В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 4
Текст из файла (страница 4)
5 2. Ряды с неотрицательными членами 21 (и! — О+ "+ (он — 11 1 ((он+! — 11+ ° +(о« вЂ” 11~ л л мы получим, что (о — 1~(е при всех пъ)т'!. В самом деле, модуль дроби, заключенной в фигурные скобе (п — д!) кн, не превосходит числа меньшего е/2. Далее, 2 л поскольку номер Ь( фиксирован, модуль дроби, заключенной в квадратные скобки, не превосходит е(2 при всех п)Л!'„ где Ф! — достаточно большое число.
Лемма доказана. Лемма 2. Если последовательность положительнь!х чисел (а„) сходится к пределу Е, то к тому же пределу сходится и «т последовательность Ь„= У а,а, ... а„средних геометрических чисел а!, аь ..., а . Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу непрерывности логарифмической функции для Е > 01пп 1па„= «« =!пЕ. Но тогда по лемме 1 о пределе среднего арифметического существует предел «-е «ю и Из последнего равенства в силу непрерывности показательной функции получим «т 1(ш р'а,а,...
а„= 1нп е!"" '"'"'" =е!««=Е 1 и 1 (1.33) (а — любое вещественное число). В конце и. 2 мы установили, что при а(1 ряд (1.33) расходится, однако остается открытым вопрос о сходимости этого ряда (Вти рассуждения справедливы и при Е=О, если считать !пав= = — оо.) Лемма 2 доказана. Док аз атель ств о у та ер жден и я. Применяя лемму 2 к числам а,=рь а,=р,(р„..., а„=р,)р„!, мы, опираясь на существование равного Е предела (1.21), установим существование равного тому же Е предела (1.26). 4. Интегральный признак Коши — Маклорена. Признаки Даламбера н Коши оказываются непригодными для выяснения вопроса о сходимости некоторых часто встречающихся рядов с положительными членами.
Так, например, с помощью этих признаков нельзя выяснить вопрос о сходимости обобщенного гармонического ряда Гл. !. Числовые ряды при а>1. В этом пункте мы установим еще один общий признак сходнмости ряда с неотрицательными членами, из которого, в частности, будет вытекать сходимость ряда (1.33) при а>1. Теорема 1Л. (признак Коши — Маклорена). Пусть функция 1(х) неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой х:т, где и — любой фиксированныи номер. Тогда числовой ряд Ю ~(я)=Г(и)+~(т+1)+ ~(т+2)+...
сходится в том и только в том случае, когда существует предел при и-~ос последовательности (1.34) а„= ~ ~ (х) йх. (1.36)! Доказательство. Пусть я — любой номер, удовлетворяющий условию !с)т+1, а х — любое значение аргумента из сегмента й — !(х ..й. Так как по условию функция 1(х) не возрастает на указанном сегменте, то для всех х нз укаэанного сегмента. справедливы неравенства ) (й) <1 (х) <) (й — 1) . (1.36) Функция 1(х), будучи ограниченной и монотонной, интегрируема на сегменте 1я — 1, я) (см.
п. 2 $3 гл. 9 ч. 1). Более того, из неравенства (1.36) н из свойства б) (см. п. 2 5 4 гл. 9 ч. 1) вытекает, Что 1 1(А)йх < 1 Кх)йх < 1 1(А — 1)йх, ь-! ь — ! л †! или 1(я) < 1 Т(х)йх<Т" (я — 1). л-! (1.37) т.в 1 ~(-+ 1) < 1' )(.) И-), я~ гл+2 Г(т+2) < ) 1(х)йх .. Г'(т+ 1), я!+ ! Эти неравенства установлены нами для любого Й)т+1. Запишем нх для значений й, равных и+1, т+2, ..., и, где и — любой номер, превосходящий т: 4 2. Ряды с неотрицательными чяеиами 23 л ~(п) < ~ ~(х)дх< ~(п — 1). л-! Складывая почленно записанные неравенства, получим л л л — 1 ~(' )(й)< ~~(х)б < ); Г(й). (1.38) Договоримся обозначать символом 5„п-ю частичную сумму ряда (1.34), равную 5л= ), ) (й). и т Приняв это обозначение и учитывая обозначение (1.35), мы можем следующим образом переписать неравенства (1.38): 5л — Г(т)(а„(5„!.
(1.39) к!-% 1.=л л1-а ! — при а~1, 1 — а л! ! — а л Г 1 а = — !(х= л ! 1и х1;='!'=1пп при а=1. Из вида элементов ал вытекает, что последовательность (ал) расходится при а~1 и сходится прн а)1, причем в последнем случае 1ппал= —, Таким образом, ряд (1.33) расходится при 1 л-~ ~ !я — 1 ее(1 (это мы уже установили выше другим способом) и сходится Эти неравенства позволяют без труда доказать теорему.
В самом деле, из формулы (1.35) очевидно, что последовательность (а„) является неубывающей. Следовательно для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости ряда (1.34) в силу теоремы 1.2 необходима и достаточна ограниченность последовательности (5.). Из неравенств (1.39) вытекает, что последовательность (5 ) ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность (ал), т.
е. тогда и только тогда, когда последовательность (ал) сходится. Теорема доказана, П р и м е р ы. 1'. Прежде всего применим интегральный признак Коши — Маклорена для выяснения сходимости обобщенного гармонического ряда (1.33). Г1оскольку ряд (1.33) можно рассматривать как ряд вида (1.34) при пт=1, 1(х) =1/хл и функция )(х) убывает и положительна на полупрямой х)1, вопрос о сходимости ряда (1.33) эквивалентен вопросу о сходимости последовательности зал), где Гл. 1. Числовые ряды 24 при а>1. В частности, при а=2 ряд (1.33) переходит в ряд (1.24), сходимость которого мы теперь можем утверждать. 2'. Исследуем вопрос о сходимости ряда Х 1 а!пай ' где р — фиксированное положительное вещественное число. Ряд (1.40) можно рассматривать как ряд вида (1.34) при пт=2 и 1 г (х)= — а Поскольку функция 1(х) неотрицательна и невозрастает на полупрямой х>2, вопрос о сходимости ряда (140) эквивалентен вопросу о сходимости последовательности (ая), где (1.40) 1п! Рх х " 1п' Рп — 1п! "2 при ~Ф1, 1 — р хя 1 — р я 1 а„= ( — с(х= Я=3 „1„а„ я 1п!их!„*:т"= 1и!пп — !и !п2 при р= 1.
Из вида элементов а„вытекает, что последовательность (а,) сходится при р>! и расходится при ~(1. Таким образом, ряд (1.40) сходится при р>! и расходится при р(1. 5. Признак Раабе. Признаки Даламбера и Коши были основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, представляющим собой сумму членов геометрической прогрессии Естественно, возникает идея о получении более тонких признаков,'основанных на сравнении рассматриваемого ряда с другимн стандартными рядами, сходящимися или расходящимися «медленнее», чем ряд, составленный из всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В этом пункте мы установим признак, основанный на сравнении рассматриваемого ряда с изученным в предыдущем пункте стандартным рядом (1.41) а-! Теорема 1.3 (признак Раабе'!).
1. Если для всех номеров й, по крайней лзере начиная с некоторого номера, справедливо неравенство й (! — Рд" ) >д ) 1 (А (1 — Р" ') < 1), (1.42) '! Иозеф Людвиг Раабе — швейцарский математик (1801 — 1859). Ю '! Конечно, при этом предполагается, что ряд ~~~ ра„по крайней мере а-! начиная с некоторого номера, имеет строго положительные члены. й 2. Ряды с неетринательнымн членами то ряд ~ р» сходится (расходится). »-1 П. Если сци4ествует предел » Ф Р» I (1.43) — -" — ~ — -' — ) Р»ч1 е Р р»+ 1 Р» »~р, (1.44) Так как д>1, то найдется некоторое число а, удовлетворяющее неравенствам д>а>1. Разложив функцию (1+х) по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано (см.
п. 2 $9 гл. 6 ч. 1), будем иметь (1+х) =1+ах+о(х). 1 Полагая в последней формуле х= — —, получим » ' ( ) т ' ~я (1.45) Поскольку последовательность является бесконечно ма- О (1/») 11» лой; то, начиная с некоторого номера яе, справедливо неравен- ство о~ — ) ч, д — а. 1 (1.46) Сопоставляя (1.45) и (1.46), получим неравенство ( 1 — — ~ > 1 — — (при й>/ге).
11а д (1.47) Сравнение неравенств (1.44) и (1.47) дает < 1 >1 (при й>й). р»+т / ! 1а ! Р» Р» » Р» » то ряд ~р» сходится при Е>! и расходится при 1<1. Теоре- » 1 му П обычно называют признаком Раабе в предельной форме. Доказательство. Докажем отдельно теоремы 1 и П. 1) Для доказательства теоремы ! перевишем неравенство (1.42) в виде 26 Гл. 1. Числовые ряды Последние неравенства можно переписать в виде 1 1 аа — — — (при й > й„). (1.48~ ря 1 р» 1 (а 1)а я — 1 Поскольку ряд (1,41) сходится при а>1 и расходится при а=1, то неравенства (1.48) и теорема сравнения 1.4 позволяют утверждать, что ряд ~Г,Рв сходится (расходнтся), Теорема 1 А-! доказана.
2) Точно так же, как и в признаках Даламбера и Коши, мы сведем теорему 11 к теореме 1. Пусть сначала Ь>1, Положим е=(Ь вЂ” 1)/2, 4=1+и=Ь вЂ” в. По определению предела (1.43) для этого е можно указать номер йе, начиная с которого Й (1 — †" ) — Е~ ( з и, следовательно, справедливо левое рл неравенство (1.42). Если же Ь(1, то мы положим е=1 — Ь и, используя определение предела (1.43), получим, что, начиная с некоторого номера йе, справедливо правое неравенство (1.42).
Теорема !.8 полностью доказана. 3 а меча н ие. В теореме 1.8 (1) в левом неравенстве (1.42) нельзя взять 4=1 (при этом сходимость ряда может не иметь места). При 1=1 теорема 1.8 (П) «не действует» (возможны и сходимость и расходимость ряда). В качестве примера исследуем вопрос о сходимости ряда ! ! ! — ~ !+ — + — е...+— 2 3 л — !! ~ры где р„=а , а=сопя! >О. Признаки Даламбера н Коши в применении к этому ряду «не действуют». Применим признак Раабе. Легко проверить, что ! а(1 Рве!) а — 1 (-т) Последняя дробь при й -со стремится к производной функции а" в точке х=О, т. е. стремится к !па. В силу признака Раабе рассматриваемый ряд сходится при 1па>1, т.
е. при а>е,ирасходится при 1па(1, т. е. при а(е. Прн ал е вопрос о сходимостн ряда требует дополнительного исследования, так как при- знак Раабе «не действует». Другим примером ряда, в примене- 5 2. Ряды с неотрицательными членами нии к которому <не действует» признак Раабе, может служить ряд (1.40). 6. Отсутствие универсального ряда сравнения. Мы уже отмечали, что признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, составленным из всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а признак Раабе — на сравнении с более медленно сходящимся (или расходящимся) рядом (1 41).
Естественно, возникает вопрос о том, не существует ли такой универсальный (предельно медленно!) сходящийся (или расходящийся) ряд, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости (или расходимости) любого наперед взятого ряда с неотрицательными членами. Докажем, что такого универсального ряда не существует. С ь Пусть даны два сходящихся ряда ~1'„, Ра и ~ра' обозначим а=! а-! символами г и г„' соответственно их и-е остатки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
