Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Размерность59векторов системы A по базису B и произведем в правой части стандартные преобразования над двойными суммами:— перемену порядка суммирования;— внесение постоянного скалярного множителя под знак суммы;— вынесение постоянного векторного множителя из-под знакасуммы (вправо);— перестановку скалярных множителей под знаком суммы.Получим следующую цепочку равенств:Ã n!Ã n!kssXXXXXλj aj =λjaij bi =λj aij bi =j=1j=1i=1=nXi=1j=1sXj=1i=1i=1j=1ssnnX XX X=λj aij bi =λj aij bi =i=1aij λj bi =j=1nX[A · λ ]i bi ,i=1где на последнем шаге введены обозначения A — для (n×s)-матрицы,составленной из коэффициентов aij разложений (5.2) и λ — длявектора-столбца размера s × 1, составленного из неизвестных скаляров λj , после чего использовано правило умножения матриц.В результате преобразований соотношение (5.1) приобретает равносильный вид:nX[A · λ ]i bi = 0.(5.3)i=1Равенство (5.3) в свою очередь равносильно (в силу линейнойнезависимости с.в. B) системе скалярных соотношений [A · λ ]i = 0(i = 1, ..., n), или, в матричной записи, — системе линейных уравненийA · λ = 0 .(5.4)n×ss×1n×1В однородной с.л.у.
(5.4) неизвестных больше, чем уравнений(s > n). Поэтому она имеет (см. [A1 , предложение 6.1]) нетривиальное решение λ 6= 0. Значит, найдутся скаляры λj , не все равныенулю, удовлетворяющие (5.1). ¤Предложение 5.1 можно переформулировать так, чтобы оно относилось к линейно независимым с.в.: в к.л.п. количество векторов60Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1в (любой) линейно независимой с.в. не может превышать количества векторов в (любом) базисе этого пространства. (Именно этотфакт мы назвали в заголовке пункта оценкой количества векторовв линейно независимой с.в.)5.2. Характеризация к.л.п. в терминах линейно независимых с.в. Конечномерность подпространств в к.л.п. Ограничение сверху на мощность линейно независимых систем векторов вконечномерном линейном пространстве, полученное в предыдущемпункте, позволяет сформулировать в терминах таких с.в.
критерий(бес)конечномерности пространства и, заодно, доказать конечномерность подпространств в к.л.п.Предложение 5.2. Линейное пространство 1) конечномерно тогда и только тогда, когда в нем существует максимальная линейнонезависимая с.в., и 2) бесконечномерно тогда и только тогда, когдасуществует бесконечная строго возрастаюшая последовательностьлинейно независмых с.в.Доказательство. Первое утверждение очевидно, благодаря теореме 4.1.
Из него следует, что пространство является бесконечномерным, тогда и только тогда, когда в нем не существут максимальнойлинейно независимой с.в., т. е. любая линейно независимая системастрого содержится в другой линейно независимой системе.Линейно независимая с.в. имеется всегда (хотя бы пустая). Значит, если пространство бесконечномерно (и следовательно, среди линейно независимых с.в. нет максимальных), то мы можем начатьстрого возрастающую последовательность таких систем, которая никогда не закончится.Если же пространство конечномерно, то всякая строго возрастающая последовательность линейно независимых с.в.
оборвется на конечном шаге (в силу ограничения сверху на их мощность). ¤Доказанный критерий (бес)конечномерности линейного пространства влечет следующееПредложение 5.3. Линейное подпространство в к.л.п. само является к.л.п.Доказательство. Пусть V — к.л.п., а W является подпространством в V. Предположим, W бесконечномерно.
Тогда в нем найдетсябесконечная строго возрастающая последовательность линейно независимых с.в. Она остается таковой же, будучи рассмотрена во всемпространстве V, что приводит к противоречию. ¤§5Равномощность базисов. Размерность615.3. Равномощность всех базисов и понятие размерности для к.л.п. Доказываемая ниже теорема 5.1 соответствует теореме 11.1 в [A1 ].Теорема 5.1.
Любые два базиса в к.л.п. имеют одинаковое количество векторов (равномощны).Доказательство совершенно тривиально (и не отличается от приведенного в [A1 ]). Пусть с.в. A в предложении 5.1, так же как и B,является базисом. Тогда, в силу этого предложения, мы получаемдва неравенства: s 6 n и n 6 s. Вывод: s = n.Полученный результат служит обоснованием корректности следующего определения.Определение 5.1. Размерностью к.л.п. V называется количество векторов в некотором (и, следовательно, — в любом) базисеэтого пространства.
Обозначение размерности: dim(V ).Мы пользуемся также более коротким выражением "мощность базиса". (Здесь есть определенная "вольность" в терминологии, поскольку, в строгом смысле, термин мощность должен применятьсяк множествам, а мы говорим о списках. Но это безвредная вольность, т. к.
базисы являются списками без повторяющихся элементов.)Отметим, что размерность к.л.п. является неотрицательным целым числом. В нуль она обращается лишь для тривиального (нулевого) пространства.Легко получить значения размерности для некоторых изученныхранее пространств.Пример 5.1. Линейные пространства, рассмотренные в примере 4.1, имеют следующие размерности:dim(P n ) = n; dim(Mat(m, n; P )) = mn; dim(Pn [x]) = n + 1.Простым следствием теоремы 5.1 является следующееПредложение 5.4.
Пусть V — линейное пространство размерности n над полем P. Всякая линейно независимая (порождающая)с.в. в пространстве V содержит не более (не менее) n векторов. Еслиона содержит в точности n векторов, то она является базисом.62Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Доказательство. Некоторые из сформулированных утвержденийустановлены ранее (какие и где?); те, которые пока не доказаны, —докажите самостоятельно.
¤Замечание 5.1.∗ Теорема о равномощности базисов остается справедливой и для бесконечных базисов (базисов Гамеля; см. п. 4.4) вбесконечномерных линейных пространствах. Можно также ввестипонятие размерности бесконечномерного пространства (как мощности базиса Гамеля), но это будет уже не натуральное число, а такназываемое кардинальное число. (С иерархией бесконечных кардиналов можно познакомиться по учебникам теории множеств; см., например, Архангельский А.
В. Канторовская теория множеств. М.:Изд-во МГУ, 1988.)5.4. Продолжение базисов. Всякая линейно независимая с.в.является базисом в своей линейной оболочке. Ниже будут полученырезультаты, касающиеся включения линейно независимой с.в. в базис (во всем пространстве), или же базиса в некотором подпространстве — в базис в другом, более широком подпространстве. (В пособии[A1 ] соответствующий материал сосредоточен в п. 10.4.)Предложение 5.5. Пусть V — линейное пространство размерности n над полем P,B = [ b1 , b2 , ... , bn ](5.5)— произвольный базис этого пространства.1. Всякая линейно независимая с.в.A = [ a1 , a2 , ...
, as ](5.6)в пространстве V может быть включена в некоторый базисB0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ](5.50 )этого пространства.2. Всякий базис в некотором линейном подпространстве W1 пространства V может быть включен в некоторый базис в любом подпространстве W2 , таком, что W1 6 W2 6 V.Доказательство. 1.
Мы уже знаем (из предложения 5.4), чтомощность с.в. (5.6) не превосходит мощность базиса (5.5): s 6 n.Но это, разумеется, не означает, что A содержится в B. Требуется§5Равномощность базисов. Размерность63подобрать друой базис (5.50 ), который содержал бы A в качествеподсистемы.Рассуждение будет похожим на то, которое применялось в [A1 ]для доказательства теоремы 11.1.Если s = n, то нечего доказывать: система A сама является базисом.
Если же s < n, то A базисом не является, и, значит, — неявляется максимальной линейно независимой с.в. Поэтому найдется другая, строго более широкая линейно независимая система A0 ,содержащая, скажем, s0 векторов, где s < s0 6 n.И снова, если s0 = n, то базис найден, в противном случае — продолжаем процесс, который обязан закончиться через конечное числошагов (поскольку мощности линейно независимых с.в. в пространстве V ограничены числом n). В итоге будет получен некоторыйбазис B0 в пространстве V, содержащий с.в.
A.2. Второе утверждение является непосредственным следствиемпервого. В самом деле, произвольный базис в подпространстве W1можно рассматривать как линейно независимую с.в. в (более широком) подпространстве W2 , и, следовательно, по первому утверждению данного предложения, его можно включить в некоторый базисв W2 .
¤5.5. Свойство строгой монотонности размерности. Доказываемое ниже предложение 5.6 является обобщением предложения11.3 из пособия [A1 ].Предложение 5.6. Пусть V — к.л.п. над полем P.1. Если W является подпространством в пространстве V (подпространством в V, отличным от всего пространства), то dim(W ) непревосходит (строго меньше, чем) dim(V ).2. Если W 6 V и dim(W ) = dim(V ), то W = V.Доказательство. Согласно предложению 5.5, базис A в подпространстве W может быть продолжен до базиса B в V. Поэтому справедлива импликация[ W 6 V ] ⇒ [ dim(W ) 6 dim(V ) ],(5.7)выражающая свойство монотонности размерности.Если W является подпространством в V , отличным от V, то ибазис A является подсистемой в базисе B, отличной от B.
(Случисьиначе, совпадение базисов A = B повлекло бы совпадение их линейных оболочек: W = V, что противоречит предположению.)64Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Таким образом, свойство (5.7) допускает запись в более сильнойформе свойства строгой монотонности:[ W < V ] ⇒ [ dim(W ) < dim(V ) ].(5.7a)Обе части первого утверждения доказаны. Со вторым утверждением разберитесь самостоятельно (от противного) ¤§ 6. Основная теорема о линейных отображениях.Теорема об изоморфизме.Координатный изоморфизм6.1. Основная теорема о линейных отображениях к.л.п.Характерной особенностью математики является то, что вместе собъектами изучаются отображения (морфизмы) этих объектов. Например, изучение линейных пространств неинтересно (и практически невозможно) без изучения линейных отображений.При изучении линейных гомоморфизмов к.л.п. проявляется ключевая роль, которую в линейной алгебре играют базисы.
Выясняется, что линейное отображениеϕ : V −→ W(6.1)из к.л.п. V (над полем P ) в произвольное линейное пространство W(над тем же полем) однозначно определяется своими значениями набазисных векторах пространства V.При формулировке следующей теоремы нам понадобится обозначение для образа с.в. под действием линейного отображения (6.1).ЕслиA = [ a1 , a2 , ...
, ak ](6.2)— произвольная с.в. в пространстве V , то ее образ под действием ϕопределяется как система (из такого же количества векторов)ϕ(A) = [ ϕ(a1 ), ϕ(a2 ), ... , ϕ(ak ) ](6.3)в пространстве W. Загляните также (если нужно) в словарь морфизмов в п. 1.6.§6Основная теорема о линейных отображениях65Теорема 6.1 (основная теорема о линейных отображениях —ОТЛО). Пусть V и W — два линейных пространства над одним итем же полем P, причем пространство V является конечномерным иdim(V ) = n.
ПустьB = [ b1 , b2 , ... , bn ](6.4)— базис пространства V иC = [ c1 , c2 , ... , cn ](6.5)— произвольная с.в. в пространстве W.Тогда1) существует единственный линейный гомоморфизм (6.1), такой,чтоϕ(B) = C;(6.6)2) если система C линейно независима, то этот гомоморфизм является мономорфизмом;3) если пространство W также является конечномерным и с.в. Cпорождает W , то гомоморфизм (6.1) является эпиморфизмом;4) если W конечномерно и C является базисом W , то (6.1) являетсяизоморфизмом.Доказательство. 1.1. Докажем сначала единственность линейного отображения ϕ, удовлетворяющего условию (6.6), в предположении, что такое отображение существует.Условие (6.6) в подробной записи выглядит следующим образом:ϕ(bi ) = ci ; i = 1, ..., n.(6.6a)Оно задает ϕ на базисных векторах пространства V. Произвольный вектор x ∈ V однозначно разлагается по базису B :x=nXxi bi ; xi ∈ P (i = 1, ..., n).(6.7)i=1Будучи линейным, отображение ϕ сохраняет линейные комбинации [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
