Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Причем очевидно, чтовронскиан, отвечающий An , равен нулю (как и все вронскианы сбо́льшими номерами).Если же все вронскианы WAn (x) будут отличны от тождественного нуля, то множество (3.6а) будет линейно независимым.50Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1В частности, линейно независимыми будут бесконечные множества— показательных функцийA = { eλ1 x , eλ2 x , ... , eλk x , ... },(3.11a)с попарно различными (действительными или комплексными) коэффициентами λk ;— степенных функцийA = { xα1 , xα2 , ... , xαk , ... },(3.18a)с попарно различными действительными показателями αk .Тот же вывод будет справедлив для бесконечного множества тригонометрических функцийT = { 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ...
, cos kx, sin kx, ... }.(3.13a)Последний факт служит краеугольным камнем теории рядов Фурье. (Вспомните об этом в четвертом семестре изучения математического анализа.)§ 4. Базисы в линейных пространствах;четыре способа характеризации;теорема существования4.1. Определение базиса в линейном пространстве. Передизучением данного параграфа полезно вернуться к § 10 пособия [A1 ],где понятие базиса определялось для линейных подпространств варифметических линейных пространствах. Здесь будет дано общееопределение.
Пусть V — линейное пространство над полем P.Определение 4.1. Конечная с.в.B = [ b1 , b2 , ... , bn ]в пространстве V называется (конечным) базисом V, если она1) порождает V, т. е. hBi = V ;2) является линейно независимой.(4.1)§4Базисы в линейных пространствах51Проанализируем данное выше определение. Из первого его условия вытекает, что линейное пространство, имеющее конечный базис,обязательно конечномерно (см. определение 2.5). Ниже, в п.
4.3 мыдокажем обратное утверждению — теорему существования (конечного) базиса для любого к.л.п.Из второго условия определения 4.1, с учетом предложения 3.2,следует, что всякий вектор x ∈ V однозначно разлагается по базису(4.1), т. е. существуют и однозначно определены скаляры λi ∈ P(i = 1, ..., n), такие, чтоnXx=λi bi .(4.2)i=1Базисом нулевого пространства служит пустая с.в. Свойство с.в."быть (конечным) базисом" не зависит от порядка векторов в системе.
Но если в базисе произвести (нетривиальную) перестановкувекторов — это будет уже другой базис.Замечание 4.1. Как уже отмечалось, предметом изучения линейной алгебры являются именно конечномерные линейные пространства (и их линейные отображения). Поэтому в дальнейшем уточнение конечный перед термином базис будет, как правило, опускаться.Здесь мы только оговорим, что можно ввести общее понятие (алгебраического) базиса для произвольных (может быть, бесконечномерных) линейных пространств. Иногда такие базисы называютсябазисами Гамеля. При их изучении удобнее бывает перейти от рассмотрения систем векторов (как упорядоченных списков) к рассмотрению (неупорядоченных) подмножеств (см. пп.
2.2, 3.3). Несколькоподробнее мы остановимся на этих вопросах ниже, в п. 4.4. (Предупредим, однако, что бесконечные алгебраические базисы бесперспективны в вычислительных приложениях. Это — "мысленные артефакты", позволяющие сочинить красивую общую теорию.)Там же мы приведем краткие сведения о весьма полезных (и втеории, и для практических приложений) бесконечномерных объектах — топологических базисах (ср.
с информацией в замечании 2.3).Пример 4.1. В арифметическом линейном пространстве P n существует естественный базис En [см. (2.11)]. Так же обстоит дело внекоторых пространствах, родственных арифметическим.Скажем, в пространстве (m × n)-матриц Mat(m, n; P ) (см. пример 1.1) естественный базис составляют матрицы Eij (i = 1, ..., m;j = 1, ..., n). (Все элементы матрицы Eij равны нулю, кроме одно-52Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1го, который равен единице и располагается в позиции, указываемойдвумя номерами в обозначении.)В пространстве многочленов Pn [x] (см.
пример 1.3) естественныйбазис составляют одночлены xk (k = 0, , , , , n) [см. (2.6)].В пространстве C над R (см. пример 1.4) базис составляют двеединицы: настоящая и мнимая.В абстрактных к.л.п., хотя и существуют базисы, но все они равноправны (среди них нет выделенного, который можно было бы назвать естественным).4.2. Четыре способа характеризации базисов.
В этом пункте мы сформулируем теорему, в которой будут сведены четыре утверждения, каждое из которых равносильно свойству "система векторов является базисом".Теорема 4.1. Пусть V — линейное пространство над полем P, аB — конечная с.в. вида (4.1) в пространстве V. Следующие четыреутверждения равносильны.(1) С.в. B является (конечным) базисом в V (т. е. B линейно независима и порождает V ).(2) С.в. B является порождающей и обладает свойством единственности разложения (т.
е. любой вектор пространства V однозначно разлагается по B).(3) С.в. B является максимальной линейно независимой (т. е. Bлинейно независима и всякая с.в., строго содержащая B, являетсялинейно зависимой).(4) С.в. B является минимальной порождающей (т. е. B порождает V и всякая с.в., строго содержащаяся в B, не является порождающей).Доказательство будет организовано по циклу:(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) .На всех его этапах следует иметь в виду, что перестановка элементов в с.в.
не отражается на ее свойствах, таких как линейная(не)зависимость или свойство "быть порождающей для V ".1. Импликация (1) ⇒ (2) уже установлена (см. комментарии послеопределения 4.1).2. Докажем импликацию (2) ⇒ (3).§4Базисы в линейных пространствах53Пусть с.в. B порождает V и обладает свойством единственностиразложения. Первое означает, что всякий вектор x ∈ V разлагается по B, т. е. представляется в виде линейной комбинации (4.2), авторое — что коэффициенты такого разложения определены однозначно. Докажем, что с.в. B является максимальной линейно независимой.2.1.
Линейная независимость B следует из того, что нулевойвектор 0 ∈ V должен иметь единственное разложение по B. Всегда имеется тривиальное разложение, с нулевыми коэффициентами:0 = 0 · b1 + ... + 0 · bn . Поэтому наличие какого-либо разложенияnXλi bi = 0(4.2h)i=1влечет равенство нулю всех коэффициентов: λi = 0 (i = 1, ..., n).2.2. Докажем максимальность линейно независимой с.в. B. Пустьс.в.
B 0 строго содержит B, т. е. B является подсистемой в B0 и существует вектор b, входящий в B 0 , но не входящий в B.Рассмотрим с.в. [B, b], полученную присоединением к B вектора b.(Напомним, что порядок векторов не важен. Можно, например, поставить добавочный вектор b на то место, которое ему предписывается порядком в B 0 .) По предположению B является порождающей с.в.Следовательно, b линейно выражается через B. Отсюда, по второмуутверждению предложения 3.1, следует линейная зависимость [B, b].А поскольку эта с.в. является подсистемой в B0 , то, по первому утверждению того же предложения, система B 0 также линейно зависима.3.
Докажем импликацию (3) ⇒ (4).Пусть с.в. B является максимальной линейно независимой. Докажем, что она является минимальной порождающей.3.1. То, что B порождает V доказывается так. Пусть x — произвольный вектор пространства V. Если этот вектор входит в B, тоон входит в линейную оболочку hBi. Если же x не входит в B, тодобавим его к этой системе и получим с.в. [B, x], строго содержащую B.
В силу предположения о максимальности B среди линейнонезависимых систем, новая с.в. является линейно зависимой. Третье утверждение предложения 3.1 позволяет отсюда заключить, чтоx ∈ hBi. Таким образом, доказано, что hBi = V.3.2. Докажем минимальность B среди порождающих с.в. Пустьс.в. B 0 строго содержится в B.
Возьмем произвольный вектор b,входящий в B, но не в B0 . Если бы B 0 была порождающей с.в., то b54Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1линейно выражался бы через B0 . По второму утверждению предложения 3.1., отсюда следовала бы линейная зависимость B, что противоречит предположению. Значит, никакая подсистема системы B,отличная от B, не является порождающей.4. Докажем импликацию (4) ⇒ (1).Пусть с.в. B является минимальной порождающей для V. Докажем, что B — базис. Для этого достаточно установить линейную независимость B. Предположим противное. Тогда, по второму утверждению предложения 3.1, найдется вектор b, принадлежащий B и линейно выражающийся через подсистему B 0 , полученнуюиз B выбрасыванием этого вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
