В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 19
Текст из файла (страница 19)
)« — 1 — а) И з-! (2,70) (Π— некоторое число из интервала 0<8<1). Сначала убедимся в том, что при а>0 всюду на интервале — 1<х<1 остаточный член 1( ..з(х) стремится к нулю (при и-з-оо)'. ! 1 — Е!и) В самом деле, все члены последовательности (( ) ~ ~1+О.) ) всюду на указанном интервале не превосходят единицы; последо(а — 1)(а — 2) ...
(а — и) ! вательность ~ '' ) ограничена, а число а(1+ л) +Ох)" — ' определено при любом фиксированном а>0 и при любом х из интервала — 1<х<1; наконец, последовательность (х"+') является бесконечно малой для любого х из интервала — 1<х<1. Таким образом, в силу (2.68) остаточный член Я„+!(х)' стре. мится к нулю для любого фиксированного а>0 и любого х из интервала — 1<х<1. Следовательно, в силу (2.67) прн а>0 всюду на интервале — 1<х<1 справедливо разложение по Гл.
2. Функциональные последовательности н ряды переносятся теоремы 2.13 и 2.14 (о существовании и величине радиуса сходимости). Ряды такого типа используются для определения функций комплексной переменной г. Функции е', сонг и з!пг комплексной переменной г определяются как суммы следующих рядов: % ч тл" сл 1+ (2.72) в ! \'ч ! — 1)"л~ сонг=1+ ~ е (2в)1 л 1 (2.73) В силу признака Вейерштрасса для установления равномерной на сегменте — 1~х~! сходимости ряда, стоящего в правой части (2.69), достаточно доказать сходимость мажорирующего ряда (2.70). Обозначим й-й член ряда (2.70) символом рл Тогда для всех достаточно больших Й получим рь+т я — а ! +а (2.71) рь а+1 Я+1 Из формулы (2.71) вытекает, что 1ппй (1 — Рь" ! =(1+а)!!гп =(1+а) > 1, вы 1 рь / ь Ф Й+ 1 т. е. ряд (2.70) сходится в силу признака Раабе (см.
п. 5 3 2 гл. 1). Таким образом, доказано, что при а)0 ряд, стоящий в правой части (2.69), сходится равномерно на сегменте — 1<х<1. Остается доказать, что указанный ряд сходится на сегменте — 1я.'-х~1 к функции (1+к) . В силу доказанного выше сумма указанного ряда 5(х) и функция (1+х) совпадают всюду на интервале — 1<х<1. Кроме того, обе функции 5(х) н (1+х)" непрерывны на сегменте — 1~х<! (функция 5(х) как сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций; непрерывность функции (1+х) прн а>0 очевидна).
Но тогда значения 5(х) и (1+х) в точках х= — 1 и х=1 обязаны совпадать, т. е. ряд, стоящий в правой части (2.69), равномерно сходится к (1+х)" на замкнутом сегменте — 1~х~ ~1. 3. Элементарные представления о функциях кемплексной переменной. Выше отмечалось, что на случай степенного ряда относительно комплексной переменной г ае+а~г+ахг'+...+а„я +... Е 7.
Разложение фунхпнй в степенные ряды 1)агавы в1п г = (2п+ 1)! -Х а=а (2.74) Легко проверить, что зтн ряды абсолютно сходятся для всех значений г (нх радиус сходнмости тс=оо). Установим теперь связь между функциями е', сонг и взпг. Заменяя в формуле (2.?2) г на 1г, получим ы 1 . (1г)' „ ( 'г)' „ (тг)' „ ((г)' 21 3! и 3! г' гз .
l гз гз (1 — — + — ...) +1(г — — + — —...). (2.75) 2! 4! ) (, 3! 3! Сопоставляя правую часть равенства (2.75) с разложениями (2.73) и (2.74), придем к следующей замечательной формуле: е"=сов г+1 в|п г. (2.76) Формула (2.76) играет фундаментальную роль в теории функций комплексной переменной и называется ф о р м у л о й Эйлера. Полагая в формуле Эйлера переменную г равной сначала вещественному числу х, а затем вещественному числу — х, по.
лучнм следующие формулы е'"=сов х+1 в)п х, е-'"=сов х — 131п х. Складывая и вычитая эти формулы, получим формулы, выра. жающие сов х и взпх через показательную функцию: е1л + е-1» совх= (2.77) е1з е-1л в(их= г=х+1у=ев+1а=е" (сов о+1 в(п о) получим, используя понятия модуля и аргумента комплексного числа, !г(*="В~ха+у'=ен, агин=о — 2юй, В заключение остановимся на определении логарифмической функции в=-!пг комплексной переменной г.
Эту функцию естественно определить как функцию, обратную показательной, т. е. из соотношения г=е'". Полагая те=и+то, г=х+1у, поставим перед собой цель — выразить и и н через г=х+1у. Из соотношения 112 Гл. 2. Функциональные последовательности н ряды где й=О, ь1, .ь2, Из последних равенств находим, что и = 1и [г[ = 1и р' ха+ у', о=ага г+2пй (я=О, .ь1, .ь2,...), или окончательно 1пг=1п[г)+1(агдг+2пй), где я=О, ь1, -ь2, ...
(278)' Формула (2.78) показывает, что логарифмическая функция в комплексной области не является однозначной: ее мнимая часть для одного и того же значения г имеет бесчисленное множество значений, отвечающих различным я=О, ч-1, .ь2, ...
Легко понять, что аналогичная ситуация будет иметь место и при определении в комплексной области обратных тригонометрических функций. 4. Теорема Вейерпгтрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами. Т е о р е м а 2.18 (теорема Вейерштрасса) 'з1, Если функция 1(х) непрерывна на сегменте [а, Ь], то существует последовательность многочленов [Р„(х)), равномерно на сегменте [а, Ь) сходящаяся к 1(х), т. е. для любого е>0 найдется многочлен Р„(х) с номером и, зависящим от е, такой, что [Р„(х)-1(х) [~е сразу для всех х из сегмента [а, Ь), Иными словами, непрерывную на сегменте [а, Ь) функцию 1(х) можно равномерно на этом сегменте приблизить многочленом с наперед заданной точностью е. Доказательство.
Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, Ь) рассматривать сегмент [О, Ц "1. Кроме того„ достаточно доказать теорему для непрерывной функции 1(х), обращающейся в нуль гга концах сегмента [О, Ц, т. е, удовлетворяющей условиям [(0)=О и 1(1)=0. В самом деле, если бы 1(х) не удовлетворяла этим условиям, то, положив й (х) =1(х) -1(0) — х[1 (1) -1(0) )„ мы получили бы непрерывную на сегменте [О, Ц функцию й(х)„ удовлетворяющую условиям й(0) =0 и й(1)=0. Тогда из воэможности представления д(х) в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов вытекало бы, что и 1(х) пред- " Эта фундаментальная теорема была доказана Вейерштрассом в 1895 г. '" Поскольку один из этих сегментов преобразуется в другой линейной заменой х= (Ь вЂ” а)1+а.
ф 7, Разложение функций в степенные ряды ставнма в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов (так как разность 1(х) — й(х) является многочленом первой степени). Итак, пусть функция 1(х) непрерывна на сегменте 10, Ц и удав. летворяет условиям )(0)=0, ((1)=0. Такую функцию !(х) можн!и продолжить на всю прямую, положив ее равной нулю за пределами сегмента (О,Ц, и утверждать, что так продолженная функция является равномерно непрерывной на всей прямой, Рассмотрим следующую конкретную последовательность неотрицательных многочленов степени 2п: Я„(х)=с„(! — хз)" (и=1, 2, ...), (2.79) у каждого из которых постоянная с„выбрана так, чтобы выпол- нялось равенство (2.80) Не вычисляя точного значения постоянной с„, оценим ее сверху, Для этого заметим, что для любого номера п=1, 2, ...
и для всех х нз сегмента (О, Ц справедливо неравенство "! (1 — х')") 1 — пх' (2.81) 1 Применяя неравенство (2.8!) и учитывая, что —, <1 при лю !'и бом п)1, будем иметь !/ !та (1 — хз)айх=2 ~(1 — х')айх) 2 ~ (1 — х')ьйх)~ !, Уй 4 1 1 ) 2 ( (1 — пхз)йх=- —,—, >=- о (2.82) Из (2.79), (2.80) и (2.82) заключаем, что для всех номеров п=!, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для постоян ной с„: с„( Уп. (2.83) "! Это неравенство вытекает из того, что нри любом иъ! функция ф(х) =(1 — хз)" — (1 — их') неотрицательна всюду на сегменте О.яхья(, так как зта функция обрангается з нуль яри х=о и имеет всюду на этом сегменте неотрицательную ороизводну!о !р'(х) =2лх(1~ — (! — хз]'-').
Гл. 2. Функциональные последовательности я ряды Из (2.84) следует, что при любом фиксированном 6>0 последовательность неотрицательных многочленов Я„(х)) сходится к нулю равномерно на сегменте 6 < ~х ~ <1 "1. Положим теперь для любого х из сегмента 0<к<1 +! Р„(х) = ) 1* (х + !) (~„(!) !(! -1 (2.85) и убедимся в том, что для любого в=1, 2, ... функция Р„(х) есть многочлен степени 2л, причем (Р„(х)) и является искомой последовательностью многочленов, равномерно сходящейся на сегменте [О, Ц к функции )(х). Так как изучаемая функция 1(х) равна нулю за пределами сегмента (О, Ц, то для любого х из сегмента (О, Ц интеграл (2.88) можно записать в виде ! — к Р„(х)= ) 7(х+!)(,)„(!)г)!. — к Заменяя в последнем интеграле переменную ! на ! — х, мы при.
дадим ему вид ! Р„(х) = ) 1" (!) Я„(! — х) с(!. о (2.86) Из (2.88) и (2.79) ясно, что функция Р„(х) представляет со. бой многочлен степени 2п. Остается доказать, что последовательность (Р„(х)) сходится к !(х) равномерно на сегменте 0<х<1. Фиксируем произвольное и>0, Для фиксированного е в силу равномерной непрерывности !(х) на всей числовой прямой найдется 6>0 такое, что 1!'(х) — )'(у) ! <з(2 при )х — у~ <6. (2.87) Заметим еще, что так как )(х) непрерывна на сегменте (О, Ц, то она ограничена на этом сегменте, а следовательно, и всюду на доказать, что последовательность а„= (!в вытекает, например, из того, что, поскольку ч — ба) <1, рид ~ аз сходится по при.
л ! ьп В самом деле, достаточно †)".)л сходится к нулю, а это 1пп т' ал = (1 — 6') 1пп и = (! з !/зз л . Л зааку Коши (см. теорему 1.6.). Из (2,83) и (2.79) вытекает, что прн любом 6>0 для всех х из сегмента 6<(х( <1 справедливо неравенство 0 <(~„(х) <~п (1 — 6')", (2.84) $7. Разложение функций в степенные ряды числовой прял!ой. Это означает, что существует постоянная А та- кая, что для всех х [[(х) [~А. (2.88) Используя (2.80), (2.84), (2.87) и (2.88) и учитывая неотрицательность (г„(х), оценим разность Р,(х) — 1(х). Для всех х нз сегмента 0(к<1 будем иметь ! [Р„'(х) — 1(х)[ = ~ ~ 'у (х+ ) — ((х)')сг„(1)д [< — 1 < ~ [~(х+1) — ~(х)[Я„(1)д( < 2А ~ Я„(1)М+ -! — ! а ! + — ( Я„(1)с(1+ 2А [ Я„(1)г(1-(4А)>и (1 — 6в)лг+ а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
