Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 13
Текст из файла (страница 13)
формулу (1.11)]. Поэтому значение ϕ на векторе (6.7) задается формулойϕ(x) =nXi=1(6.6a)xi ϕ(bi ) =====nXi=1xi ci ,66Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1или, в окончательном виде:ϕ(x) =nXxi ci .(6.8)i=1Формулой (6.8) значение отображения (6.1) на произвольном векторе x ∈ V однозначно определено.1.2. В результате доказательства единственности линейного отображения (6.1), удовлетворяющего (6.6), получена формула (6.8), которую можно использовать для доказательства существования такого отображения. Примем эту формулу за определение искомогоотображения ϕ.Но, в такой редакции, нам заранее не известно, что получаетсялинейное отображение.
Убедимся в том, что это действительно так.Пусть x и y — два произвольных вектора пространства V ; дляпервого из них имеется разложение (6.7), а для второго — аналогичное разложение:y=nXyi bi ; yi ∈ P (i = 1, ..., n).(6.9)i=1Складывая формулы (6.7) и (6.9) и пользуясь аксиомами линейного пространства (V1 ) — (V8 ) , мы получим разложение для суммывекторов:nXx+y =(xi + yi )bi .(6.10)i=1Применяя к вектору (6.10) определение (6.8) и снова пользуясьаксиомами, мы получим:ϕ(x + y) ==nXi=1nXj=i(xi + yi )ci =nX(xi ci + yi ci ) =i=1xi ci +nXyi ci = ϕ(x) + ϕ(y).i=1Докажите самостоятельно справедливость второго утверждения:ϕ(λx) = λϕ(x) для любого скаляра λ ∈ P.Необходимо еще убедиться в том, что отображение, построенноепо формуле (6.8), удовлетворяет условию (6.6). Но это практически§6Основная теорема о линейных отображениях67очевидно: если в качестве вектора x взять базисный вектор bj , тов разложении (6.7) все коэффициенты xi будут равны нулю, кромеодного, xj = 1.
А в формуле (6.8) фигурируют такие же коэффициенты, но — перед векторами ci . Поэтому получается: ϕ(bj ) = cj .2. Теперь, в дополнение к предположениям первого пункта, предположим, что с.в. C линейно независима. Докажем, что тогда отображение, построенное по формуле (6.8), является мономорфизмом,т.
е. докажем инъективность этого отображения.Пусть на векторах x, y ∈ V отображение ϕ принимает одинаковыезначения: ϕ(x) = ϕ(y), или, в силу определения (6.8),nXxi ci =i=1nXyi ci .(6.11)i=1Из равенства (6.11) следует равенство нулю значения линейнойкомбинации:nX(xi − yi )ci = 0,(6.12)i=1что, с учетом линейной независимости C, влечет равенство нулю всехкоэффициентов этой комбинации. А значит, xi = yi для любого номера i = 1, ..., n. Следовательно, x = y, и инъективность ϕ доказана.3. В этом и следующем пунктах теоремы конечномерность Wнеобходима: в бесконечномерных пространствах не существует конечных порождающих с.в.
и базисов.Предположим, что C порождает W, и докажем эпиморфность(т. е. сюръективность) ϕ. Возьмем произвольный вектор w ∈ Wи разложим его по порождающей с.в. C:w=nXµi ci ; µi ∈ P (i = 1, ..., n).i=1Надо найти такой вектор x ∈ V, что ϕ(x) = w. Ясно, что для этогогодится векторnXx=µi bi .i=1Сюръективность ϕ доказана.4. Четвертое утверждение теоремы немедленно следует из второго и третьего.
¤68Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 16.2. Свойства линейных изоморфизмов. Для дальнейшегонам понадобятся некоторые простые свойства изоморфизмов к.л.п.По определению, гомоморфизмы линейных пространств сохраняютсуммы векторов и произведения векторов на скаляры. Как следствие, получается сохранение линейных комбинаций.
Следующеепредложение проясняет вопрос с сохранением при линейных отображениях свойств (конечных) систем векторов.Предложение 6.1. 1. Всякий линейный гомоморфизм сохраняет свойство линейной зависимости с.в.2. Линейные мономорфизмы сохраняют свойство линейной независимости с.в.3. Линейные эпиморфизмы сохраняют свойство с.в. быть порождающей.4. Линейные изоморфизмы сохраняют все упомянутые выше свойства с.в., а также свойство с.в.
быть базисом.Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы с очевидностью следует из сохранения линейных комбинаций и сохранения нуля (см. п. 1.6).2. Рассмотрим линейный гомоморфизм (6.1), про который предположим, что он является мономорфизмом, и с.в. (6.2), являющуюсялинейно независимой. Докажем, что ее образ, с.в. (6.3), также является линейно независимой. Рассмотрим линейную комбинацию снулевым значением:kXλi ϕ(ai ) = 0.(6.13)i=1Ввиду линейности ϕ, (6.13) равносильноkXϕ(λi ai ) = 0.(6.14)i=1В силу свойства ϕ(0) = 0 и инъективности ϕ, равенство (6.14)влечет равенствоkXλi ai = 0,i=1которое, в свою очередь, в силу линейной независимости A, влечетобращение в нуль всех коэффициентов λi (i = 1, ..., k).
Линейнаянезависимость ϕ(A) доказана.§6Основная теорема о линейных отображениях693. Пусть теперь (6.1) является эпиморфизмом, а (6.2) порождаетпространство V. Докажем, что (6.3) порождает W. Возьмем произвольный вектор w ∈ W. В силу сюръективности ϕ, найдется векторx ∈ V, такой, что ϕ(x) = w. С.в. (6.2) порождает V , поэтому x можноразложить по A:kXx=λi ai .(6.15)i=1Применяя к (6.15) отображение (6.1) и пользуясь его линейностью, получимkXw = ϕ(x) =λi ϕ(ai ).i=1Значит, произвольный вектор пространства W линейно выражается через ϕ(A), что и требовалось.4. Линейный изоморфизм, будучи одновременно мономорфизмоми эпиморфизмом, сохраняет как свойство линейной независимости,так и свойство быть порождающей системой, а значит — и свойство быть базисом.
(Добавим, что, в силу четвертого утверждениятеоремы 6.1, свойство переводить базис в базис является характеристическим для линейных изоморфизмов.) ¤6.3. Теорема об изоморфизме для к.л.п. Следующая теорема дает критерий изморфности двух к.л.п. Напомним, что двалинейных пространства, V и W , над одним и тем же полем P, называются изоморфными (и это обозначается V ∼= W ), если существуетлинейный изоморфизм одного из этих простраств на другое.Теорема 6.2. Два к.л.п. V и W над одним и тем же полем Pизоморфны тогда и только тогда, когда их размерности одинаковы:[V ∼= W ] ⇔ [ dim(V ) = dim(W ) ].(6.16)Доказательство.
1. Если V ∼= W, то существует изоморфизмϕ : V → W . По предложению 6.1, ϕ переводит базис пространства Vв базис пространства W . Стало быть, эти базисы имеют одинаковое количество векторов (равномощны), т. е. размерности данныхпространств равны.70Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 12.
Предположим, dim(V ) = dim(W ), и выберем произвольные базисы B и C в пространствах V и W соответственно. Эти базисы имеют одинаковое количество векторов, следовательно, по теореме 6.1,существует изоморфизм V на W , переводящий B в C. ¤6.4. Координатный изоморфизм к.л.п. на арифметическое линейное пространство. Согласно теореме 6.2, все к.л.п.одинаковой размерности попарно изоморфны. Рассмотрим произвольное к.л.п. V (ненулевой) размерности n и, вместе с ним, арифметическое линейное пространство P n , которое, как известно (см.пример 5.1), также имеет размерность n. Стало быть, V ∼= P n.Следующее предложение уточняет этот результат, указывая конкретный (называемый координатным) изоморфизм V на P n , который определяется выбором базиса в пространстве V.Предложение 6.2. Рассмотрим линейное пространство V ненулевой размерности n над полем P и зафиксируем в нем какой-либобазис (6.4).
Рассмотрим также арифметическое линейное пространство P n , снабженное естественным базисомEn = [ e1 , e2 , ... , en ].(6.17)Определим отображениеβ : V −→ P n ,(6.18)сопоставляя произвольному вектору x ∈ V координатный векторстолбецx1x β(x) = x = 2 ∈ P n ,(6.19)···xnсоставленный из координат вектора x в базисе (6.4), т. е. из коэффициентов разложения (6.7).Отображение (6.18) является линейным изоморфизмом к.л.п.
Vна пространство P n , переводящим базис (6.4) в базис (6.17).Доказательство. В соответствии с четвертым утверждением теоремы 6.1, существует однозначно определенный линейный изоморфизм пространства V на P n , переводящий зафиксированный базисB в естественный базис En . Обозначим этот изоморфизм буквой β идокажем для него формулу (6.19).§6Основная теорема о линейных отображениях71По построению, β(B) = En , т. е.β(bi ) = ei ; i = 1, ..., n.Следовательно,(6.20)x1x β(x) = β(x i bi ) =xi β(bi ) =xi ei = 2 = x,···i=1i=1i=1xnnXnXnXчто совпадает с (6.19). ¤В дальнейшем нам понадобится также изоморфизмβ−1n: P −→ V ; β−1(x) = x =nXxi bi ; x ∈ P n ,(6.21)i=1обратный к (6.20).Замечание 6.1. Выбор базиса в абстрактном к.л.п.
есть дело "случайное" (см. пример 4.1); никакого предпочтительного выбора нет.Поэтому и изоморфизм (6.18), определяемый по базису в данномпространстве, является случайным.При замене некоторого базиса B на новый базис B0 изоморфизм βзаменяется на другой изоморфизм β 0 .
(О связи этих изоморфизмовсм. ниже, в п. 7.3.)Случайные изоморфизмы мало ценятся в теории. Бо́льшую теоретическую ценность представляют так называемые каноническиеизоморфизмы, задание которых не зависит ни от каких случайныхфакторов (типа выбора базисов).Заметим однако, что при описании алгоритмов линейной алгебрыи организации практических вычислений в линейных пространствахнеизбежно приходится фиксировать некоторый базис в к.л.п., фактически заменяя задачу, решаемую в этом пространстве, на аналогичную задачу в арифметическом линейном пространстве.Все изучаемые далее алгоритмы работают именно (и исключительно) с арифметическими векторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
