В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Теорема Римана доказана. Замечание. Аналогично можно было бы доказать, что если ряд сходится условно, то его члены можно переставить так, что последовательность частичных сумм преобразованного ряда будет бесконечно большой последовательностью, все элементы которол, начиная с некоторого номера, положительны (соответственно отрицательны). 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. В предыдущем пункте мы доказали, что условно сходящийся ряд не обладает переместительным свойством.
Докажем, что для всякого абсолютно сходящегося ряда справедливо переместительное свойство. Теорема 1.11 (теорема Коши), Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд. Доказательство. Пусть ряд « иа а-! (1.64) сходится абсолютно н сумма ряда равна 5. Пусть, далее, ~ив а=! (!.65) ряд, полученный из ряда (1.64) посредством некоторой перестановки членов. Требуется доказать, что! 1) ряд (1.66) сходится и имеет сумму, равную 5; 2) ряд (!.66) сходится абсолютно. Докажем сначала 1).
Достаточно доказать, что для любого в>0 найдется номер У такой, что прн п=.М и ~ ~~ив — 5~ С е. а=! (1.66) и за«. м "! Так как мы добавляем в данную группу члены ровно до тех пор, пока обгпая сумма «не перейдет» через число б. Гл. 1. Числовые ряды 34 Фиксируем произвольное е>0. Так как ряд (1.64) сходится абсолютно и имеет сумму, равную 5, то для выбранного е>0 можно указать номер № такой, что будут справедливы неравенства сев+я ) (иа)ч.
— (р — любое натуральное число) (1.67) 2 а=л'в+ ! ~ ие — 5~(— (1.68) Выберем теперь номер с)с столь большим, чтобы любая частичная сумма 5„' ряда (1.66) с номером л, превосходящим сс), содержала все первые № членов ряда (1.64) "!. Оценим разность, стоящую в левой части (1.66), и докажем, что при и !17 для этой разности справедливо неравенство (1.66).
В самом деле, указанную разность можно представить в виде л !! № № )" ие — 5=(') иа — ~" и„)+~) иа — 5). (1.69) е=! «=! А=! А=! Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то из (1.69) получим л л сев сев ~ ~, ил — 5~~~ ~ иа — ~ ил~+ ~ ~, иа — 5~. (1.70) а=! л=! А=! А=! Из неравенств (1.68) и (1.70) очевидно, что для доказательства неравенства (1.66) достаточно доказать, что при л)У л Лв ~~ ие — ~ и„~( —, (1.71) Ь-! а=! Для доказательства неравенства (1.71) заметим, что при и~в!с первая нз сумм, стоящих в его левой части, содержит все сто первых членов ряда (1.64), Вследствие этого разность л № иа — ~" сс„ (1.72) "' Номер йвв в неравенствах (1.67) и (!.66) можно взять один и тот же.
В самом деле, предварительно записав указанные два неравенства с разными номерами №, мы затем можем взять наибольший из двух номеров ЛСв. "! Такой номер йс выбрать можно, ибо ряд (1.66) получается из ряда (1.64) посредством некоторой перестановки членов. 4 4. Признаки сходимости произвольных рядов представляет собой сумму л — !ча членов ряда (1.64) с номерами, каждый из которых превосходит !то, Если выбрать натуральное р столь большим, чтобы номер Ага+ +р превосходил номера всех и — А!о членов только что указанной суммы, то для разности (1.72) во всяком случае справедливо не- равенство и Н, Ф.+я иа з) иа ! и з)Г ! и (1.73) а=! а=! а=л'е+! Из неравенств (1.73) и (1.67) вытекает неравенство (1.71).
Тем самым доказано неравенство (1.66), т. е. доказано, что ряд (1.65) сходится и имеет сумму, равную 5. Остается доказать утверждение 2) о том, что ряд (1.65) сходится абсолютно. Доказательство этого утверждения следует из утверждения 1), если его применить к рядам ),' ! иа! и ).' ! иа!. а=! и=! (1.74) При этом мы докажем сходимость второго из рядов (1.74), т. е. докажем абсолютную сходимость ряда (1.65). Теорема 1.11 пол- ностью доказана.
$4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ В з 2 мы установили ряд признаков сходимости для рядов с неотрицательными членами, Здесь мы изучим вопрос о признаках сходимости для рядов с членами любого знака. Итак, пусть и=! (1.75) (! .76) можно применить любой из признаков З 2 (признак Даламбера, Коши, Раабе или интегральный признак). Однако ни одинизуказанных признаков не дает возможности выяснить более тонкий вопрос об условной сходимости ряда (!.75) '". "! Заметим, что признаки Даламбера и Коши можно применять для установления расходимости ряда с членами любого знака (175!.
В са- 2" ряд, члены которого имеют какие угодно знаки. Прежде всего заметим, что для установления абсолютной сходнмости этого ряда, т. е, для установления сходимости ряда с положительными членами Гл. 1. Числовые ряды Ниже мы и займемся отысканием более тонких признаков, позволяющих устанавливать сходимость ряда (1.78) и в тех случаях, когда этот ряд не является абсолютно сходящимся.
Начнем рассмотрение с вывода одного важного тождества, представляющего собой основной инструмент для установления формулируемых ниже признаков. Утверждение. Пусть (ий) и (ой) — две произвольные последовательности, 5,=и,+и,+...+ий, и и р — два произвольных номера (а~О, 5с=О), Тогда справедливо тождество л+р л+р-! и„о, = ~' 5„(о, — ой+!) + 5«.1.,о«.1, — 5«ол+„ (1.77) й=л+! й-л+! называемое преобразованием А беля. Так как для любого й)1 справедливо равенство ий=5й — 5« !, то левой части (1.77) можно придать вид и+р л+р и о„= ~' 5„о„— ~ 5й !о„. (1.78) й л+! й-л+! й=л+! В последней сумме правой части (1.78) заменим индекс суммиро- вания я на й+1. В результате получим л+р — 1 «+р и+р — \ ийоа= ), 5йо — ) 5„о„1 = ~' 5„(о — ой1,)+ й=л+! а=и+! й= +! й и + 5«+рол+р 5«о«+1 ' Таким образом, тождество Абеля (1.77) доказано.
мом деле, всякий раэ, когда признак Даламбера или Коши констатирует расхо- 0 днмость ряда из модулей ~~ )ий), й-й член ряда (1,7Б) 1ий) не стремится й=! К НУЛЮ Прн й-~.ии, т. Е. ряд 11.75) раСХОднтея. В КаЧЕСтВЕ ПрИМЕра уСтаНОВИМ, О %Ч /х !й что ряд ~' И ( †) расходится для любого фиксированного значения х, ~ й ) й=! удовлетворяющего неравенству )х)>е. Отметим, что непосредственная проверка того, что й-й член рассматркваемого ряда ие стремится к нулю при й-ии, является затруднительной. Применим к рассматриваемому ряду признак Да1ой ы) ламбера.
Обозиачаи й-й член этого ряда»срез аи, будем иметь )ий) 1к) )о„+,) )х) й, откуда Пщ — .= — ) 1. Расходимость ряда доказана. ( — '!' )ой) е й / Зт $4. Признаки сходимости произвольных рядов Определение 1. 17оследовательность (оа) назовем последовательностьюю с ограни ченным изменением, если сходится ряд 7 !па+1 оа! ° (1.79) а-1 Очевидно следующее Утверждение 2. Всякая последовательность с ограничен ным изменением является сходящейся.
В самом деле, из сходимости ряда из модулей (1.79) вытекает сходимость ряда без модулей !!оа+! — оа11. 3-1 (1.80) Обозначив сумму ряда (1.80) через 5, а и-ю частичную сумму этого ряда через 5„и учитывая, что 5„=о„+! — о1, получаем, что 1пп о„= 11щ о„+, существует и равен 5+о!. Это означает, что по.
Л Ф »-~ следовательность (о») сходится к пределу 5+оп Теорема 1.!2 (первый признак Абеля). Если ряд Ф ~ и„ 3 ! (1.81) обладает ограниченной последовательностью частичных сумм, и (о») представляет собой последовательность с ограниченнь!м измгнением, сходящуюся к нулю, то ряд (1.82) а 1 1о„~ ~ —, (1.83) »+Р— 1 Х и 1ов+ — оЫ т- 1 зм (1.84) а-»+! (здесь мы воспользовались сходнмостью к нулю последователь.
ности (оа) и сходимостью ряда (1.79)). сходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию существует число М>0 такое, что последовательность частичных сумм (5») ряда (1.81) удовлетворяет условию ~5„~ ~М. Фиксируем произвольное е>0 и по нему номер У такой, что при п~М и для любого натурального р справедливы неравенства зв Гл. !.
Числовые ризы В силу тождества Абеля (1.77) и в силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит сумму их модулей, получаем л+р л-1-р — ! ) и„о„! . ~ ~ 5л(о„— о„»!)~ + !5«» !. !ол»р!+ )5„! !о„+!!. Й=л»-! л «+1 Так как для всех номеров и справедливо неравенство !5„! ~ ~М, то л-!-р л+р †! илов)(М ~ !ол»,— од!+М!о„».р!+М!о„+!!.
л-л+! и л+! Сопоставляя последнее неравенство с (!.83) и (!.84), получаем, что прн всех и> А! н для любого натурального р «+р ило„~ ( е, л л+! (1.86) (5„„-5 ) (5« „-5 ) (1.86) является бесконечно малой. Учитывая это н сходимость ряда (1.79) и фиксируя произвольное е>0, мы найдем номер !в' такой, что при всех пъА! и для любого натурального р л+р-! (5«ол — 5о!( — ', !5„о„»,— 5о!( —, ~~!1 !ол+,— о,!(— л-«+! (1.8?) Неравенства (1.87), оценка !5„! ~М и тождество Абеля (1.77), переписанное в виде а зто н означает, что ряд (1.82) сходится (в силу критерия Коши).
Теорема 1.12 доказана. Теорема 1.13 (второй признак Абеля), Если ряд (1.81) сходится, а (ол) представляет собой совершенно произвольную последовательность с ограниченным изменением, то ряд (1.82) сходится. Доказательство. Так как сходящийся ряд (1.81) заведомо обладает ограниченной последовательностью частичных сумм (5«), то существует постоянная М>0 такая, что !5„! (М для всех номеров и. Обозначим сумму ряда (1.81) через 5, а предел последовательности (о„) через о. Тогда можно утверждать, что каждое из произведений (5„о„) и (5„о„+!) сходится при п-~-оо к пределу 5 о, а потому каждая из последовательностей й 4. Признаки сходимости произвольных рндов Эв «+р «+р — 1 и»о» «« ~ 5„(о» вЂ” о„».х) + 15„+ро„+р — 5о) + 15о — 5„о„» »1, »-«+з а «+! (1,88) где (о») — невозрастающая сходящаяся к нулю последовательность (все о»>0).
Такой ряд представляет собой частный случай ряда (1.82) при и» вЂ”вЂ” (-1)' ' с рядом (1.81), обладающим ограни. ченной последовательностью частичных сумм "1. В таком случае справедливость признака Лейбница вытекает из уже доказанного признака Дирихле — Абеля (следствия 1 из теоремы 1.12). 3 а м еч а н и е. Легко убедиться в том, что для произвольного ряда Лейбница (1.88) последовательность (5»„) частичных сумм с четными номерами является неубывающей, а последовательность (5з„Д частичных сумм с нечетными номерами является не возрастающей. Отсюда и из замечания 3 к теореме 3 15 ч. ! вытекает, что сумма 5 ряда Лейбница (1.88) для любого номера л удовлетворяет неравенствам 52« ~ 5 ~ 52«-ь "' Последовательность 8«частичных сумм ряда (1.81) с членами и* =( — 1)' — ' имеет вид 1, О, 1, О, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
