В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

3 а меч а н ие 3. Для функции т переменных теорема 2.9 может быть сформулирована в следующем виде: Теорема 2.9*". Если каждая из функций [ (х1=[„(х!, хь... ..., х ) имеет в замкнутой ограниченной области 6 пространства Егн частную производную — по переменной ха и если послед1н дха довательность производных ~ — ~ сходится равномерно в облад(н дхь сти 6, а сама последовательность (г„(х)) сходится в каждой точке области 6, то последовательность (Д„(х)) можно дифференцировать по переменной хе в области 6 почленно.

Из теоремы 2.9 легко вытекает следующее утверждение. Те о р е м а 2.10. Если каждая функция („(х) имеет первообразную на сегменте [а, 6] и если последовательность ([„(х)) сходится равномерно на сегменте [а, Ь] к предельной функции ((х), то и предельная функция 1(х) имеет первообразную на сегменте [а, 6]. Более того, если хо — любая точка сегмента [а, 6], то по- Гл, 2, Фунициональные последовательности и ряды следовательность лервообразных Ф„(х) функций [„(х), удовлетворяющих условию Ф„(хо) =О, сходится равномерно на сегменте [а, Ь] к первообразной Ф(х) предельной функции [(х), удовлетворяющей условию Ф(хо) =О.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для последовательности первообразных Ф„(х) функций 1. (х), удовлетворяющих требованию Ф. (хо)=0, выполнены все условия теоремы 2.9. Это обеспечивает равномерную на [а, Ь] сходимость последовательности (Ф„(х)) к предельной функции Ф(х), у которой в каждой точке [а, Ь] существует производная, равная предельной функции последовательности ([„(х)). Теорема доказана. Замечание к теор ем е 2.10.

В теореме 2.10 не требуется ни ограниченность, ни тем более интегрируемость функций 1„(х) на сегменте [а, Ь]. Теоремы, доказанные в данном и в предыдущем параграфах позволяют нам сделать следующий замечательный вывод: Утв е р ж де н не. Равномерная сходимость не выводит из класса функций, имеющих предел в данной точке (теорема 2.7), из класса непрерывных функций (следствие 2 из теоремы 2.7), из к тассо интегрируемых функций (теорема 2.8), из класса функций, имеющих первообразную (теорема 2.10) и (в случае равномерной сходимости производных) из класса дифференцируемых функций (теорема 2.9). 3.

Сходимость в среднем. Потребуем, чтобы каждая функция 1„(х) из функциональной последовательности ([„(х)) и функция 7(х) являлись интегрируемыми на сегменте [а, Ь]. Тогда (в силу $4 гл. 9 ч. 1) и функция [7„(х) — 7 (х)]в = ~г (х) — 27„(х) 7 (х) + 7е (х) также будет являться интегрируемой на сегменте [а, Ь]. Введем фундаментальное понятие сходимостп в среднем. Определение 1. Будем говорить, что функциональная последовательность ([„(х)) с х о д и т с я в среднем на сегменте [а, Ь] к функции 1(х), если существует равный нулю предел и 1!гп ] Ц„(х) — 7(х)]вйх=О.

о о е О п р е д ел е н и е 2. Будем говорить, что функциональный ряд '~~ ие(х) А-г сходится в среднем на сегменте [а, Ь] к сумме 5(х), если последовательность частичных сумм этого ряда сходится в среднем на сегменте [а, Ь] к предельной функции 5(х). й 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование 9б Г 1] (Х) 1(ХН е [т' (2. 492 2 (Ь вЂ” о) условию п~И(е), и всех из теории определенного для всех номеров и, удовлетворяющих точек х сегмента [а, Ь]. Но тогда в силу известной оценки интеграла (см. п. 2 9 4 гл.

9 ч. 1) ь ~ [)„(х) — ~ (х)]' дх ч, ь 'ах= — с, е 2 для всех номеров и, удовлетворяющих условию п))(г(в). Это ть означает сходимость последовательности (1„(х)) к Цх) на сегменте а, Ь] в среднем. тверждение 2. Сходимость последовательности на некотором сегменте в среднем не влечет за собой не только равномерной на этом сегменте сходимости, но и сходимости хотя бы и одной точке указанного сегмента. Рассмотрим последовательность принадлежащих [О, 1] сегментов )ь lе,..., 7„,..., имеющих следующий внд: 1,=[0, 1],' ~о, 1~ у ~1 1~ ~! 31 ~3 Замечание. Из определений 1 и 2 непосредственно вытекает, что если функциональная последовательность (функциональный ряд) сходится в среднем к [(х) на сегменте [а, Ь], тгт эта последовательность (этот ряд) сходится в среднем к )(х) и на любом сегменте [с, д], содержащемся в [а, Ь].

Выясним вопрос о связи между сходнмостью в среднем и равномерной сходнмостью последовательности. Утверждение 1. Если последовательность (1„(х)) сходится к функции [(х) равномерно на сегменте [а, Ь], то эта последовательность сходится к [(х) и в среднем на сегменте [а, Ь]. Фиксируем произвольное е)0. В силу равномерной на сегменте [а, Ь] сходнмости последовательности ([ (х)) к 1'(х) для полое жительного числа найдется номер )и'(е) такой, что 2(Ь вЂ” о) Гл. 2.

Функциональные поеледонательноетн н рнлы Определим и-й член /„(х) функциональной последовательности [/„(х)) следующим соотношением: 1 на сегменте 1„, /„(х) = 0 в остальных точках [О, Ц. Убедимся в том, что последовательность (/„(х)) сходится к гтредельной функции /(х) = — 0 в среднеи на сегменте [О, Ц. В самом деле, 1 ] [/„(х) — /(х)]едх= ] дх=длина сегмента 1„, о т„ так что существует предел 1 !1т < [/„(х) — /(х)]'дх=О.

о существует и равен < /(х)дх, а Доказательство. Фиксируем произвольное е)0. В силу сходимости последовательности (/„(х)) к /(х) в среднем на сегменте [а, Ь] найдется номер 1т*(е) такой, что для всех и .1у'(е) ь — ь . а (2.50) Убедимся, наконец, в том, что построенная последовательность не сходится ни в одной точке сегмента [О, Ц . В самом деле, какую бы точку хо сегмента [О, Ц мы ни фиксировали, среди как угодно больших но и еров и найдутся как такие, для которых сегмент 1„содержит точку хо (для этих номеров /„(х,) = =1), так и такие, для которых сегмент 1„не содержит точку хо (для таких номеров /„(хе)=0). Таким образом, последовательность (/„(хе)) содержит бесконечно много членов, равных единице, и бесконечно много членов, равных нулю.

Такая последовательность является расходящейся. Оказывается, сходимость последовательности в среднем обеспечивает возможность почленного интегрирования этой последовательности: Теорема 2.11, Если последовательность (/„(х)) сходится в среднеи к /(х) на сегменте [а, Ь], то эту последовательность можно почленно интегрировать на сегменте [а, Ь], т. е, предел ь 1нп ] /„(х)дх а $ З, Равностепеннан непрерывность последовательности функций 97 А=(~„(х) — т (х)1 1 —; В=1 т е У ь — а получим У„(х) — ~(х) ) < (~„(х) — ~(х))а — +, (2.51) Из (2.51) и известной оценки из теории определенного интеграла следует ь ь ~ ~„(х) — ~ (х) ~ дх <: Г (7„(х) — 7 (х)1' дх+ — '.

2е .1 2 О а Отсюда и из (2.50) ясно, что при всех п зтт~(в) ь ! )'а (х) 7 (х)! дх ( — + — = в. 2 2 а (2.52) Так как ~~Р.(х)д — ~У(х)д ~=~~У„(х) — цх)) х~< а а е ь < ~ ~ 1„(х) — ) (х) ! дх, а то из (2.52) получим, что для всех номеров п>Ф(в) ь ь ~ ) 1„(х) дх — ) 1(х) дх~ ( е. Теорема доказана. $6. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ Предположим, что каждая из функций 1„(х) функциональной последовательности ()„(х)) определена на некотором плотном в себе множестве (х) пространства Е'".

Определение. Последовательность (1 (х)) называется равностепенно непрерывной на множестве (х), если для любого е>0 найдется 6>0 такое, что неравенство т> Это неравенство эквивалентно неравенстну (~А(+ ~В~)аъо. 4 зак. эа Аа Ва Записав очевидное неравенство'> ) А~ . ) В ! < — + — для ве- 2 2 личин Гл. 2. Фуикпиональные последовательности и ряды 98 ц (х')-(„(хп) ] <е (2.53» справедливо для всех номеров и и всех точек х' и х" множества (х), связанных условием р(х', х") <6. Из этого определения очевидно, что если вся последовательность (["„(х)) равностепенно непрерывна на множестве (х), то и любая ее подпоследовательность равностепенно непрерывна на этом множестве.

Для простоты будем рассматривать последовательность ([„(х)) функций одной переменной х, равностепенно непрерывную на сегменте (а, Ь]. По определению для любого е>0 найдется 6>0 такое, что неравенство (2.53) справедливо для всех номеров и и всех точек х' и х" сегмента (а, Ь], связанных условием [х' — х" [< <6.

Докажем утверждение, представляющее собой функциональный аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса. Теорема 2.12 (теорема Арцела). Если функциональная последовательность ()„(х)) раеностепенно непрерывна и равномерно ограничена на сегменте (а, Ь], то из втой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно на сегменте (а, Ь]. Д о к а з а т ел ь с т в о. Рассмотрим на сегменте (а, Ь] следующую специальную последовательность точек (х ): в качестве х1 возьмем ту точку, которая делит сегмент (а, Ь] на две равные ча сти, в качестве хт и ха возьмем те две точки, которые вместе с х| делят сегмент (а, Ь] на четыре равные части, в качестве хь хы х, и хт возьмем те четыре точки, которые вместе с хь хт и ха делят сегмент (а, Ь] на восемь равных частей (см. рис.

2.3), и т. д. а ка ха кт х, .та хт кт Ь Рпс. 2.8 Построенная последовательность обладает следующим с в о й с твом: для любого 6>0 найдется номер по такой, что на любом принадлежащем (а, Ь] сегменте длины 6 лежит хотя бы один из элементов хь хт, ..., х, Ю. Приступим теперь к выделению из последовательности (1„(х)) равномерно на сегменте (а, Ь] сходящейся подпоследовательности. Сначала рассмотрим последовательность (]„(х)) в точке хь Получим ограниченную числовую последовательность (у (х1)), нз которой на основании теоремы Больцано — Вейер- " Про последовательность, обладаюпсую таким свойством, говорят, что она является всюду плотной на сегменте [а, Ь].

Характеристики

Список файлов книги