Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 6
Текст из файла (страница 6)
п. (см. [A1 , пп. 15.1, 15.4]). Чтобы датьобразец для самостоятельных упражнений, восстановим доказательство последнего из упомянутых фактов.26Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Пусть ϕ : V → W является обратимым линейным отображением.Это значит, что существует отображение ψ : W → V такое, чтоψ ◦ ϕ = εV ; ϕ ◦ ψ = εW .Пусть теперь на векторах u, v ∈ W отображение ψ принимаетзначения ψ(u) = x, ψ(v) = y, где x, y — однозначно определенныевекторы из пространства V , такие, что ϕ(x) = u и ϕ(y) = v.Свойство (1.9) для отображения ψ доказывается так:ψ(u + v) = ψ(ϕ(x) + ϕ(y)) = ψ(ϕ(x + y)) = x + y = ψ(u) + ψ(v).Свойство (1.10) проверяется аналогично, но еще проще.Напомним, а точнее — воспроизведем в новой (абстрактной) ситуации, классификацию линейных отображений по типам. Для случаяарифметических линейных пространств этот материал излагался в[A1 ], в п.
15.6.Словарь морфизмовЛинейный гомоморфизмЛинейное отображениелинейных пространств:ϕV −→ WЛинейный мономорфизмИнъективныйлинейный гомоморфизмЛинейный эпиморфизмСюръективныйлинейный гомоморфизмЛинейный изоморфизмОбратимыйлинейный гомоморфизм;равносильно:(моно- и эпи-)морфизмЛинейный эндоморфизмЛинейный гомоморфизмлинейного пространстваϕв себя: V −→ VЛинейный автоморфизмОбратимыйлинейный эндоморфизмРассмотрим далее несколько примеров линейных отображений.§1Аксиомы линейного пространства над полем27Пример 1.8.
Как показано в [A1 ], в п. 15.3, всякое линейное отображение арифметических линейных пространств ϕ : P n → P m однозначно определяется (m × n)-матрицей A:ϕ(x) = A · x ; x ∈ P n .(1.12)В п. 15.6 изучались условия (моно-, эпи-, изо-)морфности отображения (1.12).Пример 1.9. Описанное в примере 1.1 отображение векторизации (1.4) является линейным изоморфизмом линейного пространства (m×n)-матриц на арифметическое линейное пространство P mn .Пример 1.10.
Оператор дифференцирования.В этом примере в качестве поля P будет фигурировать поле действительных чисел R. Рассмотрим пространство гладких функцийC 1 (R, R) (см. пример 1.7) и отображение 0 , сопоставляющее гладкой функции f ее производную f 0 [полученная функция (в силугладкости исходной) будет непрерывной, т.
е. будет принадлежатьпространству C(R, R) ]. Из курса математического анализа известнысвойства производной: производная суммы функций равна суммепроизводных; постоянный множитель можно выносить из-под знакапроизводной. Эти свойства позволяют констатировать, что отображение0: C 1 (R, R) −→ C(R, R); f 7→ f 0 ; f ∈ C 1 (R, R)(1.13)является линейным оператором.Оператор дифференцирования удобно рассматривать на линейном подпространстве C ∞ (R, R), которое он переводит само в себя,т. е.
является эндоморфизмом на нем. Возможно и дальнейшее сужение, на линейное подпространство многочленов R[x], и, посколькупроизводная многочлена снова является многочленом, то опять получается эндоморфизм:0: R[x] −→ R[x]; f (x) 7→ f 0 (x); f (x) ∈ R[x].(1.14)Эндоморфизм (1.14) является (эпи-, но не моно-)морфизмом. (Почему? Проверьте свои познания в математическом анализе и, заодно,то, насколько вы овладели материалом словаря морфизмов.)Можно еще сильнее сузить отображение (1.14), рассмотрев его налинейном подпространстве Rn [x] многочленов степени не выше n.28Линейные пространства. Базисы и размерностиГл.
1При дифференцировании степень (ненулевого) многочлена понижается на единицу, поэтому последнее сужение можно представить какгомоморфизм0: Rn [x] −→ Rn−1 [x]; f (x) 7→ f 0 (x); f (x) ∈ Rn [x],(1.14a)который также будет (эпи-, но не моно-)морфизмом.Пример 1.11. Останемся еще на некоторое время в сфере действия математического анализа и рассмотрим отображение, сопоставляющее функции f, непрерывной на отрезке [a, b] ⊂ R, определенный интеграл от этой функции по заданному отрезку. Значение интеграла является действительным числом.
Таким образомполучается отображение из линейного пространства C([a, b], R) всехфункций, непрерывных на [a, b], в поле R, рассматриваемое как линейное пространство над самим собой:Zint[a,b] : C([a, b], R) −→ R; f 7→bf (x) dx; f ∈ C([a, b], R).(1.15)aВ силу свойств определенного интеграла, отображение (1.15) является линейным. Очевидна его эпиморфность: для любого числаc ∈ R можно найти функцию, интеграл от которой по отрезку [a, b]равен числу c; достаточно взять константу f (x) = c/(b − a).1.7.∗ Пример линейного пространства над полем F2 .
Данный пункт не будет использоваться в дальнейшем. Он содержитнекий познавательный материал. Но будущим компьютерщикам,для которых конечные поля и булевы алгебры являются важнымирабочими инструментами, автор не рекомендовал бы пропускать этунеобязательную вставку.Рассмотрим произвольное непустое множество I и множество 2Iвсех его подмножеств (включая пустое и само I):2I = { A : A ⊆ I }.(1.16)Замечание 1.1. Обратите внимание на экспоненциальное обозначение для множества всех подмножеств.
Оно согласуется с общепринятым в теории множеств экспоненциальным обозначением Y X§1Аксиомы линейного пространства над полем29для множества всевозможных отображений из множества X в множество Y. Дело в том, что произвольное подмножество A ⊆ I однозначно задается отображением (так называемой характеристической функцией)½0, если x 6∈ A;(1.17)χA : I −→ {0, 1}; χA (x) =1, если x ∈ A.Интересно также, как в обозначении (1.16) понимается символ 2.В теории множеств числа — это тоже множества.
Знаете ли вы, чтотакое натуральное число 2? Чтобы знать это, нужно знать прежде,что такое числа 0 и 1. Число 0 определяется как пустое множество:0 = ∅ = {}; число 1 — как множество 1 = {0}; число 2 — это множество 2 = {0, 1}; и т. д.Экспоненциальное обозначение (1.16) напоминает также о следующем важном комбинаторном факте. В случае, когда множествоI конечно и содержит, скажем, n элементов, множество 2I такжеконечно и содержит 2n элементов. (В самом деле, для любого k,от нуля до n, имеется Cnk k-элементных подмножеств данного nэлементного множества. Сумма Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n , всилу бинома Ньютона.)На множествеV = 2I(1.18)заданы хорошо знакомые вам алгебраические действия: объединениеи пересечение для двух подмножеств и взятие дополнения к подмножеству.
В рассматриваемых здесь вопросах будет уместным заменить (не очень удобные в работе) знаки объединения и пересеченияна обычные знаки сложения и умножения, а дополнение обозначать"надчеркиванием":A + B = A ∪ B; A · B = A ∩ B; A = I \ A (A, B ∈ V ).(1.19)Упростим мы и обозначение пустого подмножества, сделав его более похожим на нуль: O = ∅; а принятое изначально обозначение Iдля основного множества будет нам напоминать о единице.Ниже приводится сводка из 19 законов, справедливых для алгебраических действий (1.19) в множестве (1.18).
В этих формулах буквы A, B, C обозначают произвольные подмножества в основном множестве I.Алгебра подмножеств (в заданном множестве) является важнейшим примером так называемой булевой алгебры, характеризуемой30Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1законами (b.1) — (b.19). Не все из этих законов независимы. Большинство из них встречалось вам в курсе "Введения в анализ". Любой из них вы должны уметь доказывать и иллюстрировать на картинках (так называемых диаграммах Венна).Обратите особое внимание на замечательную симметрию: каждому из законов соответствует двойственный закон, получаемый изисходного взаимной заменой сложения на умножение, нуля на единицу.
Так, закону (b.7), выражающему дистрибутивность умноженияотносительно сложения, отвечает двойственный закон (b.16), выражающий дистрибутивность сложения относительно умножения (такого закона нет в "обычной" алгебре). Последний закон (b.19) является самодвойственным. Напомним, что формулы (b.9) и (b.18),играющие исключительно важую роль в булевой алгбре (и вообще вматематике), называются законами де Моргана.Законы булевой алгебры(b.1)(b.2)(b.3)(b.4)(b.5)(b.6)(b.7)(b.8)(b.9)(A + B) + C = A + (B + C) (b.10)A+B =B+A(b.11)A+O =A(b.12)A+I =I(b.13)A+A=A(b.14)A · (A + B) = A(b.15)A · (B + C) = A · B + A · C (b.16)A+A=I(b.17)A+B =A·B(b.18)(b.19) A = A(A · B) · C = A · (B · C)A·B =B·AA·I =AA·O =OA·A=AA+A·B =AA + B · C = (A + B) · (A + C)A·A=OA·B =A+BЗаймемся теперь алгебраической операцией сложения (объединения) подмножеств.
Законы (b.1) — (b.3) идентичны (в условиях рассматриваемого примера) аксиомам (V1 ) —(V3 ) . Однако аксиома (V4 )не выполняется. (В самом деле, равенство A + B = O имеет местолишь в одном случае: A = B = O, т. е. ни для какого непустого подмножества не существует в булевой алгебре противоположного элемента.) Значит, булево сложение не годится для наведенияв множестве V структуры линейного пространства (или хотя быструктуры коммутативной группы).Придется модифицировать действие сложения, в связи с чем будет уместным следующее напоминание о взаимной связи теориимножеств и математической логики.§1Аксиомы линейного пространства над полем31Замечание 1.2.
Сложению (объединению) множеств в математической логике соответствует дизъюнкция (∨) высказываний, выражаемая логической связкой или. Элемент принадлежит объединениюдвух множеств тогда и только тогда, когда он принадлежит или первому множеству, или второму (причем не исключается его принадлежность обоим множествам).
Это выражают фразой: "логическоеили не является разделительным".Умножению (пересечению) соответствует конъюнкция (∧), выражаемая связкой и. Элемент принадлежит пересечению тогда и только тогда, когда он принадлежит и первому множеству, и второму.Дополнению множества отвечает отрицание высказывания, выражаемое частицей не. Элемент принадлежит дополнению некоторого подмножества (в заданном основном множестве) тогда и толькотогда, когда он не принадлежит этому подмножеству.Ниже мы введем в рассмотрение "новое" сложение подмножеств,соответствующее разделительному или. Будем обозначать это действие символом ⊕.
Элемент считается принадлежащим сумме A ⊕ Bдвух подмножеств, если он принадлежит одному и только одному изних. (В этом плане автору трудно удержаться от бытовой аналогиис так называемой женской логикой: "или я, или она!" Вариант "илимы обе вместе" не рассматривается.)Существует несколько равносильных формул, выражающих разделительную сумму подмножеств. Приведем две из них:A ⊕ B = A · B + A · B = (A + B) · (A · B).(1.20)Очевидно, что если данные подмножества A и B не пересекаются(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
