Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Нетрудно понять, что с.в. B0 является порождающей. (В самом деле, всякий вектор x ∈ V линейновыражается через B. Подставив в это выражение, вместо вектора b,его разложение по B0 и произведя необходимые упрощения, мы получим в итоге линейное выражение x через B0 .) Возникает противоречие с минимальностью B среди порождающих систем.
Стало быть,предположение о линейной зависимости этой системы ложно. ¤4.3. Теорема существования базиса для к.л.п. Как уже отмечалось выше, (конечный) базис может существовать только в конечномерном линейном пространстве. Сейчас мы докажем, что влюбом конечномерном пространстве базис существует.Теорема 4.2.
Пусть V — к.л.п. над полем P. Тогда1) в пространстве V существует (конечный) базис;2) в любой (конечной) с.в., порождающей V, существует подсистема, являющаяся базисом.Доказательство. Поскольку, в силу определения 2.5, в к.л.п. существует конечная порождающая с.в., доказательство можно сразуначать со второго пункта.Пусть конечная с.в. A порождает V.
Тогда— либо A является минимальной порождающей и, следовательно,в силу теоремы 4.1, — базисом;— либо в A найдется подсистема A0 (содержащая меньше векторов, чем A), также являющаяся порождающей.Во втором случае по отношению к A0 возникают те же логическиевозможности. Продолжая процесс, на каждом этапе которого мощность порождающей с.в.
строго уменьшается, мы с неизбежностью(за конечное число шагов) доберемся до базиса. ¤§4Базисы в линейных пространствах55Замечание 4.2. Теорема существования базиса (в частном случае,когда V является линейным подпространством в арифметическомлинейном пространстве P n ) должна быть знакома вам по пособию[A1 ] (см. теорему 10.1). Однако доказательное рассуждение в "старом" варианте теоремы было совершенно другим. Мы начинали слинейно независимой с.в. (может быть, пустой) в подпространстве Vи добавляли к ней векторы, пока она не превращалась в базис. Гарантией останова было ограничение (числом n) мощности линейнонезависимой с.в.
Базис получался как максимальная линейно независимая с.в.В "новой", абстрактной ситуции такого ограничения у нас пока небыло. Доказательство опиралось на факт существования конечнойпорождающей с.в., и был организован противоположный по направлению процесс: удаление из порождающей системы лишних векторов. Благодаря теореме 4.1, мы достигаем аналогичного результата — получаем базис как минимальную порождающую с.в.В следующем параграфе мы вернемся к вопросу о расширениилинейно независимых с.в. (в абстрактных к.л.п.), вплоть до достижения базиса.4.4.∗ Алгебраические базисы в произвольных линейныхпространствах (базисы Гамеля).
Рассмотрим произвольное (может быть, бесконечномерное) линейное пространство V над полем Pи произвольное (может быть, бесконечное) подмножество B ⊆ V.Напомним (см. п. 2.2), что линейная оболочка hBi считается состоящей из значений всевозможных конечных линейных комбинацийвекторов из B. Подмножество B является порождающим для V , если hBi = V, т. е. если всякий вектор x ∈ V представляется в видеконечной линейной комбинации векторов из B.Напомним также (см. п. 3.3), что подмножество B считается линейно независимым, если таковым является каждое его конечноеподмножество.Определение 4.1a. Подмножество B называется алгебраическим базисом (или базисом Гамеля) для линейного пространства V,если оно порождает V и является линейно независимым.Пример 4.2.
Пространство P0∞ бесконечных, но финитных последовательностей элементов из P (см. [A1 , § 36]) обладает естественным базисом Гамеля, состоящим из бесконечных векторов-строкek t = ( 0, ... , 0, 1, 0, ... ),56Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1где единица стоит на k-м месте (k = 0, 1, 2, ...).Это же пространство предстает в другом (изоморфном) обликепространства многочленов P [x] (см. примеры 1.3 и 2.2).На "языке многочленов" базис пространства составят одночленыkx (k = 0, 1, 2, ...).Можно доказать, что в любом линейном пространстве существуетбазис Гамеля.В конечномерном случае понятие базиса Гамеля совпадает с обычным понятием (конечного) базиса.
В бесконечномерном случае длядоказательства теоремы существования (бесконечного) базиса Гамеля применяется самая таинственная (и самая скандальная) из аксиом теории множеств — аксиома выбора. (Часто она фигурирует вравносильной форме так называемой леммы Цорна.)Характерной особенностью доказательств, основанных на аксиоме выбора, является их категорическая неконструктивность: онине позволят построить алгоритм, реально определяющий (вычисляющий) те математические объекты, существование которых устанавливается в ходе доказательства.Несколько подробнее с затронутыми здесь вопросами можно познакомиться по учебнику [2]. Если же автору удалось заинтриговатьвас до такой степени, что вы готовы читать внепрограммную литературу, то можно порекомендовать следующее историко-математическое сочинение: Медведев Ф.
А. Ранняя история аксиомы выбора. М.:Наука, 1982.4.5.∗ Понятие о топологических базисах. Чтобы дать первичное представление о бесконечномерной линейной алгебре, приведем (нестрогое) описание понятия топологического базиса в бесконечномерном линейном пространстве.В функциональном анализе рассматриваются, как правило, такиелинейные пространства V (над полем P = R или C), в которыхкаким-либо образом введено понятие предельного перехода.С помощью пределов могут быть определены значения некоторыхбесконечных сумм.Например, для бесконечного подмножества векторовB = { b1 , b2 , ...
, bk , ... }; bk ∈ V (k = 1, 2, ...)(4.3)значение бесконечной линейной комбинации (с коэффициентами λk§4Базисы в линейных пространствах57из поля P ) определяется как предел (конечных) частичных сумм:a=∞Xλk bk = limn→∞i=1nXλk bk ,(4.4)i=1в предположении, что этот предел существует. Бесконечные суммы обычно именуют рядами и в случае существования предела в(4.4) говорят, что соответствующий ряд сходится, элемент a ∈ Vназывается суммой ряда. Говорят также о разложении элемента a в(сходящийся) ряд по множеству векторов (4.3).Множество (4.3) называется топологическим базисом в пространстве V, если любой элемент a ∈ V разлагается в сходящийся ряд поэтому множеству, с некоторыми (причем однозначно определенными) коэффициентами λk .Пример 4.3.
В упоминавшемся уже (см. примеры 3.2 и 3.3) анализе Фурье рассматривается линейное пространство V = L2 [−π, π]действительных функций f (x), заданных на отрезке [−π, π] и интегрируемыхпо этому отрезку (т. е. таких, что существуетR πс квадратом2интеграл −π f (x)dx ).VСходимость последовательности функций fn (x) → f (x) такжеопределяется с помощью интегралов: должнаR π стремиться2к нулю последовательность действительных чисел −π (fn (x)−f (x)) dx.
(Некоторые, довольно существенные, детали в нашем рассказе, разумеется, опущены. Интеграл от квадрата разности двух функций, фигурирующий выше, интерпретируется как квадрат расстояния междуними.)Множество тригонометрических функций T [см. (3.13)] оказывается топологическим базисом в пространстве V, т. е. всякая функцияиз этого пространства однозначно разлагается в сходящийся ряд Фурье:∞Xf (x) = a0 +ak cos kx + bk sin kx,(4.5)k=1где коэффициенты a0 и ak , bk (k = 1, 2, ...) однозначно определяютсяформуламиZ πZ π11a0 = √f (x)dx; ak = √f (x) cos kx dx;π −π2π −πZ π1f (x) sin kx dx. (4.6)bk = √π −π58Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1В данном примере роль функций fn (x), приближающих даннуюфункцию f (x), играют частичные суммы ряда (4.5):nXak cos kx + bk sin kx.(4.7)fn (x) = a0 +k=1Слагаемые, фигурирующие в бесконечной сумме (4.5) и конечныхчастичных суммах (4.7), принято называть гармониками, а работупо их вычислению — гармоническим анализом.§ 5.
Равномощность базисов.Размерность линейного пространства.Продолжение базисов5.1. Оценка количества векторов в линейно независимойс.в. Данный параграф соотносится с § 11 (и частично — с § 10)пособия [A1 ]. Разумеется, было бы желательным расположить первое пособие рядом со вторым и сравнить ход рассуждений. Логикаразвития темы в абстрактной ситуации будет отличаться от той, которая была реализована в конкретном случае арифметических пространств.
Хотя некоторые доказательства повторяются практическиодин к одному. Так, предложение 5.1 является почти дословной вариацией предложения 11.1 из [A1 ]. Можно было бы (как это ужеделалось в предыдущих параграфах) перепоручить читателям модификацию доказательства. Но мы все-таки повторим рассуждение(в более сжатом виде).Предложение 5.1.
Пусть в к.л.п. V над полем P заданы некоторый базис B = [ b1 , b2 , ... , bn ] и с.в. A = [ a1 , a2 , ... , as ], причем s > n.Тогда с.в. A линейно зависима.Доказательство. Требуется установить, что существует линейное соотношение между векторами системы A видаsXλj aj = 0,(5.1)j=1где не все коэффициеты λj ∈ P равны нулю. Подставим в формулу(5.1) разложенияnXaj =aij bi ; j = 1, ..., s(5.2)i=1§5Равномощность базисов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
