Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(Читать эти замечания можно всем, секретов в них нет; чаще всего обсуждаются случаинеустранимого разнобоя в терминологии, которым грешат учебникии справочники.)Уже в первом пособии довольно широко использовались аббревиатуры для особенно часто употребляемых математических терминов(например: с.л.у. = система линейных уравнений); во второй частиих количество еще более возросло, в связи с чем в конце книги приводится полный список сокращений.Завершим введение ко второму пособию той же фразой, котораяфигурировала во введении к [A1 ]: направление "Математика. Компьютерные науки" имеет целью подготовку математиков, работающих в области компьютерных наук. Это — не компьютерные игры!Это — напряженный, требующий значительных временны́х затрат(но благодарный!) труд.Глава 1ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.БАЗИСЫ И РАЗМЕРНОСТИ§ 1.
Аксиомы линейного пространства над полем.Примеры линейных пространств.Линейные подпространства.Линейные отображения1.1. Аксиомы поля. Полем называется (см. [А1 , п. 2.1.]) множество P, содержащее как минимум два элемента, на котором заданы две алгебраические операции (сложение и умножение), удовлетворяющие аксиомам:1 (∀a, b, c ∈ P ) [ (a + b) + c = a + (b + c) ];2 (∀a, b ∈ P ) [ a + b = b + a ];3 (∃ 0 ∈ P ) (∀ a ∈ P ) [ a + 0 = a ];4 (∀a ∈ P ) (∃ b ∈ P ) [ a + b = 0 ];5 (∀a, b, c ∈ P ) [ (a + b) · c = a · c + b · c ];6 (∀a, b, c ∈ P ) [ (a · b) · c = a · (b · c) ];7 (∀a, b ∈ P ) [ a · b = b · a ];8 (∃ 1 ∈ P ) (∀ a ∈ P ) [ a · 1 = a ];9 (∀a ∈ P \ {0}) (∃ b ∈ P ) [ a · b = 1 ].Примерами полей являются числовые поля Q, R, C, поле Fp классов вычетов целых чисел по простому модулю p.1.2.
Аксиомы линейного пространстваОпределение 1.1. Линейным (векторным) пространством надполем P называется множество V (элементы которого именуютсявекторами) с заданными на нем алгебраическими действиями (операциями):16Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 11) сложением векторов (x, y) 7→ x + y;2) умножением (λ, x) 7→ λ · x векторов на скаляры из поля P ,в предположении, что эти операции удовлетворяют следующим восьми аксиомам:(V1 ) (∀ x, y, z ∈ V ) [ (x + y) + z = x + (y + z) ];(V2 ) (∀ x, y ∈ V ) [ x + y = y + x ];(V3 ) (∃ 0 ∈ V ) (∀ x ∈ V ) [ x + 0 = x ];(V4 ) (∀ x ∈ V ) (∃ y ∈ V ) [ x + y = 0 ];(V5 ) (∀ x ∈ V ; λ, µ ∈ P ) [ (λ + µ) · x = λ · x + µ · x ];(V6 ) (∀ x, y ∈ V ; λ ∈ P ) [ λ · (x + y) = λ · x + λ · y ];(V7 ) (∀ x ∈ V ; λ, µ ∈ P ) [ (λ · µ) · x = λ · (µ · x) ];(V8 ) (∀ x ∈ V ) [ 1 · x = x ].Прокомментируем аксиомы (V1 ) — (V8 ) , заметив прежде всего,что понятие линейного пространства и указанные аксиомы (в менеестрогом представлении) уже встречались в [А1 ], в пп.
1.1, 2.2, 36.1и др. [сравните, в частности, эти аксиомы с формулами (i) — (viii)].Первые четыре из аксиом линейного пространства фактическисовпадают с соответствующими аксиомами поля 1 — 4 .Используя понятие группы, также (на описательном уровне) знакомое нам из [А1 ] (см. §§ 14 — 16), можно сказать, что как поле, таки всякое линейное пространство над полем являются (коммутативными) группами по сложению.Поэтому общими для полей и для линейных пространств будутвсе следствия, выводимые из четырех аксиом сложения.В частности, существует лишь один нулевой вектор. В самом деле,если как 0, так и 00 удовлетворяют (V3 ) , то 0 = 00 , в чем убеждаетследующая простая выкладка:(V3 )(V2 )(V3 )0 === 00 + 0 === 0 + 00 === 00 .Далее, вектор, противоположный данному вектору x, существующий согласно (V4 ) , также определен однозначно.
В самом деле, еслиэтому условию удовлетворяют два вектора, y и y 0 , то(V3 )(V4 )(V1 )(V4 )(V3 )y === y + 0 === y + (x + y 0 ) === (y + x) + y 0 === 0 + y 0 === y 0 .Однозначность определения противоположного вектора мотивирует фиксацию для него обозначения: y = −x.Седьмая и восьмая аксиомы относятся к операции умножения векторов на скаляры, а пятая и шестая (два дистрибутивных закона) —§1Аксиомы линейного пространства над полем17увязывают два рассматриваемых алгебраических действия междусобой. Отметим еще одно простое следствие из аксиом:(∀ x ∈ V ) [ (−1) · x = −x ].Попробуйте самостоятельно доказать это утверждение. В учебниках и сборниках задач вам встретятся и некоторые другие следствия.Одно из них мы выделим какПредложение 1.1. Произведение скаляра λ ∈ P на векторx ∈ V является нулевым вектором тогда и только тогда, когда хотябы один из сомножителей обращается в нуль, т.
е.[ λ · x = 0 ] ⇔ [ λ = 0 ] ∨ [ x = 0 ].(1.1)Доказательство. 1. Докажем предварительно следующий вспомогательный факт: равенство a + a = a в пространстве V влечетa = 0. В самом деле, добавляя к обеим частям данного равенстваэлемент b = −a, мы получим (a + a) + b = a + b, или, с использованием ассоциативности сложения, a + (a + b) = 0 и, далее, a + 0 = 0,а, значит, и a = 0.1.1. Рассмотрим теперь случай λ = 0 и установим равенство0 · x = 0. Для этого достаточно будет доказать, что вектор a = 0 · xудовлетворяет условию a + a = a:(V5 )0 · x + 0 · x === (0 + 0) · x = 0 · x.1.2. Совершенно аналогично рассматривается второй случай:x = 0. (Вас не смущает участие в формулах двух различных нулей:скалярного и векторного?)После того, как вы убедитесь в справедливости равенства λ·0 = 0,можно будет констатировать, что в одну сторону (справа налево)утверждение (1.1) доказано.2.
Доказательство в другую сторону проводится так. Предположим, что λ · x = 0, а λ 6= 0. Тогда, в силу аксиомы 9 , в поле Pсуществует обратный скаляр λ−1 , на который можно будет умножить (слева) данное равенство. Получим:λ−1 · (λ · x) = λ−1 · 0.Применяя в левой части последнего равенства аксиомы (V7 ) и (V8 )и пользуясь (в правой части) полученным выше результатом (см.случай 1.2), приходим к равенству x = 0.
¤18Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Оговорим теперь тот (наверное, уже привычный для читателей)факт, что знаки различных умножений (точечки) старательно выписываются только поначалу. Затем о них постепенно забывают,заменяя на "рядомнаписание" (= juxtaposition).Приведем два простейших примера линейных пространств:— тривиальное (нулевое) пространство O = {0} состоит из одного(нулевого) элемента; алгебраические действия определяются единственно возможным образом: 0 + 0 = 0 и λ · 0 = 0 для любого λ ∈ P ;все аксиомы превращаются в тавтологии 0 = 0;— произвольное поле P является линейным пространством над самим собой; аксиомы линейного пространства выполняются, поскольку они сводятся в этом случае к аксиомам поля (например, две аксиомы дистрибутивности (V5 ) и (V6 ) оказываются идентичными другдругу и полевой аксиоме 5 ).Нетривиальные примеры линейных пространств будут приведеныв следующих пунктах.1.3.
Арифметические линейные пространства. Пространства векторов-столбцов x1x P n = {x = 2 : xi ∈ P, i = 1, ..., n}(1.2)...xnявлялись одним из основных объектов изучения в первой части курса [A1 ]: для случая поля P = R они определялись уже в п. 1.3.Алгебраические действия в P n производятся покомпонентно. Выполнимость аксиом обосновывалась в п. 2.3 пособия [A1 ] (см. замечание 2.5). В дальнейшем разъяснялся и многократно использовалсяследующий принцип: все рассуждения, проводимые над полем действительных чисел, но опирающиеся лишь на аксиомы поля, остаются справедливыми над произвольным полем.В п. 2.2 определялись также арифметические пространства векторов-строк (понимаемых как транспонированные векторы-столбцы):∗P n = {xt = ( x1 x2 ...
xn ) : xi ∈ P ; i = 1, ..., n}.(1.3)Арифметические линейные пространства P n являются важнейшей конкретной реализацией абстрактного понятия линейного пространства над полем P. И сейчас самое время объяснить принятую§1Аксиомы линейного пространства над полем19в настоящем пособии систему обозначений, относящихся к векторамразличных типов.
Мы даже особым образом выделим этот материал.Обозначения для векторовАбстрактные векторы никак не выделяются в обозначениях.Векторный характер какой-либо величины a фиксируются лишьуказанием (вида a ∈ V ) на ее принадлежность линейному (векторному) пространству V.Черточками над буквами помечаются лишь арифметические векторы-столбцы.Арифметические векторы-строки, помимо черточек, снабжаютсяеще верхним индексом t , указывающим на транспонирование.Иные конкретные типы векторов (матрицы, функции и т.
д.; см.следующий пункт) чертами не выделяются.1.4. Другие примеры конкретных линейных пространствПример 1.1. Линейные пространства матриц.Множество V = Mat(m, n, P ) прямоугольных матриц фиксированного размера m × n с элементами из поля P является (см. [A1 ],замечание 2.5) линейным пространством над P (относительно поэлементного сложения и умножения на скаляр).С точки зрения алгебры линейных пространств это пространствоничем принципиальным не отличается от арифметического линейного пространства P mn . Можно указать отображение векторизацииa1a vec : Mat(m, n, P ) −→ P mn ; vec(A) = 2 ,...an(1.4)"распрямляющее" матрицуA = (a1 | a2 | ...| an ) ∈ Mat(m, n, P )m×nв "высокий" вектор-столбец, составленный из столбцов исходной матрицы.Очевидны биективность отображения (1.4) и его согласованностьс алгебраическими действиями (см.
ниже п. 1.6).20Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Заметим, что именно в векторизованном (по столбцам либо построкам) виде хранятся матрицы в памяти компьютера.Пример 1.2. Пространство функций со значениями в поле.Пусть P — произвольное поле, а M — произвольное непустое множество. Рассмотрим множество всевозможных функций (отображений), определенных на M и принимающих значения в P :V = F(M, P ) = {f : M → P }.Напомним, что функции f, g ∈ F(M, P ) считаются равными, еслиони равны поточечно, т. е.def[ f = g ] ⇔ [ (∀x ∈ M ) (f (x) = g(x)) ].Алгебраические действия над функциями также определяютсяпоточечно:defdef(f + g)(x) = f (x) + g(x); (λ · f )(x) = λ · f (x); f, g ∈ F(M, P ); x ∈ M.Аксиомы (V1 ) — (V8 ), очевидно, справедливы, поскольку они выполняются в каждой точке x.
(Если для вас это не очевидно, товоспринимайте данное заявление как задание упражнения и честно проверяйте аксиомы, одну за другой, пока очевидность не будетдостигнута.)Заметим, что арифметическое линейное пространство векторовстолбцов P n (и аналогичное пространство векторов-строк) можнотрактовать как пространство P -значных функций на конечном множестве M = {1, ..., n}: каждый вектор f ∈ P n может рассматриваться как функция (конечная последовательность), сопоставляющаяномеру i ∈ M соответствующую компоненту fi ∈ P.Данная конструкция может быть обобщена на бесконечные послеtдовательности (векторы-строки) f = (fi )∞i=1 , рассматриваемые какфункции f : N → P ; i 7→ fi на множестве натуральных чисел N.
Такие последовательности образуют линейное пространство, обозначаемое P ∞ , которое уже встречалось нам в [A1 ], в п. 36.1 (см. замечание36.2) в несколько ином облике, с началом нумерации в нуле, причемtвектор f = (fi )∞i=0 ассоциировался с формальным степенным рядомf (x) =∞Xk=0fk xk = f0 + f1 x + f2 x2 + ... + fk xk + ...(1.5)§1Аксиомы линейного пространства над полем21Напомним обозначение P [[x]] для линейного пространства всехстепенных рядов вида (1.5). При сложении степенных рядов складываются все соответствующие коэффициенты; при умножении наскаляр степенного ряда все его коэффициенты умножаются на этотскаляр.Пример 1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
