., х,) =Тх. (3.31) Для завершения индукции достаточно доказать, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа Тп и Т $5. Замена переменных в и-кратном интеграле можно привести последовательность координат (3.31) к виду (ацх<+...+а«а+мха+<, ..., аа<хг+...+аа<аецха+<, (3.32) а<а+ ц<х<+...
+ а<ха ц<еч мха+„ха+а, ..., х,), т. е. представить преобразование Т с матрицей <а<х ... аха а«ал-ц па< ... аы ах<а+и 0 а<а+и! ... а<а<-<м а<а+в<а+в 1 0 1! (3.33) в виде суперпозиции конечного числа преобразований вида, Тп и Т;". Для доказательства этого, сначала для каждого номера <=1, 2, ..., й, для которого элемент а«еец4=0, произведем пре- образование, представимое суперпозицией трех преобразований: ! Т+, Т<„+цт,+, "«ач-ц а«а+ц (для тех <, для которых апа+ц=0, этого преобразования не производим). Суперпозиция всех указанных троек преобразований для всех <=1, 2, ..., й переведет элемент. (3.31) в (ацх,+...+а<ахе+ац,+цхаг<, ..., аа,х,+,,;+аалх„+ +ах<,ец хаг<, ха+<, ха+а, ..., х,).
(3.34): Далее заметим, что поскольку минор Ла матрицы (3.33) отличен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель, матрицы ам ... а е апач.о аах а,„па<а+в (3.35) 0...0 1 По теореме о базисном миноре существуют числа Х<, ..., !<а+<,. линейная комбинация с которыми строк матрицы (3.35) равна.
а<а+и<, ..., а<а+в!о а<а+о<а.< ц, т. е. равна первым <<+1 элементам (1+1)-й строки матрицы (3.33). Это означает, что если мы для каждого 1=1, 2, ..., а+1,. для которого )<чьО, произведем преобразование, представимое: сУпеРпозицней тРех пРеобРазований: Т<<<х<Т<еец;Т!'; (длЯ тех 1, для которых 1<<=0, соответствующую тройку преобразований. 446 Гл. 3. двойные н н-кратные интегралы не производим), то суперпозиция Т~ьь++,' ($Хь+1$ъО) и всех произведенных троек преобразований переведет элемент (3.34) в (3.32).
Индукцня завершена. Лемма 3 доказана. Л ем м а 4. Для любого невырожденного линейного преобразования (3.26) и любой непрерывной в области Р функции 1 справедлива формула замены переменных (3.28). В самом деле, формула (3.28) справедлива для каждого из преобразований вида Тп и Т;" (лемма 2), но любое линейное невырожденное преобразование представимо в виде суперпознции конечного числа таких преобразований (лемма 3), причем якобнан этой суперпозиции преобразований равен произведению якобианов (лемма 1). Следствие из лем мы 4. Если 6 — произвольная кубируемая область в Е", Т вЂ” произвольное невырожденное линейное преобразование, то и-мерный объем )г(6) области 6 и п-.черный объем У(Т6) ее образа Т6 связаны равенством т(Т6) = $ йе1 Т $ У(6).
(3.36) Для доказательства этого утверждения достаточно в формуле (3.28) взять 1(у) =1 в области Р, Р=Т6, Р'=Т-'Р=6. Пусть теперь дано любое преобразование (3.21) ((3.2Г) )' и выполнены условия теоремы 3.8. При этом оба интеграла в (3.23) существуют, если только Р'=ту-'(Р) — кубируемая область, так что нам нужно доказать кубируемость Р' и равенство интегралов в (3.23). Пусть — '(х)=У;;(х) (1, 1=1, 2, ..., и) — элементы дхг матрицы Якоби, взятые в точке х=(х„..., х,), саму матрицу Якоби $$7и(х)$$ обозначим символом 7„$ Х„(х). Назовем нормой точки х=(хь ..., х„) величину $$х$$= шах $х;$.
Назо1<~<а вем нормой матрицы А=$$ан$$ (й 1=1, ..., гт) величину а $$7$ $$ = тйах [)' ) аи $ ~, 1(г~» Ясно, что если у=Ах, то $$у$$ = $$Ах$$($$А $$ $$х$$. (3.37) Кроме того, для единичной матрицы $$Е$$ =1. Лемма 5. Если выполнены условия теоремы 3.8 и С— и-мерный координатный куб, принадлежащий области Р', то и-мерные объемы куба С и его образа тр(С) связаны неравенством )г (тр(С)) < (Гпах $$ гъ (х)$$1" У (С).
(3. 38) тво !4Т $ З. Знменн переменных н и-кратном интеграле Доказательство леммы 5. Пусть С вЂ” и-мерный куб о о о с центром в точке х= (хь ..., х,) и с ребром 2з. Тогда куб С можно определить неравенством о Цх — хЦ(з. (3.39р В силу формулы Тейлора для функции и переменных тр;(х) (см. п. 3 $5 гл. 12 ч. 1) найдется число 0; нз интервала (О, 1р такое, что о " о о о «ро(х) — ф! (х) ='$ Х!!(х + 0,(х — х)[ (х, — х;). г=! Отсюда н нз соотношения (3.37) заключаем, что о о Цф(х) — !р(х)Ц < !пах Ц/е (х)Ц. Цх — хЦ. «ес о о Полагая у=«р(х), у=ту(х), получим из (3.40) и (3.39): о Цу — уЦ < з !пах ЦУч(х)Ц.
«пс (3.40)! Таким образом, если точка х находится в кубе С с ребром о 2з и с центром в точке х, то образ у=тр(х) точки х находится о в кубе с центром в точке у и с ребром 2з шах ЦУе(х)Ц. Понто«н с му множество «р(С) кубируемо и )«(ф(С)) < (шах ЦУо(х)Ц[")«(С). «ас Лемма 5 доказана. Следствие 1 из леммы 5.
Если выполнены условия теоремы 3.8 и область О кубируема, то и ее образ !р(6) кубируем. В частности, если Р кубируема, то и Р'=«р-!(Р) кубируема. Действительно, граница любого кубируемого множества 0 является множеством и-мерного объема нуль, а такое множество согласно доказанному утверждению преобразуется в множество, и-мерный объем которого также равен нулю. Кубируемость области Р'=«р !(Р) следует нз того, что в условиях теоремы 3.8 для преобразования «р ' выполнены те же условия, что и для тр. Следствие 2 нз леммы 5. Если функция Ду) интегрируема в области Р, Р'=«р-!(Р) и выполнены условия теоремы 38, то !(ер(х)), а потому и 1[«р(х)[ [де11е(х) [ интегрируемы.
в Р'. тйз Гл. 3. двойные н н-кратные интегралы Л ем м а 6. Пусть выполнены все условия теоремы 3.8 и пусть 6 — произвольное кубируемое подмножество Р', а ф(6) — его образ при преобразовании (3.21). Тогда для и-мерного объема области ф(6) справедливо неравенство У(»Р(6)) < ~ (де1Уь(х)~ дх. (3.41) Доказательство леммы 6. Разобьем доказательство на два этапа. 1) Докажем, что для любого невырожденного линейного преобразования Т и для любого и-мерного куба С-Р' справедливо неравенство У(ф(С)) < /г(е( Т~ [гпах П7 'Ут(х)П]" У(С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
