В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Отдельные элементы о» принято называть ч л е н а м и данного бесконечного произведения. Произведение первых и членов данного бесконечного произведения принято называть п-м ч а от и ч н ы м п р он з в е д е н и е м и обозначать символом л '«= тва" .=П »-1 Бесконечное произведение (1.90) называют с х о д я щ и и с я, если последовательность частичных произведений Р„имеет конечный предел Р, отличный'т' от нуля. В случае сходимости бесконечного произведения (1.90) указанный предел Р называют значением этого бесконечного произведения и пишут: Р= П "».
»-! Отметим, что последнее равенство имеет смысл лишь для сходящегося бесконечного произведения. Ясно, что рассмотрение бесконечных произведений по существу представляет собой новую форму изучения числовых последовательностей, ибо каждому данному бесконечному произведению однозначно соответствует последовательность его частичных произведений и каждой числовой последовательности (Р»), все элементы которой отличны от нуля, однозначно соответствует бесконечное произведение, для которого эта последовательность является последовательностью частичных произведений (достаточно положить члены бесконечного произведения равными в»=Р»(Р» 1 при я>! и в,=Р,). Теорема 1.!7, Необходимым условием сходимости бесконегного произведения (1.90) является стремление к единице его я-го члена при й-ьоо.
Доказательство, Пусть бесконечное произведение (1.90) сходится и имеет значение Р, отличное от нуля. Тогда 11гп Р», = » а =1ппР»=Р~=О. Поскольку о»=Р»(Р» ь то !!шв» существует и равен единице. Заметим, что на сходимость бесконечного произведения не влияет удаление любого конечного числа членов этого произведения (если среди этих членов нет равных нулю). Поскольку бесконечное произведение, у которого хотя бы один член равен нулю согласно принятому выше определению считается расходящимся, то пч Тот факт, что при Р=О бесконечное произведение принято считать расходягдимся, хотя и носит условный характер, но позволает провести ~еткую аналогию между сходимостью радон и беснонечных произведений.
$ б. Бесконечные арон»ведения Докажем, что бесконечное произведение (1.93) сходится н имеет значение 1/3. Подсчитаем частичное произведение Роз 1 о+2 л 3 л+2 Таким образом 1!гп Р„=!!гп — ' существует и равен 1/3. Л-» Л Ф ЗЛ 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов. Если бесконечное произведение (1.90) сходится, то в силу теоремы 1.17 все его члены о», начиная с некоторого номера, положительны'е!. Поскольку конечное число первых членов вообще не влияет на сходимость бесконечного произведения, то при изучении вопроса о сходимости бесконечных произведений можно, не ограничивая общности, рассматривать лишь такие бесконечные произведения, у которых всс члены положительны.
Т е о р е м а 1,18, Для того чтобы бесконечное лроизведение (1.90) с положительными членами сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд Л '1' 1по„. »=-1 (1.94) В случае сходимости сумма 5 ряда (1.94) и значение Р произве- дения (1.90) связаны Формулой Р= ее. (1.95) 5„= 1и Р„, Р„= езл, В силу непрерывности показательной функции для всех значений аргумента и непрерывности логарифмической функции для всех положительных значений аргумента последовательность Р„ сходится тогда и только тогда, когда сходится 5„, причем если 1пп 5„=5, то 1пп Р„= вз.
Теорема доказана. Л»Ф Л Ф При исследовании на сходимость бесконечного произведения оказывается очень удобным представить его в виде оч Так как !ио е»= ! »-» До к а з атель ство. Обозначив через Р„п-е частичное произведение бесконечного произведения (1.90), а через 5„п-ю частичную сумму ряда (1.94), можем записать: 48 Гл. 1. Числовые ряды П (1+и )=(1+и )(1+и,)... (1+и~) л=! (1.96) При этом, конечно, в соответствии с принятым выше предположением будем считать, что все ив)-1. Теорема 1.18 утверждает„что вопрос о сходнмости произведения (1.96) эквивалентен вопросу о сходимости ряда ~ 1п(1+и„). л ! (1.97) Теперь мы можем доказать еще одно утверждение.
Теорема 1.19. Если все ил (по крайней лсере начиная с некоторого номера) сохраняют один и тот же знак, то для сходимости бесконечного произведения (1.96) необходил!о и достаточно, чтобы сходился ряд и„. л-! Доказательство. Поскольку условие 1пп ив=0 является необходимым и для сходимости ряда (1.98), и для сходимости произведения (1.96), можно считать это условие выполненным как при доказательстве необходимости, так и при доказательстве достаточности. Но из указанного условия и из асимптотической формулы ве! 1п(1+у) =у+о(у) вытекает, что 1п(1 +и,] л ю вв (1.99) (1.100) в'! Сы.
и. б $10 гл. б ч. 1. 1пп ' =1. 1л(1 + лв) Поскольку по условию теоремы все члены рядов (1.9?) н (1.98), начиная с некоторого номера, сохраняют один и тот же знак, условия (1.99) и (1.100) в силу следствия нз теоремы сравнения 1.3 позволяют утверждать, что ряд (1.98) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (1.97). Теорема доказана. Так же, как и для рядов, для бесконечных произведений вводятся понятия а б с о л ю т н о й и у с л о в н о й сходимостей. Бесконечное произведение (1.96) называется абсолютно сх одящ и м с я в том н только в том случае, когда сходится абсолютно Гл, 1.
Числовые ряды О "= П( — — „"„',) (1.102) й-! 4'. Из разложения (1.102) с помощью соотношения сод х= а!п 2х — элементарно получается следующее разложение: 2иих =-П~1 —, '"' (2й — 1)* иа (1.103) й=! Абсолютная сходимость произведения, стоящего в правой части (1.103), для любого х, отличного от — (21 — 1) (1= О, ~ 1, ...), 1 вытекает из теорем 1.19 и 1.20 и из сходимости ряда (2й — 1)а й-! 5'. Полагая в разложении (!.102) х= —, получим 2 й-! й-! й-! Из (1.104) получается так называемая формула Валлис а"! О г! 1 1 (2й)! 2 2 4 4 2й 2й 2 (2й — 1)(2й+1) ! 3 3 6 (2й — 1) (2й-1-1) й ! (1.105) Путем несложных преобразований формулу Валлиса можно при- вести к виду л .
1 2ай(й!)а 2 — = 1нп 2 й с 2й+ 1 ~ (2й)! ] (1.105) а" Джоя Валлис — английский математик (1616 — 1703). чй ! Так как ряд д — сходится, то в силу теорем 1.19 и 1.20 беса=! конечное произведение (1.101) сходится абсолютно для любого фиксированного значения х, отличного от 1п (где 1=О, -+ 1, ...).
В п. 3 мы докажем, что это произведение сходится к значению з!пх. Тем самым будет обосновано разложение функции 3!пх в бесконечное произведение й 6. Бесконечные произведения Первоначально формулу Валлиса использовали для приближенного вычисления числа и.
В настоящее время для вычисления числа и существуют более эффективные методы. Формула Валлиса как в виде (1.105), так и в виде (1.108) представляет интерес для ряда теоретических исследований 'з>. 3. Разложение функции з(пх в бесконечное произведение. Для удобства разобьем вывод формулы (1.102) на отдельные этапы.
!) Пусть т — любое положительное нечетное число: т=2п+1. Прежде всего докажем, что для любого отлично- го от Ап (й=0, ч-1, ...) значения О "1 справедлива формула яг — 1 Л= —. 2 (1.107) Для вывода формулы (1.107) будем исходить из формулы Муавра зо соз тО+(з!п птО= (соз 8+13(п 8)' . Расписывая правую часть этой формулы с помощью бинома Ньютона и сравнивая мнимые части, получим з(п птО = пг соз — ' О гйп Π— ( ) ( ) соз — ' О гйп' О + .. 3! Учитывая, что гп=2п+1, будем иметь =соззЯΠ— ( ) ( ) совы — 'Огй'0 О... (1.108) гл 51П В 3! В правой части (1.108) все показатели при косинусах и синусах четные, так что если заменить соз' О на 1 †(из О, то в правой части (1.108) получится многочлен степени п относительна з(птО.
Положив г=з)пзО, обозначим этот многочлен символом г(з), а его корни символами аь аз, ..., ая. Так как гп В частности, она мажет быть использована для вывода тзк называемой формулы Стирлингв (см. $6 гл. 7). джемс Стирлинг — зкглийский математик (1692 †17).
ьм В дальнейшем нзс будут интересовать значения 8 лишь из интервалов 0<181<гс. зо Этз формула получается из определения произведения двух комплексных чисел (хь у,)(хз, уз)=(х,х,— у~у„х,уз+хзу,) (см. п. 1 $3 гл. 8 ч. 1). Б самом деле, с помощью етого определения по индукции легко устзновнть, что (созВ, ыпВ)"=(соя ив, ыплв). Гл. !. Числопыс ряды прн О- 0 а=з!пяО-5-0 и левая часть (1.108) стремится к едини- це, то многочлен 'Р(з) можно представить в виде — — Р (г) — (1 — — ) (1 — — )...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
