Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е. A · B = O), то их разделительная сумма совпадает с обычной:A ⊕ B = A + B.Упомянем, что разделительная сумма часто именуется симметрической разностью, обозначается символом ∆ и выражается формулойA ∆ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).(1.20a)Диаграмму Венна для A ⊕ B см. на рис. 1.1 в прил. 2.Докажем, что разделительное сложение определяет в множествеV = 2I структуру коммутативной группы, т. е. для этого действиясправедливы первые четыре аксиомы линейного пространства.Коммутативность (V2 ) и свойство нулевого элемента (V3 ) совершенно очевидны.
Легко (и неожиданно) решается проблема с противоположными элементами: элементом, противоположным к A ∈ V,32Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1будет сам этот элемент: A ⊕ A = O. Так что и четвертая аксиомасправедлива.Немного повозиться придется с первой аксиомой — ассоциативностью разделительного сложения:(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C); A, B, C ∈ V.(1.21)Распишем левую часть формулы (1.21).[Задание: вставьте в нижеследующих преобразованиях, над каждым из знаков равенства ссылки на используемые законы булевойалгебры (b.1) — (b.19).](A ⊕ B) ⊕ C = (A · B + A · B) ⊕ C == (A · B + A · B) · C + (A · B + A · B) · C =³´=A·B·C +A·B·C + A·B·A·B ·C == A · B · C + A · B · C + (A + B) · (A + B) · C ==A·B·C +A·B·C +A·A·C +A·B·C +B·A·C +B·B·C == A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C.Получив в результате преобразования левой части (1.21) симметрический (не изменяющийся при любой перестановке букв A, B, C)результат, мы можем немедленно прийти к выводу, что после аналогичных преобразований в правой части, мы придем в точностик такому же результату.
Тем самым формула (1.21) доказана. Нобудет совершенно не вредно (и даже очень полезно), если вы не поленитесь самостоятельно провести все упомянутые преобразования.Ассоциативность операции ⊕ позволяет записывать выражениеA ⊕ B ⊕ С без использования скобок. Взгляните на диаграмму Венна для разделительной суммы трех слагаемых (рис.
1.2 в прил. 2).После этого для вас станет очевидна следующая формула:A ⊕ B ⊕ С = A · B · C ⊕ A · B · C ⊕ A · B · C ⊕ A · B · C.(1.22)Итак, можно считать, что множество V является коммутативнойгруппой относительно разделительного сложения ⊕.Теперь мы выберем поле скаляров и зададим на V операцию умножения на скаляры. Выбор здесь совершенно ясен. В любом полеимеется единица 1, и, чтобы удовлетворить (V5 ) , мы должны иметь(1 + 1) · A = 1 · A ⊕ 1 · A,§2Системы векторов. Конечномерные пространства33или, с учетом (V8 ):(1 + 1) · A = A ⊕ A = O.(1.23)Требование (1.23) будет удовлетворено, если в поле скаляров выполняется равенство 1 + 1 = 0. Такие поля имеются, и простейшее изних — поле классов вычетов F2 = {0, 1}.
(Заметьте, что в арифметике этого поля "нет двойки". А если все же определить: 2 = 1 + 1, топридется считать, что 2 = 0.) Примем по определению:defdef0 · A = O; 1 · A = A(1.24)и проверим аксиомы (V5 ) — (V7 ) . Восьмую аксиому проверять ненадо: она фигурирует как часть определения (1.24).Три указанные аксиомы проверяются очень просто. Рассужденияоднотипны, и мы ограничимся проверкой (V5 ) :(λ + µ) · A = λ · A ⊕ µ · A; λ, µ ∈ F2 ; A ∈ V.(1.25)Имеют место четыре случая:1) λ = µ = 0; 2) λ = µ = 1; 3) λ = 0; µ = 1; 4) λ = 1; µ = 0.Первый из них тривиален, третий и четвертый ничем не отличаются друг от друга и столь же тривиальны; остается убедиться всправедливости (1.24) во втором случае.
Но и это тривиально, поскольку выполняется в силу принятых определений [см. (1.22)].Итак, проверены все восемь аксиом и мы можем констатировать:множество V = 2I всех подмножеств непустого множества I является линейным пространством над полем F2 (относительно разделительного сложения подмножеств и естественного умножения подмножеств на скаляры из F2 ).§ 2. Системы векторовв линейных пространствахи их линейные оболочки.Порождающие системы векторов.Конечномерные и бесконечномерныелинейные пространства2.1.
Системы векторов в линейном пространстве и их линейные оболочки. Пусть V — линейное пространство над полем P.34Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1В настоящем параграфе нам предстоит "переизложить" на новом(абстрактном) уровне теорию систем векторов и их линейных оболочек (см. в частном случае арифметических пространств пп. 8.1, 8.2пособия [A1 ]).Определение 2.1. Конечной системой векторов (с.в.) в пространстве V называется конечный упорядоченный набор (список, конечная последовательность)A = [ a1 , a2 , ...
, ak ],(2.1)векторов ai ∈ V (i = 1, ... , k), где k ∈ N. (Рассматривается такжепустая система векторов ∅ = [ ].)Термин подсистема понимается как подпоследовательность (подсписок, с сохранением порядка).Определение 2.2. Линейной комбинацией (непустой) с.в. (2.1)Pkназывается выражение вида i=1 λi ai , где λi ∈ P (i = 1, ..., k).Если в этом выражении произвести действия (умножения на скаляры и сложение), то получится векторa=kXλi ai ,(2.2)i=1который называется значением линейной комбинации.Говорят таже, что вектор a линейно выражается через векторы,входящие в A.Значение линейной комбинации определено корректно в силу аксиом (V1 ) — (V8 ) , однако различные линейные комбинации могутиметь одинаковые значения.Определение 2.3.
Линейной оболочкой (непустой) конечной с.в.(2.1) называется подмножество hAi ⊆ V, состоящее из значений всевозможных линейных комбинаций векторов этой системы:(hAi =(=kX)λi ai : λi ∈ P ; i = 1, ..., k=i=1a ∈ V : [ ∃λi ∈ P (i = 1, ..., k) ] [ a =kXi=1(2.3))λi a i ].§2Системы векторов. Конечномерные пространства35Таким образом, для A =6 [ ] линейная оболочка hAi состоит из всехвекторов a ∈ V, линейно выражающихся через с.в. A.
Из коммутативности сложения вытекает, что линейная оболочка с.в. не зависитот порядка векторов в системе. Возможность перегруппировки слагаемых обеспечивает неизменность линейной оболочки при выбрасывании из с.в. повторяющихся элементов. Очевидно также, что налинейную оболочку с.в. не повлияет выбрасывание из нее нулевоговектора (если он присутствовал в системе).Линейная оболочка пустой с.в. по определению считается состоящей из единственного (нулевого) вектора:h∅i = O = {0}.(2.3a)Предложение 2.1.
1. Для любой с.в. (2.1) в линейном пространстве V ее линейная оболочка hAi является линейным подпространством в V, т. е.hAi 6 V.(2.4)2. Это линейное подпространство является наименьшим из подпространств в V, содержащих все векторы, входящие в A, т. е. еслидля какого-либо линейного подпространства W 6 V справедливоai ∈ W (∀i = 1, ..., k), то hAi ⊆ W.Доказательство. Данное предложение получено обобщением (абстрагированием) предложения 8.1 пособия [A1 ]. Вам предлагаетсямодернизировать доказательство. (В основном это будет сводитьсяк смене обозначений, в частности, — к отказу от черточек над векторами.
Заметьте также, что и для пустой с.в. утверждение предложения остается в силе.) ¤Замечание 2.1. Легко понять, что при расширении с.в. ее линейная оболочка по крайней мере не сужается. Точнее, справедливоследующее утверждение: если с.в. A является подсистемой с.в. B,то линейная оболочка hAi является линейным подпространствомлинейной оболочки hBi.Определение 2.4. Пусть W — линейное подпространство в пространстве V и A — система векторов, принадлежащих подпространству W. Говорят, что A порождает W (или является порождающейдля W ), еслиhAi = W.(2.5)Если речь идет о порождающей с.в., без указания подпространства W, то имеется в виду, что она порождает все пространство V.36Линейные пространства.
Базисы и размерностиГл. 1Всякая система векторов из W , содержащая с.в., порождающуюподпространство W, сама является порождающей для W. (В самомделе, если вектор a ∈ W линейно выражается через некоторую с.в.,то он будет линейно выражаться и через более широкую систему.)Порождающая с.в. останется таковой, если из нее выбросить повторно встречающиеся, а также нулевые векторы.Примеры порождающих с.в. для арифметических линейных пространств и их подпространств вам следует "подгрузить" в вашу оперативную память из пособия [A1 ]. Здесь мы приведем только одинпростой пример. Он лишь на первый взгляд является новым; насамом деле, как мы вскоре убедимся, он сводится к разобранным впрошлом семестре.Пример 2.1. Рассмотрим в пространстве V = Pn [x] (см. пример 1.6) с.в.Bn = [ 1, x, x2 , ... , xn ].(2.6)Всякий многочлен степени не выше n представляется в виде линейной комбинации одночленов, входящих в (2.6), с коэффициентами из поля P.
Следовательно B порождает V.2.2.∗ Линейные оболочки подмножеств в линейных пространствах. В рабочих (вычислительных) вопросах линейной алгебры линейные пространства и их подпространства задаются каклинейные оболочки конечных систем векторов, причем последниепонимаются как списки. Если каким-либо образом переставить элементы в списке, то получится новый список.
Однако линейная оболочка при этом не изменится.В связи с этим (в основном, в теоретических вопросах) применяется иной подход (кратко о нем говорилось в замечании 8.5 в[A1 ]). Вместо конечных списков рассматриваются конечные множества, которые не содержат повторяющихся элементов и не наделеныкаким-либо порядком.При реальной записи множества (попарно различных) векторовA = {a1 , a2 , ...
, ak }(2.1a)[ср. со списком (2.1)] какой-то порядок (нумерация) все же используется, но при изменении этого порядка (перестановке векторов) множество считается неизменным.Мы можем говорить о линейных комбинациях векторов из подмножества (2.1a), о линейной оболочке hAi для этого подмножества.§2Системы векторов. Конечномерные пространства37Но что самое важное, при таком подходе можно говорить об оболочке произвольного (не обязательно конечного) подмножества.Определение 2.3а. Пусть A — любое подмножество в линейномпространстве V.
Линейная оболочка hAi этого подмножества считается состоящей из всевозможных линейных комбинаций всевозможных конечных подмножеств множества A.Элементы hAi представляются в виде конечных суммx = λ1 a1 + ... + λk ak ; λi ∈ P ; ai ∈ A (i = 1, ... , k),(2.7)где k — произвольное натуральное число.Следующее предложение является альтернативной версией предложения 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
