Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1Замечание 7.3 (для служебного пользования). В обозначении x0штрих относится скорее к черточке, чем к вектору x. Меняется невектор, а базис, по которому он разлагается. Черта со штрихомобозначает координатный столбец, соответствующий x, в новом базисе. (Если бы нам понадобилось ввести новый вектор x0 , то столбец,соответствующий ему в старом базисе, мы обозначили бы x0 .)Рассмотрим далее матрицу перехода (7.2), определяемую по разложениям (7.1). Справедливо следующееПредложение 7.3.
При замене в n-мерном пространстве V базиса B на базис B0 , с матрицей перехода T , для любого вектора x ∈ Vсоответствующие координатные столбцы x, x0 ∈ P n связаны формуламиx = T · x0 ; x0 = S · x,(7.12)где S = T −1 — матрица перехода для обратной замены.Доказательство. Подставим во вторую из формул (7.11) выражение (7.1) для b0j и (в который уже раз!) повторим манипуляции сдвойными суммами:x=nXj=1x0j b0j =nXj=1x0jà nXi=1!tij bi=nXi=1nnXX0[T · x0 ]i bi .tij xj bi =j=1i=1Сравним полученный результат с первой из формул (7.11).
Мыимеем два разложения одного и того же вектора x по одному и тому же базису B. В силу свойства единственности, соответствующиекоэффициенты в этих разложениях должны совпадать:xi = [T · x0 ]i ; i = 1, ..., n,или, в векторном виде: x = T · x0 .Первая из формул (7.12), выражающая старый координатный столбец через новый, доказана. Вторая из нее немедленно следует. ¤Замечание 7.4.∗ Результат предложения 7.3 допускает операторное выражение, использующее линейные изоморфизмы∼=β, β 0 : V → P n ,(7.13)§7Замена базиса. Матрица перехода79заданные формулами (7.10) и (7.100 ).Введем в рассмотрение линейные автоморфизмыτ : P n −→ P n ; τ (x0 ) = T · x0 ; x0 ∈ P n(7.14)σ : P n −→ P n ; σ(x) = S · x; x ∈ P n ,(7.15)иопределяемые квадратными матрицами T и S соответственно.Тот факт, что (7.14) и (7.15) действительно являются автоморфизмами (т. е.
обратимыми эндоморфизмами) арифметического линейного пространства P n , вытекает из взаимной обратности матрицT и S (см. [A1 , п. 14.5]).Автоморфизмы τ и σ также взаимно обратны: σ = τ −1 . Они,вместе с изоморфизмами (7.13), составляют следующую диаграмму.τPn ←−−−−−−−−−−−→−Pn−−σβ%β 0Диагр. 7.1VДля морфизмов, составляющих диаграмму 7.1, справедливы соотношения:β = τ ◦ β 0 ; β 0 = σ ◦ β.(7.16)Они следуют из (имеющих место для любого вектора x ∈ V ) формул (7.12).
Первой из этих формул можно придать такой вид:β(x) = T · β 0 (x) = τ (β 0 (x)) (∀ x ∈ V ).А это равносильно первой из формул (7.16). Аналогично обосновывается вторая формула.7.3. Задачи на вычисление матриц перехода и пересчеткоординатных столбцов при замене базисов. Рассмотрим nмерное линейное пространство V над полем P. Для постановки ирешения любой вычислительной задачи в пространстве V надо позаботиться о выборе в нем некоторого исходного базиса (см. по этомуповоду замечание 6.1).80Линейные пространства.
Базисы и размерностиГл. 1Будем считать, что такой базис A выбран. Теперь, в соответствиис предложением 7.2, произвольный базис в пространстве V однозначно определяется матрицей перехода от A к этому базису. Однако, чтобы придать описанному соответствию реально вычислимыйхарактер, придется воспользоваться координатным изоморфизмом∼=α : V → P n и фактически отождествить V и P n . При изоморфизме сохраняются все линейные соотношения между векторами и,следовательно, такие свойства систем векторов, как линейная зависимость (независимость). Сохраняются также линейные оболочкисистем векторов; подпространства переходят в подпространства, ссохранением размерности.
(Все это следует из предложения 6.1 итеоремы 6.2.)В приводимой ниже таблице фиксируется соответствие между реальной "сценой" — абстрактным к.л.п. и "оцифровкой" в арифметическом линейном пространстве."О ц и ф р о в к а" (а р и ф м е т и з а ц и я)абстрактной линейной алгебрыАбстрактное линейноепространство VАрифметическое линейноепространство P nФиксированный базис AЕстественный базис EnАбстрактный вектор xВектор-столбец xБазисы в V :B = [ b1 , ..., bn ];B0 = [ b01 , ..., b0n ]Базисы в P n :Be = [ b1 , ..., bn ];Be0 = [ b01 , ..., b0n ];записываются в матрицы B, B 0Матрица Tперехода от B к B0Матрица T (та же самая)перехода от Be к Be0 :T = B −1 · B 0Тот факт, что в правом столбце таблицы получается та же матрица перехода T , что и в левом, является проявлением упомянутоговыше сохранения линейных соотношений: коэффициенты разложения векторов базиса Be0 по базису Be совпадают с коэффициентамиразложения векторов B0 по B.§7Замена базиса.
Матрица перехода81Формула для T взята из замечания 7.2 [см. (7.9)]; в этом замечании использованы несколько иные обозначения: над именами базисов нет тильд.При использовании нескольких базисов (а у нас в задаче их три)приходится усложнять обозначения для координатных столбцов:— координатный столбец вектора x ∈ V относительно фиксированного базиса A будет обозначаться просто x;— для координатного столбца того же вектора относительно базиса B (или B 0 ) примем обозначение xB (соответственно xB0 ).Правило (7.12) пересчета координатных столбцов при замене базиса в новых обозначениях примет вид:xB = T · xB0 ; xB0 = S · xB ,(7.12a)где матрицы T и S = T −1 вычисляются по формулам (7.9).Заметим, наконец, что в задачниках по линейной алгебре, во многих упражнениях отождествление линейного пространства с арифметическим (то, что мы назвали оцифровкой) уже считается выполненным.
Условия изначально записываются для арифметическихвекторов.Пример 7.1. Выполним следующее типовое упражнение.З а д а ч а. В пространстве R4 даны две с.в.:B = [ b1 , b2 , b3 , b4 ]; C = [ c1 , c2 , c3 , c4 ],элементы которых записаны (в качестве столбцов) в соответствующие матрицы:1 1 1 11 −2 2 −21 2 1 3 0 −3 2 −3 B=; C = .1 1 2 23 −5 5 −41 1 1 33 −4 4 −4Требуется:1) доказать, что обе данные с.в.
являются базисами;2) вычислить матрицы перехода от B к C и обратно.После этого рассматривается вектор a ∈ R4 , имеющий в базисе Bкоординатный столбец1 −1 aB = ,1−182Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1и требуется3) найти координатный столбец aC этого вектора относительнобазиса C.Р е ш е н и е. Прежде всего заметим, что все векторы, фигурирующие как элементы данных с.в. B и C, заданы своими разложениямипо естественному базису E4 . В то же время запись вектора a в этомбазисе заранее не известна.1. Чтобы установить обратимость матриц B и C, можно былобы вычислить их определители, они должны быть ненулевыми.
Мыпредпочтем другой подход: применим алгоритм Жордана — Гаусса(см. [A1 , п. 14.6]). Это позволит попутно найти обратные матрицы, B −1 и C −1 , которые далее понадобятся для вычисления матрицперехода.Приводим к виду Жордана — Гаусса следующую матрицу-конкатенацию:¯1 1 1 1 ¯1 0 0 0¯1 2 1 3 ¯0 1 0 0 (B | E) = ¯ −→ · · · −→1 1 2 2 ¯0 0 1 0¯0 0 0 11 1 1 3¯1 0 0 0 ¯ 2−1 −11¯10−10 1 0 0 ¯ 0−→ ¯.0 0 1 0 ¯ −1/2 01 −1/2¯0 0 0 1−1/2 001/2Можно констатировать, что матрица B обратима, и выписатьB −12 0=−1/2−1/2−1100−110−11 −1/201/2.Аналогично проверяется обратимость C и выписываетсяC −1−2 9/2=9/2−3/20−1−1001−1 −1/20 −3/21 −1/2.Тем самым установлено, что данные с.в.
действительно являютсябазисами в R4 . Заметим также, что матрицы B и C могут рассматриваться как матрицы перехода от E4 к B и C соответственно.§7Замена базиса. Матрица перехода832. Матрица T перехода от B к C находится по первой из формул (7.9):201 −1 −3 1 −2 1 T = B −1 · C = .1 −2 2 −11 −1 1 −1Матрица S, соответствующая обратному переходу, находится либопо второй из формул (7.9), либо — непосредственным обращениемматрицы T :−1 −1 −1 111 −2 2S=.212 −3−1 −1 0 −13. Координатный столбец aC вычисляется по второй из формул(7.12а):−2 4 aC = S · aB = .61Если потребуется найти "истинный вид" этого вектора, т.
е. егокоординатный стобец a = aE в естественном базисе E = E4 , то можно использовать первую из формул (7.12a), с матрицей B в ролиматрицы перехода:0 −3 a = aE = B · aB = .0−2Пример 7.2. В (n + 1)-мерном проостранстве Pn [x] многочленовстепени не выше n естественный базис (см. пример 4.1) составляютодночлены:B = [ 1, x, x2 , ... , xn ].(7.17)Без всяких вычислений ясно, что для любого a ∈ P базис в этомпространстве будут составлять "сдвинутые" одночлены:Ba = [ 1, x − a, (x − a)2 , ... , (x − a)n ].(7.18)В самом деле, с.в. (7.18) сводится к (7.17) заменой переменнойy = x − a (и поэтому также линейно независима).84Линейные пространства.
Базисы и размерностиГл. 1Многочленуf (x) = f0 + f1 x + f2 x2 + ... + fn xnв базисе B = B0 отвечает вектор-столбецf0 f1 f B = f2 ∈ P n+1 .···fn(7.19)(7.20)t(Впрочем, чаще в этой теме используются векторы-строки f B .)Применяя формулу Тейлора для многочленов (см. [A1 , п.
47.3]),можно выписать разложение многочлена (7.19) по базису Ba :f (x) = h0 + h1 (x − a) + h2 (x − a)2 + ... + hn (x − a)n ,(7.21)где коэффициенты выражаются через производные многочлена f (x)в точке a:f (k) (a)hk =; k = 0, ... , n.(7.22)k!Таким образом, многочлену (7.19) в базисе (7.18) будет соответствовать столбецf (a) f 0 (a) f Ba = f 00 (a)/2! .(7.23)···(n)f (a)/n!Чтобы найти матрицу перехода от B к Ba , надо разложить вектор(одночлен) (x−a)k по старому базису B. Это разложение получаетсяпо биному Ньютона:k(x − a) =kX(−1)k−j Ckj ak−j xj .j=0Таким образом получается матрица1 −a a2 −a3 · · ·(−1)n an 0 1 −2a 3a2 · · · (−1)n−1 nan−1 1−3a · · · (−1)n−2 Cn2 an−2 0 0T = 0 001· · · (−1)n−3 Cn3 an−3 . ..................................................
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
