Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пространство многочленов.Многочлены можно определять (см. [A1 , п. 36.1]) как финитныестепенные ряды вида (1.5). Множество P [x] многочленов над полем P является подмножеством в пространстве P [[x]]. Для каждогоf (x) ∈ P [x] (кроме нулевого многочлена) определено неотрицательное целое число n = deg(f (x)) — степень многочлена; она являетсяномером последнего ненулевого коэффициента в формуле (1.5); многочлен представляется (конечной) суммойf (x) =nXfk xk = f0 + f1 x + f2 x2 + ...
+ fn xn .(1.6)k=0Множество многочленов само является линейным пространствомнад P. (Это следует из того, что алгебраческие действия над финитными степенными рядами снова приводят к финитным рядам; см. вследующем пункте понятие линейного подпространства.)Пример 1.4. Расширение поля как линейное пространство.Допустим, поле P содержится (в качестве подполя) в более широком поле L. (В этом случае говорят также, что L является расширением P ). Тогда L можно рассматривать как линейное пространствонад P.
В самом деле, произведение λ · x (λ ∈ P ; x ∈ L) определено,поскольку оно определено в L, а все аксиомы линейного пространства над P выполняются, т. к. сводятся к соответствующим полевымаксиомам в L.В частности, поле действительных чисел R является расширениемполя рациональных чисел Q и поэтому может рассматриваться каклинейное пространство над Q.Аналогично, поле комплексных чисел C является линейным пространством над R.
Кстати, именно так поле C вводилось в [A1 ] (см.векторную модель в п. 31.3).1.5. Линейные подпространства. Пусть V — линейное пространство над полем P.22Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Определение 1.2. Непустое подмножество W ⊆ V называетсялинейным подпространством в пространстве V, если оно устойчиво относительно алгебраических действий над векторами, т. е.
если1) сумма двух векторов, принадлежащих W, снова принадлежит Wи 2) при умножении вектора из W на произвольный скаляр сноваполучается вектор из W.Для линейных подпространств используется обозначение W 6 V.Два условия определения 1.2 можно заменить одним следующим:для любых векторов x, y ∈ W и любых скаляров λ, µ ∈ P линейнаякомбинация λx + µy принадлежит W.Очевидно, линейное подпространство W 6 V само является линейным пространством над P, причем — относительно тех же алгебраических действий, которые были определены на V и сужаютсяна W (благодаря его устойчивости).Столь же очевидно то, что линейное подпространство в линейномподпространстве является линейным подпространством и в исходномлинейном пространстве.С определением линейных подпространств (преимущественно дляслучая, когда данное линейное пространство является арифметическим) мы давно знакомы и уже активно работали (см. [A1 , пп.3.2, 8.2 ]).Из условий 1 и 2 определения 1.2 (с учетом непустоты подпространства) немедленно следует, что всякое линейное подпространство W 6 V содержит нулевой вектор (в самом деле, произвольныйвектор x ∈ W можно умножить на нулевой скаляр и результат такжебудет принадлежать W ).Вместе с какими-либо векторами a1 , ...
, ak , принадлежащими подпростраству W, произвольная линейная комбинация λ1 a1 + ... + λk ak(λi ∈ P ; i = 1, ..., k) также будет принадлежать W. (Подробнее олинейных комбинациях см. ниже, в п. 2.1.)В любом линейном пространстве V можно указать два тривиальных подпространства: нулевое подпространство W = O = {0} иподпространство, совпадающее со всем пространством: W = V.С нетривиальными примерами линейных подпространств мы познакомимся в следующей серии примеров.Пример 1.5. Два общих способа задания подпространств в арифметических линейных пространствах изучались в [A1 ], в п.
13.1.Напомним эти способы.§1Аксиомы линейного пространства над полем23Всякая (m × n)-матрица A с элементами из P определяет два линейных подпространства:1) нуль-пространство (ядро) матрицы A:L0A = { x ∈ Rn : A · x = 0 } 6 P n ;(1.7)2) образ (линейную оболочку столбцов) матрицы A:RA = h a1 , a2 , ... , an i 6 P m .(1.8)Пример 1.6. В примере 1.3 пространство многочленов P [x] изначально определялось как линейное подпространство в пространствестепенных рядов P [[x]].Зафиксировав неотрицательное целое число n, можно рассмотреть подмножество Pn [x] тех многочленов над P, степени которыхне превышают n.
Свойства степени обеспечивают устойчивость этого подмножества относительно линейных алгебраических операций.Таким образом, Pn [x] 6 P [x].Пример 1.7. Если поле P является бесконечным, то (см. [A1 , пп.39.1, 39.4]) многочлены можно рассматривать как полиномиальныефункции и пространство многочленов P [x] — как линейное подпространство в пространстве функций F(P, P ).Числовые поля R и C несут, помимо алгебраической, еще и другие математические структуры, связанные с понятием предельногоперехода. Эти структуры изучаются в курсах математического анализа и топологии.
С их помощью вводятся в рассмотрение классынепрерывных и гладких функций.Класс C(R, R) непрерывных функций (заданных на всей действительной оси и принимающих действительные значения) вам хорошознаком, и мы не будем здесь его описывать. Сумма непрерывныхфункций снова есть непрерывная функция, при умножении непрерывной функции на скаляр (константу) непрерывность также сохраняется. Поэтому можно констатировать, что множество C(R, R)является линейным подпространством в пространстве всех функцийF(R, R). Класс гладких (точнее: 1-гладких) функций C 1 (R, R) определяется как множество всех непрерывно дифференцируемых (имеющих непрерывную производную на R) функций. Свойства производной и свойства дифференцируемых функций немедленно влекуттот факт, что гладкие функции образуют линейное подпространство24Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1в пространстве непрерывных функций.
Еще более узким подпространством является класс бесконечно гладких (имеющих производные любого порядка) функций C ∞ (R, R).Многочлены с действительными коэффициентами являются непрерывными, а также бесконечно дифференцируемыми функциямина R, поэтому возникает следующая цепочка подпространств:R[x] 6 C ∞ (R, R) 6 C 1 (R, R) 6 C(R, R) 6 F(R, R).Отметим далее следующее важнейшее свойство линейных подпространств в линейном пространстве (характерное, впрочем, и для подобъектов вообще, в других типах алгебраических объектов, например, для подгрупп в группе и т.
п.)Предложение 1.2. Пересечение любого семейства линейныхподпространств в линейном пространстве V само является линейным подпространством в V.Доказательство. Пусть (Wι )ι∈I — произвольное (конечное илибесконечное) семейство линейных подпространств Wι 6 V, индексированное элементами ι ∈ I некоторого множества I. Пересечениеэтого семейства\W =Wι = { x ∈ V : (∀ι ∈ I) [ x ∈ Wι ] }ι∈Iсостоит из тех и только тех векторов пространства V, которые принадлежат всем подпространствам данного семейства.Если x, y ∈ W, то x и y принадлежат каждому из Wι 6 V. Поэтомулюбая линейная комбинация λx + µy (λ, µ ∈ P ) принадлежит каждому из Wι и, следовательно, их пересечению W.
Значит, W 6 V. ¤1.6. Линейные отображения. Пусть V и W — линейные пространства над одним и тем же полем P, а ϕ : V → W являетсяотображением из V в W.Определение 1.3. Отображение ϕ называется линейным отображением (или линейным оператором, или линейным гомоморфизмом), если оно согласовано с линейными алгебраическими действиями (или, иначе говоря, сохраняет суммы и произведения на скаляр),т. е. если справедливы следующие два свойства:§1Аксиомы линейного пространства над полем25(∀ x, y ∈ V ) [ ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ];(1.9)(∀ x ∈ V, λ ∈ P ) [ ϕ(λ · x) = λ · ϕ(x) ].(1.10)В пособии [A1 ] линейные отображения (для случая арифметических пространств) определялись в п.
15.1. Данное выше общее определение ничем (кроме обозначений для векторов) не отличается оттого, которое приводилось в частном случае, изучавшемся в предыдущем семестре.Остаются справедливыми все основные свойства линейных отображений. Например, сохранение нуля ϕ(0) = 0 доказывается так:равенство 0 + 0 = 0 и свойство (1.9) влекут равенство a + a = a длявектора a = ϕ(0) ∈ W, после чего остается воспользоваться вспомогательным результатом, установленным в начале доказательствапредложения 1.1, и получить a = 0.Линейные отображения сохраняют также линейные комбинациивекторов:ϕ(λ1 a1 + ... + λk ak ) = λ1 ϕ(a1 ) + ...
+ λk ϕ(ak ),(1.11)где ai ∈ V ; λi ∈ P (i = 1, ... , k).Сохраняются обозначения и описание для нулевых отображенийo : V → W ; o(x) = 0; x ∈ V,а также тождественных отображенийε : V → V ; ε(x) = x; x ∈ V.В случае необходимости, если требуется явно указать пространство, в обозначение тождественного отображения может включатьсяуточняющий индекс: εV .Без всяких изменений (следует только убрать ненужные чертынад векторами) на абстрактный случай переносятся такие свойствалинейных отображений как линейность композиции двух линейныхотображений, линейность обратного отображения для обратимоголинейного отображения и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
