Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(Здесь, в отличие от исходной версии, мы приведемболее подробное доказательство.)Предложение 2.1a. Для любого подмножества A в линейномпространстве V его линейная оболочка hAi есть пересечение всехлинейных подпространств в V, содержащих данное подмножество.Доказательство. ПересечениеW0 =\{W 6 V : A ⊆ W }всех линейных подпространств, содержащих подмножество A, самоявляется (см.
предложение 1.2) подпространством, причем также содержащим A. Таким образом, W0 является наименьшим из линейныхподпространств, содержащих A.Кроме того, по определению подпространства, вместе с векторамииз A, в W0 содержатся произвольные конечные линейные комбинации таких векторов. Следовательно, линейная оболочка hAi 6 W0 .С другой стороны, оболочка hAi также является подпространством в пространстве V. В самом деле, сумма x + y двух линейныхкомбинаций, (2.7) иy = µ1 b1 + ...
+ µl bl ; µj ∈ P ; bj ∈ A (j = 1, ... , l),(2.8)является линейной комбинацией такого же вида (если указанныеразложения содержат одинаковые векторы, то при суммированииследует провести перегруппировку и воспользоваться дистрибутивностью умножения на скаляр).38Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Подмножество A содержится в подпространстве hAi (в самом деле, каждый вектор a ∈ A можно представить в виде линейной комбинации a = 1 · a.)В силу того, что W0 является наименьшим из подпространств,содержащих A, получается второе включение: W0 6 hAi.Таким образом, доказано равенство W0 = hAi и предложение вцелом.
¤Замечание 2.2. Из установленного выше факта с очевидностьювытекают следующие утверждения:1) подмножество в линейном пространстве тогда и только тогдаявляется линейным подпространством, когда оно совпадает со своейлинейной оболочкой;2) включение подмножеств A ⊆ B влечет включение их линейныхоболочек hAi 6 hBi;3) для любого A ⊆ V справедливо равенствоhhAii = hAi.(2.9)Пример 2.2. Рассмотрим в пространстве многочленов V = P [x](бесконечное) множествоB = { 1, x , x2 , ...
}(2.10)всех одночленов. Из определения 2.3а непосредственно следует, чтоhBi = V. Другими словами, множество одночленов (2.10) порождаетпространство многочленов.2.3. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространстваОпределение 2.5. Линейное пространство называется конечномерным, если для него существует конечная порождающая с.в., ибесконечномерным — в противоположном случае.Вы, наверное, уже привыкли к необходимости "разъяснения в позитивных терминах", т. е.
без использования отрицания (выражаемого частицей не), свойств, противоположных к определяемым. Какраскрыть в подобных терминах свойство бесконечномерности линейного пространства?§2Системы векторов. Конечномерные пространства39Линейное пространство V будет бесконечномерным, если никакаяконечная с.в. не будет порождающей для V, т.
е. если для любойконечной с.в. A ее линейная оболочка hAi отлична от V.Приведем далее несколько примеров конечномерных и бесконечномерных линейных пространств.Пример 2.3. Арифметическое линейное пространство P n является конечномерным. Оно порождается давно нам знакомой (см. [A1 ,пример 8.2]) системой единичных векторов:En = [ e1 , e2 , ... , en ].(2.11)Пример 2.4.
Пространство Pn [x] многочленов степени не выше n (см. пример 2.1) также является конечномерным. Напомним,что это пространство изоморфно арифметическому линейному про∗странству P n+1 : многочленуf (x) = f0 + f1 x + f2 x2 + ... + fn xn ; fk ∈ P (k = 1, ... , n),(2.12)где не требуется, чтобы fn 6= 0, сопоставляется вектор-строкаtf = (f0 , f1 , ... , fn ).(2.12a)Пример 2.5. Пространство P [x] всех многочленов над полем P(см. пример 1.3) является бесконечномерным. В самом деле, рассмотрим произвольную конечную с.в. в этом пространстве:A = [g1 (x), g2 (x), ..., gk (x)]; gi (x) ∈ P [x]; deg(gi (x)) = ni (i = 1, ..., k).По свойствам степени, всякий (ненулевой) многочленg(x) = λ1 g1 (x) + λ2 g2 (x) + ...
+ λk gk (x) ∈ hAiимеет степень, не превышающую n = max(n1 , n2 , ... , nk ).Значит, hAi 6= P [x].40Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Пример 2.6. Поле C, рассматриваемое как линейное пространство над полем R (см. пример 1.4), является конечномерным, поскольку порождается системой из двух векторов [1, i] (вспомнитеалгебраическую форму записи комплексного числа z = a · 1 + b · i;a, b ∈ R).В то же самое время R как расширение Q является бесконечномерным линейным пространством.
Это доказывается с помощьюпонятия мощности множества, с которым вы знакомились в курсе"Введение в анализ".Рассмотрим конечную систему A = [x1 , x2 , ... , xk ] действительных чисел (= векторов в R над Q).Всякий элемент x ∈ hAi представляется в виде линейной комбинации x = r1 x1 + r2 x2 + ... + rk xk с рациональными коэффициентамиri ∈ Q (i = 1, ..., k) и, следовательно, определяется набором из kрациональных чисел r1 , r2 , ..., rk . (Это соответствие не обязано бытьвзаимно однозначным: разным наборам коэффициентов могут соответствовать одинаковые суммы.)Множество Q счетно.
Множество Qk всевозможных наборов из kрациональных чисел также счетно. Действительных чисел x, входящих в hAi, во всяком случае не больше, чем наборов в Qk . Другимисловами множество hAi не более чем счетно. (На самом деле, оно вточности счетно, поскольку бесконечно.)Напротив, множество R, как известно, несчетно (имеет, как говорят, мощность континуума). Значит hAi 6= R, т. е. никакая конечная с.в. в R не порождает пространство R, которое, таким образом,является бесконечномерным.(Имейте в виду, что рассуждение, проведенное выше, не являетсявполне строгим.
Чтобы достичь приемлемой строгости, надо изложить довольно много довольно абстрактного теоретико-множественного материала. Все это у вас еще впереди. А пока будем полагатьсяздесь не на строгость, а на убедительность.)Пример 2.7. Последний пример будет, по сути, упражнением,причем — "с отложенным исполнением".Вернитесь к описанному в примере 1.2 линейному пространствуV = F(M, P ) функций на множестве M со значениями в поле P идокажите, что это пространство является конечномерным тогда итолько тогда, когда множество M является конечным.Указание.
Случай конечного множества M, состоящего, скажем,из n элементов, совсем прост, ибо приводит к пространству V, изо-§3Линейно зависимые (независимые) системы векторов41морфному P n . Рассмотрение случая бесконечного M стоит отложить до вывода в § 5 критерия (бес)конечномерности (см. предложение 5.2).Замечание 2.3. Предметом изучения линейной алгебры служатименно конечномерные линейные пространства.
Весьма частое употребление последнего словосочетания вынуждает нас ввести еще одну аббревиатуру: к.л.п.Бесконечномерные линейные пространства также важны и широко используются, например, в современной физике. Однако дляих исследования одной алгебры мало.Схематически дело обстоит следующим образом. Ничто бесконечномерное не может быть всерьез изучено без конечномерных аппроксимаций (приближений).
Тематика, связанная со всякого родаприближениями, целиком относится к сфере математического анализа (и опирающихся на него "продвинутых" дисциплин).Таким образом, бесконечномерная линейная алгебра должна бытьнеким "симбиозом" обычной (конечномерной) линейной алгбры иматематического анализа. Именно такой характер носит (линейный)функциональный анализ.§ 3. Линейно зависимыеи линейно независимыесистемы векторов3.1.
Понятие линейно зависимой (линейно независимой)с.в. В данном пункте материал также будет в какой-то степени повторением изложенного в § 9 пособия [A1 ] (на более высоком уровнеабстрагирования). Новыми будут, в основном, примеры.Определение 3.1. Непустая с.в. A в линейном пространстве Vнад полем P, заданная формулой (2.1), называется линейно зависимой, если для A существует линейная комбинация с нулевымзначением:kXλi ai = 0,(3.1)i=1не все коэффициенты которой λi ∈ P (i = 1, ..., k) равны нулю.42Линейные пространства.
Базисы и размерностиГл. 1В противном случае, т. е. когда из равенства (3.1) вытекает, чтовсе коэффициенты равны нулю:λi = 0 (i = 1, ..., k),(3.2)с.в. (2.1) называется линейно независимой.Пустая с.в. считается линейно независимой.Очевидно (в силу коммутативности сложения), что факт линейной зависимости (независимости) с.в. никак не связан с порядкомвекторов в списке (2.1). С.в., содержащая нулевой вектор или повторяющиеся векторы, является линейно зависимой.Вообще, все свойства линейно зависимых (независимых) с.в., изученные в пп.
9.1, 9.3 пособия [A1 ] для арифметических линейныхпространств, остаются справедливми в общей ситуации абстрактныхлинейных пространств. В частности, сохраняет силу предложение9.2, которое мы ниже, для полноты изложения, переформулируем.Однако предварительно нам придется более четко описать, какпонимается выражение "с.в. A является подсистемой в с.в. B" (см.определение 2.1 и последующие комментарии). Эта фраза означает, что список (2.1) является подсписком (с сохранением порядка) вспискеB = [ b1 , b2 , ...
, bl ]; bj ∈ V (j = 1, ..., l),(3.3)т. е.a1 = bj1 ; a2 = bj2 ; ... ; ak = bjk(3.4)для некоторой строго возрастающей последовательности номеров[ j1 , j2 , ... , jk ] (1 6 j1 < j2 < ... < jk 6 l).Предложение 3.1. 1. Пусть B — конечная с.в. в линейном пространстве V , A — ее подсистема. Тогда линейная зависимость системы A влечет линейную зависимость системы B, а из линейнойнезависимости B следует линейная независимость A.2.
С.в. A является линейно зависимой тогда и только тогда, когданекоторый вектор, входящий в систему A, линейно выражается черезостальные векторы этой системы.3. Пусть с.в. A линейно независима, а с.в. B получается из системы A присоединением к ней (в конце списка) еще одного вектораb ∈ V. Тогда с.в. B будет линейно зависимой в том и только томслучае, когда вектор b принадлежит линейной оболочке hAi .Доказательство. Вам поручается переоформить доказательствоиз [A1 ], слегка изменив обозначения и терминологию. ¤§3Линейно зависимые (независимые) системы векторов433.2. Свойство единственности разложения вектора по линейно независимой с.в. Как мы знаем из § 2, всякая с.в.
вида (2.1)порождает некоторое линейное подпространство — свою линейнуюоболочку W = hAi. Каждый вектор x ∈ W линейно выражаетсячерез векторы ai (i = 1, ..., k), или, другими словами, допускает разложение по с.в. A видаx=kXλi ai .(3.5)i=1Однако коэффициенты этого разложения, λi ∈ P, определены,вообще говоря, не однозначно. Иначе обстоит дело в случае, когдаданная с.в. является линейно независимой.Предложение 3.2. Если с.в. A линейно независима, то для любого вектора x ∈ hAi разложение (3.5) определено однозначно.Доказательство практически очевидно: если, наряду с (3.5), имеется аналогичное разложениеx=kXµi ai ,(3.5a)i=1то, вычитая из первой формулы вторую, мы получаем соотношение0=kX(λi − µi )ai ,i=1из которого, с учетом линейной независимости A, вытекает совпадение коэффициентов: λi = µi (i = 1, ..., k).
¤3.3.∗ Понятие линейной зависимости (независимости) дляподмножеств в линейном пространстве. Так же, как в п. 2.2, всвязи с понятием линейной оболочки для с.в., в данном пункте, пользуясь упомянутым выше фактом сохранения системой свойства линейной зависимости (независимости) при произвольном изменениипорядка в списке векторов, мы можем перейти от списков A вида(2.1) к (неупорядоченным) конечным подмножествам A вида (2.1а).Получается, что можно корректным образом говорить о линейной зависимости (независимости) конечных подмножеств в линейномпространстве. Более того, эти понятия допускают распространениена случай бесконечных подмножеств A (в линейном пространстве Vнад полем P ).44Линейные пространства. Базисы и размерностиГл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
