Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(С этим обстоятельствоммы столкнемся уже вскоре, см. п. 7.4.)72Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1§ 7. Матрица переходаот одного базиса к другому.Изменение координатного столбца векторапри замене базиса7.1. Матрица перехода от одного базиса в к.л.п. к другому.
Свойства матриц перехода. За исключением некоторыхтривиальных случаев, в к.л.п. имеется более одного базиса. Если,к тому же, основное поле бесконечно, то и базисов в ненулевом пространстве будет бесконечно много. В абстрактном к.л.п. все эти базисы совершенно равноправны. Поэтому возникает необходимостьописания перехода от одного базиса к другому.Пусть V — ненулевое к.л.п.
над полем P. Рассмотрим два базиса вданном пространстве, B = [ b1 , b2 , ... , bn ] и B 0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ]. Первыйиз этих базисов условно назовем "старым", а второй — "новым". (Насамом деле они равноправны и легко могут поменяться ролями.)Определение 7.1. Матрицей перехода от базиса B к базису B0называется квадратная матрица, составленная из координатных столбцов, которые соответствуют векторам нового базиса B0 в старомбазисе B.Опишем подробнее построение матрицы перехода. Каждый вектор b0j (j = 1, ..., n) нового базиса разложим по старому базису:b0j= t1j b1 + t2j b2 + ...
+ tnj bn =nXtij bi .(7.1)i=1Коэффициенты tij ∈ P (i = 1, ..., n) разложения (7.1) образуютвектор-столбецt1jt b0j = 2j ∈ P n .(7.2)···tnjОбратите внимание на принцип нумерации коэффициентов: второй номер j — это номер вектора из нового базиса, а первый номерi — это номер его координаты относительно старого базиса. Скалярыtij = [b0j ]i (i, j = 1, ... , n) составляют квадратную матрицу¯¯¯t11 ¯ t12 ¯ · · · ¯ t1n¯¯¯³ ¯ ¯ ¯ ´ t21 ¯ t22 ¯ · · · ¯ t2n ¯ 0¯ ¯ 00T = b1 ¯b2 ¯ ... ¯bn = (7.3)¯¯¯,··· ¯··· ¯··· ¯···n×n¯¯¯tn1 tn2 · · · tnn§7Замена базиса. Матрица перехода73которая и служит матрицей перехода от от B к B0В следующем предложении собраны основные свойства таких матриц.Предложение 7.1.
1. Матрицей перехода от базиса B к немусамому служит единичная матрица En .2. Пусть B, B0 и B 00 — три базиса в n-мерном линейном пространстве V. Если матрица T является матрицей перехода от базиса B кбазису B0 , а матрица S — матрицей перехода от B0 к B 00 , то матрицаT · S является матрицей перехода от B к B00 .3. Всякая матрица перехода является обратимой, причем если Tслужит матрицей перехода от B к B 0 , то T −1 соответствует обратному переходу, от B0 к B.Доказательство.
1. Первое утверждение совершенно очевидно.В самом деле, если вектор b1 из базиса B разложить по самому этомубазису, то получится: b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + ... + 0 · bn , т. е. вектору b1будет соответствовать координатный столбец e1 и т. д.2. Матрица первого переходаnT = (tij )i,j=1описывается формулами (7.1). Выпишем аналогичные формулы,описывающие матрицуnS = (sjk )j,k=1второго перехода:b00k=s1k b01+s2k b02+ ... +snk b0n=nXsjk b0j ; k = 1, ..., n.(7.1a)j=1(Обратите внимание на необходимость обозначения номера вектора в третьем базисе новой буквой — того требуют правила обращенияс двойными суммами; см.
[A1 , п. 2.2].)Введем в рассмотрение матрицуnR = (rik )i,k=1 ,соответствующую переходу от первого базиса (сразу) к третьему.Для нее будем иметь еще один, совершенно аналогичный набор разложений:b00k= r1k b1 + r2k b2 + ... + rnk bn =nXi=1rik bi ; k = 1, ..., n.(7.1b)74Линейные пространства.
Базисы и размерностиГл. 1Подставим разложения (7.1) в разложения (7.1а) и произведемманипуляции с двойными суммами, подробно описанные при доказательстве предложения 5.1:b00k =nXj=1=nXi=1=nXi=1ÃsjknX!tij bii=1nXsjk tij bi =j=1nX=Ã nnXXj=1nXi=1!sjk tij bii=1nX=sjk tij bi =j=1nXtij sjk bi =[T · S]ik bi ,j=1i=1где на заключительном шаге использовано правило перемноженияматриц.Последний результат сравним с формулами (7.2b). Получены дваразложения одного и того же вектора b00k по базису B.
В силу свойства единственности (см. п. 4.2), коэффициенты этих разложенийдолжны совпадать:rik = [T · S]ik ; i, k = 1, ..., n,а это есть равенство матриц:R = T · S.3. Если применить два первых утверждения (доказанных выше)к последовательности переходов: от базиса B к B 0 (с матрицей перехода T ), а затем назад, от B0 к B (с матрицей S), то получится равенство матриц T · S = En , из которого следует обратимость(и взаимная обратность) матриц перехода: S = T −1 . ¤Предложение 7.1 позволяет описать совокупность всех базисов вданном n-мерном к.л.п.
V (над полем P ). С этой целью нужно зафиксировать один из них, после чего все базисы в V будут находиться вовзаимно однозначном соответствии с обратимыми (n×n)-матрицамис элементами из P. Точнее, справедливо следующее§7Замена базиса. Матрица перехода75Предложение 7.2. Зафиксируем произвольный базисA = [ a1 , a2 , ... , an ](7.4)в n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) и рассмотримпроизольную с.в.B = [ b1 , b2 , ...
, bn ],(7.5)также содержащую n векторов. Разложим векторы, входящие в(7.5), по базису (7.4):bj =nXtij ai ; j = 1, ... , n.(7.6)i=1Из коэффициентов разложений (7.6) составим матрицуT = (tij )ni,j=1 ∈ Mat(n, n; P ).(7.7)Тогда1) с.в. (7.5) является базисом в V в том и только том случае, когдасоответствующая матрица (7.7) обратима;2) существует биекция между множеством всех базисов в пространстве V и множеством (группой) обратимых матриц GL(n, P ).Доказательство. 1. Если система (7.5) является базисом, то матрица (7.7) есть не что иное, как матрица перехода от а A к B (см.определение 7.1), и ее обратимость вытекает из предложения 7.1.Обратно, предположим, что матрица T является обратимой и докажем, что с.в. (7.5) есть базис. Согласно предложению 5.4, дляэтого достаточно проверить линейную независимость B. Рассмотримлинейную комбинацию с нулевым значением:nXλj bj = 0.(7.8)j=1Требуется доказать обращение в нуль всех коэффициентов λi ∈ P(i = 1, ..., n).
Подставим разложения (7.6) в равенство (7.8) и произведем еще раз уже привычные преобразования с двойными суммами:Ã n!nnnnnXXXXXX0=λj b j =λjtij ai =tij λj ai =[T · λ ]i aij=1j=1i=1i=1j=1i=176Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1(сравните с доказательством предложения 5.1, но не запутайтесь:буквы используются другие).Из последнего равенства, с учетом линейной независимости A,вытекает обращение в нуль всех координат [T · λ ]i (i = 1, ..., n), т.
е.векторное равенство T · λ = 0 (где λ, 0 ∈ P n ), домножая котороеслева на T −1 , мы получим λ = 0, что и требовалось.2. Итак, если T — обратимая матрица, то формулы (7.6) определяют базис (7.5), причем матрица T как раз будет матрицей переходаот (7.4) к (7.5). Биекция−− { обратимые (n × n)-матрицы }{ базисы в V } ←−−→установлена.
¤Замечание 7.1. Результат предложения 7.2 можно пересказать несколько иначе (менее формально): в n-мерном к.л.п. столько базисов, сколько существует обратимых (n × n)-матриц с элементами изосновного поля.При n = 1 получается, что базисов (в одномерном пространстве)столько, сколько в поле ненулевых элементов.
(Единственным случаем, когда базис определен однозначно, является случай пространства над полем P = F2 .)Полезная комбинаторная задача: подсчитать, сколько имеется обратимых (n × n)-матриц с элементами из поля P = Fq , конечноймощности q. (Из курсов общей алгебы или дискретной математикивы вскоре должны узнать, что конечные поля бывают только примарного порядка, т.
е. число q обязательно должно иметь вид q = pk ,где p — простое, а k — натуральное число.)Решив эту задачу, вы определите количество различных базисовв конечномерном пространстве над конечным полем.Замечание 7.2. Для арифметического линейного пространстваV = P n имеется предпочтительный (естественный) выбор фиксированного базиса: A = En . Тогда матрицей перехода от естественногобазиса к произвольному базисуB = [ b1 , b2 , ... , bn ](7.5a)будет матрица, составленная из векторов-столбцов, входящих в список (7.5а):¡ ¯ ¯ ¯ ¢B = b1 ¯ b2 ¯ ... ¯bn .(7.7a)§7Замена базиса. Матрица перехода77Если, помимо (7.5а), задан еще один базисB0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ],и введена соответствующая матрица³ ¯ ¯ ¯ ´¯ ¯ ¯0B = b01 ¯ b02 ¯ ...
¯b0n ,(7.5b)(7.7b)то можно, с помощью предложения 7.1, вычислить матрицы переходов от (7.5а) к (7.5b) и обратно:T = B −1 · B 0 ; S = T −1 = (B 0 )−1 · B.(7.9)7.2. Изменение координатного столбца вектора при замене базиса. Как объяснялось в п. 6.4, фиксация базиса в к.л.п.позволяет определить координатный изоморфизм этого пространства на арифметическое линейное пространство, сопоставляющийвекторам их координатные столбцы (относительно выбранного базиса). Там же замечалось, что при изменении базиса меняется икоординатный изоморфизм. В данном пункте мы проследим это явление более детально.Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве V (над полем P )два базиса: условно старый базис B, заданный описанием (7.5), иусловно новый базис, заданный аналогичным описаниемB0 = [ b01 , b02 , ...
, b0n ].Введем два координатных изоморфизма [вида (6.19)]:x1x β : V → P n ; β(x) = x = 2 ;···xn 0 x1 x0 β 0 : V → P n ; β 0 (x) = x0 = 2 ,···x0n(7.50 )(7.10)(7.100 )где x ∈ V и векторы-столбцы x, x0 ∈ P n составляются по разложениямnnXXx=xi bi =x0j b0j .(7.11)i=1j=178Линейные пространства. Базисы и размерностиГл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
