Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1Определение 3.1a. Бесконечное подмножество A ⊆ V называется линейно зависимым, если существует конечное подмножествоA0 ⊂ A, являющееся линейно зависимым (в смысле определения 3.1).Как обычно, линейная независимость определяется через отрицание линейной зависимости. Законы математической логики приводят нас к следующему пониманию свойства линейной независимости:бесконечное подмножество является линейно независимым тогда итолько тогда, когда таковым является каждое его конечное подмножество.Пример 3.1.
Порождающая система из единичных векторов En[см. (2.11)] является линейно независимой в арифметическом линейном пространстве P n .Аналогично, в пространстве Pn [x], изоморфном P n+1 , порождающая система одночленов Bn [см. (2.6)] является линейно независимой. Это легко следует из определения равенства многочленов:многочлен (2.12) равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю.Рассмотрим теперь в пространстве всех многочленов P [x] бесконечное порождающее множество B всех одночленов [см.
(2.10)]. Согласно определению 3.1а, оно будет линейно независимым. В самомделе, всякое конечное подмножество A в множестве B может бытьвключено в некоторое конечное множество вида Bn (содержащее теже элементы, что и список Bn ). Линейная независимость Bn влечет(в силу предложения 3.1) линейную независимость A.3.4. Линейно независимые системы векторов в функциональных пространствах.
Рассмотрим линейное пространствоV = C ∞ (D, R) бесконечно гладких функций на (конечном или бесконечном) открытом интервале D ⊆ R. (Ранее, в примере 1.7, мырассматривали пространство 1-гладких, т. е. непрерывно дифференцируемых, функций. Бесконечно гладкая функция обязана иметьпроизводные всех порядков; автоматически эти производные будутнепрерывными функциями.)Рассмотрим какую-либо конечную с.в.An = [ f1 (x), f2 (x), ... , fn (x) ](3.6)в пространстве V. Для исследования вопроса о линейной зависимости(независимости) таких систем функций используются особого родафункциональные определители.§3Линейно зависимые (независимые) системы векторов45Каждую из данных функций продифференцируем n − 1 раз и составим квадратную матрицу n-го порядкаf1 (x)f2 (x)0f20 (x) f1 (x)MAn (x) = f100 (x)f200 (x)······(n−1)(n−1)(x) f2(x)f1···············fn (x)fn0 (x) fn00 (x) .···(n−1)fn(x)(3.7)Определение 3.2.
Матрица (3.7) называется матрицей Вронского, а ее определительWAn (x) = det(MAn (x))(3.8)называется определителем Вронского (или вронскианом) системыфункций (3.6).Всякий определитель является полиномиальной функцией (многочленом) от своих элементов. Поэтому вронскиан (3.8), как и егоэлементы, является гладкой функцией от x ∈ D.Выведем далее необходимое условие линейной зависимости системы An .Предложение 3.3. Если система векторов-функций (3.6) линейно зависима, то вронскиан (3.8) тождественно равен нулю на интервале D.Доказательство. Пусть система An линейно зависима, т. е.
найдутся действительные числа λk (k = 1, ..., n), не все равные нулю итакие, что тождественно по x выполняется равенствоλ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + ... + λn fn (x) = 0.(3.9)Тождество (3.9) почленно продифференцируем n − 1 раз. Всеполученные тождества с производными, вместе с исходным тождеством, объединим в следующую систему:λ1 f1 (x)+ λ2 f2 (x)+ ... + λn fn (x)= 0;0+ λ2 f20 (x)+ ... + λn fn0 (x)= 0; λ1 f1 (x)(3.10)= 0;+ λ2 f200 (x)+ ...
+ λn fn00 (x)λ1 f100 (x)..................................................................(n−1)(n−1)λ1 f 1(x) + λ2 f2(x) + ... + λn fn(n−1) (x) = 0.46Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Систему соотношений (3.10) можно рассматривать как квадратную систему из n линейных однородных уравнений относительно nдействительных неизвестных λk .Матрицей этой системы служит матрица Вронского (3.7); переменная x фигурирует в ней в качестве параметра.
Краткой записьюоднородной с.л.у. (3.10) будетMAn (x) · λ = 0,(3.10a)где λ — вектор-столбец неизвестных, принадлежащий Rn .По предположению, существует набор чисел λk (среди которыхесть ненулевые), удовлетворяющий (3.10) при любом значении переменной x ∈ D. Следовательно, эта однородная с.л.у. имеет нетривиальное решение (при всяком x). Это возможно, лишь если (прилюбом значении переменной) матрица Вронского вырождена, или,что равносильно, определитель Вронского равен нулю (см. [A1 , пп.6.2, 28.2]). ¤Ниже мы будем пользоваться предложением 3.3 в форме достаточного условия линейной независимости системы векторов-функций: если вронскиан WAn (x) отличен от нуля хотя бы в одной точкеобласти определения функций, то (в этой области) система An является линейно независимой.Замечание 3.1.
Наряду с действительным линейным пространством V = C ∞ (D, R), можно рассматривать комплексное пространствоW = C ∞ (D, C), состоящее из бесконечно гладких комплексных функций действительной переменной. Комплексная функция w = f (x)действительной переменной x ∈ D ⊆ R определяется как выражениеf (x) = g(x) + ih(x), где u = g(x) и v = h(x) являются действительными гладкими функциями (g, h ∈ V ). Пространство W являетсялинейным пространством над полем C. Основные понятия математического анализа, такие как понятия предела, производной и т. д.,без каких-либо изменений переносятся на случай комплексных функций, с сохраненим всех основных фактов, формул и правил.
(Мнимая единица фигурирует в вычислениях как константа.)Предложение 3.3 также, очевидно, сохраняет силу для комплексных гладких функций действительной переменной.Пример 3.2. Рассмотрим следующую систему гладких функций[векторов пространства V = C ∞ (R, R) ]:An = [ eλ1 x , eλ2 x , ... , eλn x ],(3.11)§3Линейно зависимые (независимые) системы векторов47где λk (k = 1, ..., n) — попарно различные действительные числа.Докажем, что эта с.в. линейно независима.Для этого достаточно вычислить все производные (до порядкаn−1 включительно) от составляющих систему (3.11) показательныхфункций, а затем заполнить и вычислить вронскиан. В вычисленияхнам понадобится свойство вынесения общего (в столбце) множителя за знак определителя и встретится известный (см.
[A1 , п. 30а.5])определитель Вандермонда:¯eλ2 x···eλn x ¯¯λ2 eλ2 x···λn eλn x ¯¯λ22 eλ2 x···λ2n eλn x ¯ =¯·········¯n−1 λ2 xn−1 λn x ¯λ2 e· · · λn e¯¯1···1 ¯¯ 1¯¯λ2···λn ¯¯ λ1¯¯λ22···λ2n ¯ == eλ1 x eλ2 x ... eλn x ¯ λ21¯¯········· ¯¯ ···¯¯ n−1λ1λn−1· · · λn−1n2¯¯ eλ1 x¯¯ λ1 eλ1 x¯WAn (x) = ¯ λ21 eλ1 x¯¯ ···¯ n−1 λ1 xλ1 e= eλ1 x eλ2 x ... eλn x ∆n (λ1 , λ2 , ... , λn ) =Yλ1 x λ2 xλn x(λl − λk ) .= e e ... e16k<l6nРезультат вычислений отличен от нуля, ибо все показательныемножители в нуль не обращаются и произведение также являетсяненулевым (в силу предположения о том, что λk попарно различны).По предложению 3.3, система функций (3.11) линейно независима.Замечание 3.2. Все вычисления и вывод примера 3.2 остаются всиле в случае комплексных чисел λk = αk +iβk (k = 1, ..., n); при этомпоказательные функции определяются известными (см.
[A1 , п. 34.2])формуламиfk (x) = eλk x = eαk x (cos βk x + i sin βk x)(3.12)и являются бесконечно гладкими комплексными функциями действительной переменной [ fk ∈ W = C ∞ (R, C) ].Такое заключение основано на том факте, что все формулы дифферециального исчисления, относящиеся к показательной функции48Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1действительной переменной, сохраняют свою силу в поле C [об этоммы упоминали в первом пособии; см. формулу (34.6)].Пример 3.2, с учетом замечания 3.2, позволяет рассмотреть ещеодин важнейший пример, напрямую связанный с так называемыманализом Фурье — особой ветвью математическуго анализа, исследующей колебательные процессы в природе (и, в частности, разъясняющей, что такое музыка).Пример 3.3.
Рассмотрим следующую систему из 2n + 1 бесконечно гладких (тригонометрических) функций :T = [ 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... , cos nx, sin nx ].(3.13)Докажем, что система (3.13) является линейно независимой. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию с.в. T , значение которой равно нулю:α0 · 1 + α1 · cos x + β1 · sin x + α2 · cos 2x + β2 · sin 2x ++ ... + αn · cos nx + βn · sin nx = 0.(3.14)Коэффициенты αk и βl (k = 0, ..., n; l = 1, ..., n) в формуле (3.14)являются действительными числами. Надо доказать, что все ониравны нулю.Первую функцию в системе (константу) мы представим в виде1 = e0·x . Косинусы и синусы представим по формулам Эйлера (см.[A1 , п.
34.3]):cos kx =1 ikx1(e + e−ikx ); sin kx = (eikx − e−ikx ).22i(3.15)Подставляя (3.15) в (3.14), производя группировку по показательным функциям и упрощая выражения для (комплексных) коэффициентов перед ними, получим:γ0 · e0·x + γ1 · eix + γ2 · e2ix + ... + γn · enix ++ γ−1 · e−ix + γ−2 · e−2ix + ... + γ−n · e−nix = 0,(3.16)гдеγ0 = α0 : γk =αk − iβkαk + iβk; γ−k =(k = 1, ..., n).22(3.17)§3Линейно зависимые (независимые) системы векторов49Система комплексных показательных функцийT 0 = [ e−nix , ...
, e−2ix , e−ix , e0·x , eix , e2ix , ... , enix ](3.130 )линейно независима (в силу результата примера 3.2, с учетом замечания 3.2). Поэтому равенство (3.16) влечет обращение в нуль всех(комплексных) коэффициентов γk (−n 6 k 6 n). Выражения (3.17)для γk позволяют заключить отсюда, что обращаются в нуль все(действительные) коэффициенты, фигурирующие в (3.14).Последний пример будет несложным упражнением.Пример 3.4. Рассмотрим систему степенных функцийAn = [ xα1 , xα2 , ... , xαn ],(3.18)где αk (k = 1, ..., n) — попарно различные действительные числа, аобластью определения считается положительная полуось D = (0, ∞).Докажите, что с.в. (3.18) линейно независима в пространстве∞C (D, R).Указание.
Воспользуйтесь представлением xαk = eαk ·ln x и заменой переменной y = ln x.Замечание 3.3.∗ Предложению 3.3 и последующим примерам можно придать другую форму, если вместо конечных систем функций[(3.6), (3.11), (3.13) и (3.18)] рассмотреть аналогичные бесконечныесистемы или бесконечные множества векторов-функций.Скажем, в условиях предложения 3.3 можно рассмотреть бесконечное множество (попарно различных) бесконечно гладких функцийA = { f1 (x), f2 (x), ... , fk (x), ... }.(3.6a)Линейная зависимость (в смысле определения 3.1а) бесконечногомножества (3.6а) влечет обращение в (тождественный) нуль определителя Вронского, отвечающего некоторому конечному подмножеству множества (3.6а). Всякое конечное подмножество в A можнорасширить до подмножества An , содержащего первые n функций[оно соответствует системе An вида (3.6)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
