Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. .34.6.∗ Два линейных гомоморфизма линейного пространства в двойственное, связанные с б.ф. . . . . . . . . . . . . . . . . . .429429432§ 35. Симметрические билинейные и квадратичные формы. Формула поляризации . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .35.1. Понятие квадратичной формы. Формула поляризации . . . . . .35.2. Матрица и координатная запись для квадратичной формы . . . .35.3. Диагонализирующие базисы для симметрических билинейных (квадратичных) форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435437438442447447449451§ 36. Диагонализация по Лагранжу симметрических билинейных(квадратичных) форм .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45336.1. Алгоритм Лагранжа диагонализации с.б.ф. (кв.ф.) . . . . . . . 45336.2. Скелетный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над алгебраически замкнутымполем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 463§ 37. Диагонализация по Якоби симметрических билинейных (квадратичных) форм. Метод Грам — Шмидта . . . . . . . . . . 46537.1. Метод Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.) . . . . . . . . . . . 46537.2. Алгоритм Грама — Шмидта диагонализации с.б.ф. (кв.ф.) . . . . 474§ 38. Симметрические билинейные (квадратичные) формы над полем действительных чисел. Сигнатура. Теорема инерции .
. 47838.1. Нормальный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над полем R . . . . . . . . 47838.2. Индексы инерции для с.б.ф. (кв.ф.) над полем R. Теорема инерции 48138.3. Знакоопределенные и знакопеременные с.б.ф. (кв.ф.) над полем R 48538.4. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности с.б.ф. (кв.ф.) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 489∗38.5. Исследование функций на экстремум и квадратичные формы . . 494§ 39. Примеры решения задач на исследование симметрических билинейных (квадратичных) форм . . . . . . . . . . . . . . . 49710Оглавление39.1. Типовой расчет по теме "Диагонализация симметрических билинейных (квадратичных) форм" . . . . . .
. . . . . . . . . . 49739.2. Пакет Maple-процедур для решения ТР3 . . . . . . . . . . . . 505§ 40.∗ Одновременная диагонализация двух симметрических билинейных (квадратичных) форм . . . . . . . . . . . . . . . . .40.1. К.л.п. с фиксированной положительно определенной с.б.ф.; ортогональные и ортонормированные базисы . . .
. . . . . . . . .40.2. Ортогональные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40.3. Линейный изоморфизм между пространствами л.э. и б.ф., определяемый с помощью невырожденной с.б.ф. . . . . . . . . . . .40.4. Самосопряженные л.э. и их матрицы . . . . . . . . . . . . .40.5. Спектральные свойства самососопряженных линейных эндоморфизмов . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40.6. Ортогональная диагонализируемость самосопряженного л.э. . . .40.7. Ортогональная диагонализация (приведение к главным осям) с.б.ф.в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . .40.8. Полулинейные, полуторалинейные и эрмитовы формы . . .
. .506506509510511514517519524Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . 526Список используемых сокращений . . . . . . . . . . . . . . . . . 528Приложение 1. Коды Maple-процедур. . . . . . . . . . . . . . . 529Приложение 2. Иллюстрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594Приложение 3. Столбчатые диаграммы . . .
. . . . . . . . . . . . 597Приложение 4. Содержание [A1 ] — первой части курса. . . . . . 605ПредисловиеНастоящее учебное пособие предназначено для студентов-первокурсников математического факультета, обучающихся по направлению "Математика. Компьютерные науки" (бакалавриат) и служитнепосредственным продолжением учебного пособия[A1 ] Н. И.
Яцкин. Алгебра: Теоремы и алгоритмы. Иваново. Изд-во "Ивановский государственный университет",2006.(Указано обозначение, которое будет использоваться в дальнейшем, при ссылках на первую книгу. В прил. 4, для удобства читателей, приводится ее оглавление.)Во второй книге излагаются основы теории, а также даются указания к решению и образцы решения типовых задач по следующимбольшим темам (которым соответствуют главы предлагаемого издания).1. Линейные пространства. Базисы и размерности.2. Линейные отображения конечномерных линейных пространств.3.
Спектральная теория линейных эндоморфизмов в конечномерных линейных пространствах.4. Линейные, билинейные и квадратичные формы на конечномерных линейных пространствах.Этот материал, как правило, относится ко второму семестру. Он,однако, не исчерпывает всего содержания курса "Алгебра и геометрия" (изучаемого в первых двух семестрах). За рамками данного пособия остаются геометрические главы, заслуживающие, по мнениюавтора, отдельного, подробного и соответствующим образом иллюстрированного, тома.Линейная алгебра — это наука, которая нужна всем. Практическилюбое реальное вычисление (точное или приближенное) опираетсяна алгоритмы линейной алгебры.Например, центральной идеей математического анализа следуетсчитать идею линеаризации нелинейных функций (отображений).12ПредисловиеПосле того, как она реализована, рассматриваемая аналитическаяпроблема обычно сводится к той или иной задаче из линейной алгебры.Еще один пример: геометрия настолько "переплелась" с алгеброй,что в университетских учебных планах эти две дисциплины объединяются, составляя комбинации типа: "алгебра и геометрия", "линейная алгебра и геометрия".Не подумайте только, что алгебра "заменяет" или "включает всебя" геометрию или анализ.
Наоборот, психологи утверждают, чтогеометры и алгебраисты даже мыслят "разными полушариями", что,однако, не исключает, но предполагает взаимодействие указанныхнаук. (Не зря же, все-таки, полушарий два.)Учебников по линейной алгебре достаточно много. Вы можетесравнить список рекомендованной литературы, приводимый в данном пособии, с аналогичным списком в [A1 ]: количество названийпришлось увеличить почти втрое.
Среди указаных литературныхисточников есть и настоящие педагогические шедевры, и подробныекурсы, и весьма информативные монографии.И все-таки автор рассчитывает на то, что еще одно "сочинение нату же тему" не затеряется в общем потоке.Во-первых, потому, что оно относится к иному жанру: не учебник, не справочник, но — книга для чтения, настольная книга, напрямую обращающаяся к современному молодому читателю, учитывающая его компьютерную ориентацию, а также — чего греха таить! — определенные реалии нынешнего математического образования. Прекрасные книги второй половины прошлого века предъявляли гораздо более серьезные требования к математической культурепервокурсников; тогда как сегодня, вследствие низведения геометрии в разряд факультативных дисциплин, выпускники "обычных"средних школ очень смутно представляют себе, что стоит за словом"доказательство".Во-вторых, предлагаемое пособие призвано помогать студентам врешении типовых задач, является руководством к алгебраическомупрактикуму.
Опыт использования в учебном процессе его "черновых" (электронных) прототипов свидетельствует о том, что именноданная функция вызывает повышенный интерес читателей (в связи с выполнением контрольных работ, индивидуальных домашнихзаданий, типовых расчетов).В-третьих, кое-что в нашей математической жизни меняется и влучшую сторону. Речь идет о компьютеризации учебного процесса,Предисловие13о возможности передачи компьютеру рутинных операций, что делаетдоступными такие вычислительные задачи, о которых при использовании лишь ручного счета не приходилось и мечтать.
Классическиезадачники переполнены примитивными "одно-", "двух-" или "трехходовками", не дающими возможности продемонстрировать все тонкости и особые ситуации в работе "великих алгоритмов" (Гаусса,Жордана, Смита, Лагранжа, Якоби и др.).Разработка компьютерных алгебраических систем (КАС) радикально изменила ситуацию. Названные программные средства даютвозможность не приближенного, но точного решения очень многихматематических задач (допускающих такое решение в принципе).Если система воспринимает дробь 1/3 как .33333333 — это одно, аесли она умеет производить точные вычисления с рациональнымидробями, а также с алгебраическими выражениями, содержащимипеременные, — это уже совсем другое.В [A1 ] мы обучили читателей элементарному навыку — приведению (по Гауссу) матриц к ступенчатому виду.
В данном томе переднами — гораздо более сложные, "продвинутые" задачи, содержащие,в частности, многократные обращения к алгоритму Гаусса. Так давайте перепоручать КАС ранее освоенный рутинный счет! Знакомство с новыми идеями и методами (например, с алгоритмом приведения квадратных матриц к жордановой нормальной форме) будемпроводить подробно, с обязательной долей ручной работы; но и это —только до тех пор, пока не придет очередь "стать рутинным" и вновьизученному навыку (скажем, при использовании жордановой нормальной формы для решения систем линейных дифференциальныхуравнений).В-четвертых, и теоретическая составляющая курса подвергается систематическому переосмыслению с точки зрения компьютернойреализации тех алгоритмов, которые зачастую содержатся в скрытом виде ("зашиты") в доказательствах теорем.
Пусть, в ущерб лаконичности, мы стараемся (всякий раз, когда это возможно) сделатьдоказательства явно алгоритмическими.Надо, разумеется, понимать, что доказательство может представлять из себя лишь схему алгоритма; иногда мы достигаем детализации этой схемы, но это уже — в приложениях, содержащих кодывычислительных процедур.И здесь надо четко охарактеризовать используемый подход: нашипроцедуры категорически не оптимальны, они — не для профессиональных программистов, но — для математиков-компьютерщиков,14Предисловиевпервые изучающих некоторые (причем — довольно сложные) алгоритмы.
Мы стараемся моделировать "человеческое" решение, иногда используя элементы сценарной организации работы, с выводомпромежуточных результатов.Оптимизации программ, экономии памяти и повышению быстродействия вас будут учить совсем в других курсах.Организация текста в данном пособии вполне аналогична той, чтобыла принята в [A1 ].
Появились, правда, параграфы, пункты и замечания "со звездочками". Звездочки свидетельствуют, с одной стороны, — о "необязательности" этих рубрик для изучения, а с другой —об их повышенной "занимательности".Под звездочки попадают, например, некоторые наши "экскурсии"в область математического анализа. Можно ли пропускать (при первом чтении) такие "отвлечения"? Скорее нет, чем да. Скажем, приложение теории квадратичных форм к экстремальным задачам является настолько ярким и важным, что даже краткое знакомствос данным материалом, несомненно, обогатит общематематическуюкультуру читателя, послужит побудительным фактором для обращения к более подробным источникам.Как и в [A1 ], мы адресуем отдельные замечания "специалистам"(преподавателям или студентам-старшекурсникам), снабжая информацию меткой "для служебного пользования".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
