В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В силу критерия Коши равномерной сходнмости (см. теорему 2.2) ряд (2.12) сходится равномерно на множестве (х). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Признак Вейерштрасса кратко может быть сформулирован так: функциональный ряд сходится равномерно на данном множестве, если его можно мажорировать на этом множестве сходящимся числовым пядом. 3 а меч ание 2. Признак Вейерштрасса является достаточным, но не необходимым признаком равномерной сходимости функционального ряда.
В самом деле, функциональный ряд Х ( — 1)~ '«ь ь ь 1 сходится равномерно на сегменте 0(х(1 к сумме 1п(1+х), поскольку (см. п. 2 9 9 гл, 6 ч. 1) разность между 1п(1+х) и а-й частичной суммой этого ряда, равная остаточному члену Я„+!(х) в формуле Маклорена для функции !п(1+х), для всех х из сегмента 0(х(1 удовлетворяет неравенству (Я„+! (х) ((1/(п+ 1). Однако для данного функционального ряда не существует на сегменте 0(х(1 мажорирующего его сходящегося числового ряда, так как для каждого номера й зпр .! ( — 1)" т«ь 1 «610,!1 Ь 1 а числовой ряд ~з — расходится.
«!г Гл. 2. Функциональные последовательности н ряди Применим признак Вейерштрасса для установления равномерной сходимости функционального ряда эг У ' в(п (й'л+ йе + т) /Р е=1 Можно утверждать, что этот ряд сходится равномерно во всем трехмерном евклидовом пространстве Е', так как для любой точки (х, у, г) этого пространства он может быть мажорирован скотч ! дящимся числовым рядом ла е-1 Т е о р е м а 2.4 (признак Дини е)). Если последовательность ((н(х)) яе убывает (или не возрастает) в каждой точке х замкнутого ограниченного множества (х) пространства Е'" и сходится на этом множестве к предельной функции 1(х) и если все члены последовательности 1„(х) и предельная функция 1'(х) являются непрерывными на множестве (х), то сходимость последовательности (1„(хЦ является равномерной па множестве (х).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, предположим, что последовательность (1„(хЦ не убывает на замкнутом ограниченном множестве (х) (случай невозрастающей последовательности сводится к этому случаю умножением всех элементов последовательности на число — 1).
Положим г„(х) =1(х) — 1„(х). Последовательность (г„(хЦ обладает следующими свойствами: 1) все г„(х) неотрицательны и непрерывны на множестве (х); 2) (г,(х)) не возрастает на множестве (х); 3) в каждой точке х множества (х) существует предел 1'пп г„ (х) = О. Достаточно доказать, что последовательность (га(хЦ сходится к тождественному нулю равномерно на множестве (х), т, е. что для любого е>0 найдется х о т я б ы о д и н н о м е р п такой, что г„(х) <е для всех х из множества (х). (Тогда в силу невозрастания последовательности (гв(хЦ неравенство г„(х)<е будет справедливо и для всех последующих номероь.) Допустим, что для некоторого е>0 не найдется ни одного номера и такого, что гн(х)<е сразу для всех х из множества (х).
Тогда для любого номера и найдется хотя бы одна точка х„множества (х) такая, что г„(х„) >е. (2.! 6) В силу ограниченности множества (х) и теоремы Больцано— Вейерштрасса (см, теорему 12.1 ч. 1) из последовательности то- а> Улисс Дини — итальянский математик (184о — 1918). $ 2. Достаточные признаки равномерной скоднмости чек (х„) можно выделить подпоследовательность точек (х„), сходящуюся к некоторой точке х,, принадлежащей в силу замкнутости множества (х) этому множеству.
Так как каждая функция и (х) (с любым номером гп) является непрерывной в точке х,„то для любого номера т (2.17) !нп г (х„)=г (х,), и м С другой стороны, выбрав для каждого номера т превосходя,щий его номер пы получим (в силу невозрастания последовательности г (х)) га (х„ ) " г„ (х„„). Сопоставление последнего неравенства с неравенством (2.!6), справедливым для любого номера и, дает оценку (2.18) тат (хна) Э~ ь (для любого номера пзо превосходящего фиксированный нами произвольный номер т). Из (2.17) и (2.18) вытекает, что г (хо))е (для любого номера т), а это противоречит сходимости последавательности (г (х)) в точке хо к нулю.
Полученное противоречие доказывает теорему. 3 а м е ч а н и е 3. В теореме Дини весьма существенно требование монотонности последовательности (1„(х)) на множестве (х), так как немонотонная на множестве (х) последовательность непрерывных на этом множестве функций может сходиться в каждой точке х множества (х) к непрерывной на этом множестве функции !(х), но не сходиться равномерно на множестве (х). Примером может служить последовательность функций (! (х)), для которой 7 (х) равна и!и пх при 0 ~х (тт/п и равна нулю прн и/п(х<к. Эта последовательность сходится к !(х) =0 в каждой точке сегмента О(ха-п, но не сходится на этом сегменте равномерно, так как !!'„(х„) — !(х„) ~ =1 при х„=п72п для всех номеров и.
Приведем эквивалентную формулировку теоремы Дини в терминах функциональных рядов. Теорема 2.4*. Если все члены функционального ряда непрерывны и неотрицательны (или неположительны) на замкнутом ограниченном множестве (х) и если в каждой точке множества (х) этот ряд сходится и сумма его является непрерывной на множестве (х) функцией, то его сходимость является равномерной ма множестве (х). Гл. 2. Фупкпиональные последовательности и ряды В качестве примера применения признака Днпн изучим вопрос о характере сходимости последовательности ((хе+ ут) о) ))„(х) )(М. О п р е д е л е н и е 2.
Функциональная последовательность (о„(х) ) называется последовательностью, о б л а д а ю щ е й н а множестве (х) равномерно ограниченным изменее н и ем, если функциональный ряд )~ ~оь+~ (х) — оь(х) ~ л ! (2. 19х сходится равномерно на множестве (х). Отметим сразу же, что всякая последовательность, обладаюгцая на множестве (х) равномерно ограниченным изменением, сходится равномерно на множестве (х) к некоторой предельной функции.
В самом деле, из равномерной на множестве (х) сходи- мости ряда (2.19) н из критерия Коши вытекает равномерная на множестве сходимость ряда Е !оле (х) — оь(х)! л-1 (2. 19') и-я частичная сумма 5„(х) которого имеет вид Я„(х)=о„+,(х)— — о,(х). Из последнего равенства вытекает равномерная сходимость последовательности (о„(х)) к предельной функции о(х), равной 5 (х) + о, (х), где 5 (х) — сумма ряда (2.
19') . Теперь мы можем сформулировать и доказать следующие два признака. в круге хе+у'(1/4 радиуса 1~2 с центром в точке (О, О). Сходимость является равномерной в этом круге, так как рассматриваемая последовательность сходится в каждой точке этого круга к предельной функции 1(х, у) =О, не возрастает в каждой точке круга и состоит из функций, непрерывных в нем. Чтобы сформулировать еще два признака равномерной сходи- мости функциональных рядов, введем некоторые новые понятия. Определение 1. Последовательность (1„(х)) называется равномерно ограниченной на множестве (х), если существует такое вещественное число М)О, что для всех номером и и всех точек х множества (х) справедливо неравенство й 2. Достаточные прнзнвкн равномерной сходнмостн Т е о р е м а 2.5 (первый признак Абеля).
Если функциональсчый ряд (2.1) )," и„(х) обладает равномерно ограниченной на множестве (х) последовательностью частичных сумлс, а функциональная последователь,ность (о„(х)) обладает равномерно ограниченным на множестве (х) изменением и имеет предельную функцию, тождественно рав,ную нулю, то функциональный ряд ~' [и„(х) о„(х)[ и=! (2.20) сходится равномерно на множестве (х). Доказательство.
По условию существует число М)0 такое, что последовательность 5,(х) частичных сумм ряда (2.1) для всех номеров и н всех точек х из множества (х) удовлетво,ряет неравенству 1о„(х)1(М. Фиксируем произвольное е>0 и по нему номер А! такой, что для всех п, превосходящих Ас, всех натуральных р и всех точек х множества (х) справедливы неравенства 1о„(х) ~ (— ЗМ (2.21) и+р — 1 ~ол+!(х) — о„(х)~ С вЂ”, ЗМ (2.22) е и+! ЧЗдесь мы воспользовались равномерной на множестве (х) схо.димостью последовательности (о„(х)) к нулю н равномерной на множестве (х) сходимостью ряда (2.19).) В силу тождества Абеля (1,77) и в силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит сумму их модулей, имеем п+Р о+р [ие(х)ое(х)) ~ <~ )~ Яе(х)[о (х) — ол+! (х)) ~+ Лм ь+! л=л+! +)Е«+р(хН ~о«+р(хИ+ ~~.(х)1 !о-+ (хН.
.Учитывая, что для всех номеров и и всех х из (х) справедливо .неравенство ~5„(х) ~(М, получим и+р и+р †! [ие(х)ол(х))~ ~(М ~" !ос+!(х) — ол(х)~ + л в+1 е=п+! + М ~ о„+ (х) ~ + М ( о,+! (х) ~ . 80 Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды Сопоставление последнего неравенства с (2.21) и (2.22), позволяет записать неравенство л+р (иа (х) ол (х)] ~ г' г, а=и+1 справедливое для всех номеров и, превосходящих !т', всех натуральных р и всех точек х множества (х), а это и означает, что ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (х) (в силу теоремы 2.2). Теорема доказана. Теорема 2.б (второй признак Абеля). Если функциональный ряд (2.1) сходится равномерно на множестве (х) к сумме 5(х), ограниченной на этом множестве, а функциональная последовательность (э„(х)) обладает равномерно ограниченным на множестве (х) изменением и имеет ограниченную на этом множестве предельную функцию о(х), то функциональный ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (х).
Локазательство. Будем исходить из тождества Абели (1.77). Это тождество можно переписать в виде л+р и+р — 1 Я и„(х)о,(х)= ~' 5„(х)]оа(х) — ол+!(Х)]+ Л л+1 а=л+1 + ]5л+р(Х) — 5л(Х)] Ои! р(Х)+ 5л(Х) (Ои, р(Х) — Ол!1(Х)]. (Здесь символом 52(х) обозначена й-я частичная сумма ряда (2.1).) Из последнего тождества вытекает неравенство л-!-р и-1-р — 1 иа(х)оь(х)~ л~ Я /5„(х)] /ол!.1(Х) — ол(х)]+ а=и+1 а-л+1 + ] 5„+!(Х) †5л (х)] ] пи.! р(х)] + ] 5л (х)] ]ол р(х) — о„+!(Х)]. (2.23) Так как по условию сумма 5(х) ряда (2.1) и предельная функция о(х) последовательности (о„(х)) ограничены на множестве (х), то найдутся постоянные М! и М2 такие, что для всех х из множества (х) )5(х)!(Мь ! о(х) ](М2. !2.24) Из неравенств (2.24) н из равномерной на множестве (х) сходимости последовательностей (5„(х) ) и (о„(х)) к предельным функциям 5(х) и о(х) соответственно вытекает существование такогц номера У1, что для всех точек х множества (х) и всех номеров и, удовлетворяющих условию п~)Ч„будут справедливы неравенства )5и(Х) ]а .М1+1, ]ол(х) ]~~Ма+1 '(2.25), $2.
достаточные признаки равномерной сходнмости Далее, из равномерной на множестве (х) сходимостн функциональных рядов (2.1) и (2.19) и из критерия Коши равномерной сходимости вытекает, что для произвольного е>0 найдутси номера 1т!з(е) и жз(е) такие, что неравенство ] Яи+р (х) — Яи (хЦ < 3(мз+ !) будет справедливо для точек х множества (х), всех натуральных р и всех номеров п, удовлетворяющих условию п)Из(з), а нера- венство (2.267 и+р-1 ]па+1(х) — па(х)] ( Х з(м,+ В и и.)-1 (2.27) и+р-! Ер (Х) О (Х) = ~и (Оа+! (Х) Оа (Х)] а-и+! из вытекающего нз него неравенства и+р — 1 ]пи+ (х) — ои(х)] с. р !на !(х) — оа(х)] а=и+! и из неравенства (2.27) получаем )е ]цт! р(Х) — ои(Х) ! ( з(м + !) (2.28) для всех точек х множества (х), всех натуральных р н всех номеров и, удовлетворяющих условию п~)й!з(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
